广东省深圳市光明区高级中学2023-2024学年高三下学期5月模拟考试数学试题

这是一份广东省深圳市光明区高级中学2023-2024学年高三下学期5月模拟考试数学试题，共12页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知且，若函数为偶函数，则实数等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A. B.
C. D.
3.佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美央.佛兰德现代艺术中心的底面直径为，高为，则该建筑的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知且，若函数为偶函数，则实数（ ）
A.3 B.9 C. D.
6.已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，实数的值为（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
7.已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（ ）
A.是偶函数
B.的图象关于直线对称
C.在上的最大值为0
D.不等式的解集为
8.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（ ）
A.平均数是 B.中位数是
C.方差是 D.极差是
10.已知直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率小于-1，则双曲线的离心率可能为（ ）
A.2 B.3 C. D.
11.已知函数是定义域为的可导函数，.若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A.
B.曲线在点处的切线的斜率为2
C.是的导函数
D.的图象关于点对称
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知的二项展开式中，项的系数是18，则的值为__________.
13.已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为__________.
14.在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为__________，此时点到直线的距离为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恰有三个零点，求的取值范围.
16.（15分）
随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据：
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？
（2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
17.（15分）
在如图所示的多面体中，四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为平面，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
18.（17分）
已知抛物线的焦点为，点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的动直线与交于两点，上是否存在定点使得（其中分别为直线的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
19.（17分）
已知集合是公比为2的等比数列且构成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为.
①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值；
②若，数列的前5项构成等比数列，且，试写出所有满足条件的数列.
高三数学试题参考答案､提示及评分细则
1.C 由集合，又因为，所以.
2.A 因为复数在复平面内对应的点的坐标是，所以，则.
3.C 由题知该建筑的母线长为，则其侧面积为.
4.A 由已知得，，即0，解得，所以“”是“”的充分不必要条件.
5.B 已知且，若函数为偶函数，则有，即，化简得，所以.
6.C 由圆的方程，可知圆心，半径，直线过定点，因为，则定点在圆内，则当取最小值，因为的斜率为1，故.
7.C 由题知，由于的定义域为，且，故为奇函数，A错误；又，故的图象不关于直线对称，错误；因为时，，所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确；，则，则，故错误.
8.C 由题意可知，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，所以.由，得，整理得对任意，且恒成立.又，当且仅当，即时等号成立，所以，即实数的取值范围是.
9.BC 的平均数是，中位数是，方差是，极差是.
10.BC 由题意知，设，由，可得，所以，，可得，所以，即，可得且.
11.BC 由题意有，令，有
，故A错误；
，令得，故B正确；
为奇函数，即.，又因为，所以，所以，所以，即，故C正确；
因为，所以，得，即关于对称，所以，即关于对称，故D错误.
12.3 展开式的通项为，令，得，所以项的系数为，所以.
13. 由椭圆可知，故，结合，可得，而，故为等腰三角形，其面积为.
14.（2分）（3分） 如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则，因为平面平面，所以平面，同理可证平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，要使得平面，则平面，因为平面平面，故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点，.以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系，易知，，取，则，所以点到直线的距离为.
15.解：（1）时，，所以，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
所以是的一个零点，
因为恰有三个零点，
所以方程有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根，
令，所以，
令，得，令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，的值域为；当时，的值域为，
所以，且，所以，且，
所以的取值范围是.
16.解：（1）零假设周平均锻炼时长与年龄无关联.
由表格数据得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有人，不少于5小时的有人，
则所有可能的取值为，
所以；
所以的分布列为：
所以数学期望.
17.（1）证明：连接.
因为平面平面，所以.
因为是中点，所以四边形为矩形，.
因为是正方形的对角线交点，所以为中点，，
所以.
因为为中点，所以.
又平面，所以平面.
（2）解：由（1）知，两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，则，
设平面的法向量为，
所以由得
令，可得，
设直线和平面所成角为，则，
所以直线和平面所成角的正弦值为.
18.解：（1）由题知，
解得或（舍去），
所以抛物线的方程为.
（2）假设在上存在定点，使得.
当直线的斜率不存在或斜率为0时，不合题意；
设直线的方程为，与联立方程组，消去并整理
得，
由，得且.
设，则，
从而
，
即，整理得，此式恒成立，所以.故在上存在定点，使得.
19.解：（1）的公比为2，由构成等比数列得：
，
解得，所以数列的通项公式为.
（2）①，
所以
，
而，
所以的最大值为32.
②由已知，共四项在前9项中，
所以在前9项中，而不在.
考虑在之间的项，
若之间无的项，则，公比为为第四项与已知矛盾；
若之间有一项，则成等比数列，所以公比为满足条件，
此时；
若之间至少有中的两项，则的公差，
此时，与已知矛盾；
综上，满足条件.周平均锻炼时间少于5小时
周平均锻炼时间不少于5小时
合计
50岁以下
80
120
200
50岁以上（含50）
50
150
200
合计
130
270
400
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
1
2
3