高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.1 向量概念课时练习

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知识点01向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
【即学即练1】（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0B．1C．2D．3
知识点02向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
【即学即练2】（2024·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（ ）．

A．B．C．D．
知识点03向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．
知识点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
【即学即练3】（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
知识点04向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【即学即练4】（2024·高一课时练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模大小相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
题型一：向量的基本概念
例1．（2024·全国·高一假期作业）给出下列命题：
①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③；④．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
例2．（2024·海南·高一校考）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量B．距度C．力D．体重
例3．（2024·新疆·高一校考）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示B．向量的方向由指向
C．向量的起点是D．向量的终点是
【方法技巧与总结】
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
题型二：向量的表示方法
例4．（2024·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．
(1)终点A在起点O正东方向3m处；
(2)终点B在起点O正西方向3m处；
(3)终点C在起点O东北方向4m处；
(4)终点D在起点O西南方向2m处．
例5．（2024·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
例6．（2024·高一课时练习）如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
变式1．（2024·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
变式2．（2024·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出.
【方法技巧与总结】
作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
题型三：利用向量相等或共线进行证明
例7．（2024·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
例8．（2024·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，

(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
例9．（2024·高一课时练习）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出的负向量；
(3)写出与平行的向量；
(4)写出与长度相等的向量．
变式3．（2024·高一课时练习）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
变式4．（2024·高一课时练习）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
【方法技巧与总结】
相等向量与共线向量的探求方法
（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
题型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例10．（2024·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．

例11．（2024·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
例12．（2024·高一课时练习）一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
变式5．（2024·高一课时练习）一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去.
（1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？
（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.
【方法技巧与总结】
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向.
一、单选题
1．（2024·黑龙江·高三校联考阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
3．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
4．（2024·北京·高一北京市第九中学校考）给出下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若且，则D．若，，则
5．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）下列命题：
①若，则；
②的充要条件是且
③若，则；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.
其中，真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·浙江·高三专题练习）给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若与同向，且，则>；
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．
其中假命题的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
8．（2024·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（ ）

A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2024·宁夏银川·高一校考阶段练习）在下列结论中，正确的结论为（ ）
A．且是的必要不充分条件
B．且是的既不充分也不必要条件
C．与方向相同且是的充要条件
D．与方向相反或是的充分不必要条件
10．（2024·高一校考课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．若||=||，则=
B．若≠，则||≠||
C．零向量的长度为0
D．若则
11．（2024·江苏无锡·高三统考开学考试）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
12．（2024·广东佛山·高一校考阶段练习）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与方的方向相同或相反
C．若且，，则
D．对任一向量，是一个单位向量
三、填空题
13．（2024·上海浦东新·高一上海市进才中学校考）下列关于向量的命题，序号正确的是 .
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
14．（2024·高一课时练习）下列说法正确的是 （写序号）．
①若与共线，则点A、B、C、D共线；
②四边形为平行四边形，则；
③若，则；
④四边形中，，则四边形为正方形．
15．（2024·全国·高一专题练习）给出下列命题：
①若 ，则；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是 ．
四、解答题
16．（2024·高一课时练习）若向量，满足，，求的最大值及最小值.
17．（2024·四川凉山·高一四川省越西中学校考阶段练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
18．（2024·高一课时练习）如图所示，平行四边形中，是两对角线，的交点，设点集，向量集合，试求集合中元素的个数.
19．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为 的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？
课程标准
学习目标
（1）能从物理中的力、速度、位移等背景中抽象出向量概念，能说出向量的基本要素，能用自己的语言解释向量与数量之间的共性与差异性．
（2）能说出平面向量的表示方法并能解释其内涵，能说出零向量和单位向量的含义．
（3）能从向量的要素之间的关系出发研究两个平面向量的位置关系，能刻画共线向量、相等向量等概念，会判断两个平面向量是否相等、共线．
（4）能用自己的语言描述向量概念的抽象过程与方法，体会类比、数形结合等数学思想，养成用数学的眼光观察世界的习惯，发展数学抽象、直观想象等素养．
（1）能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．
（2）会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别．
（3）理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量及向量的模、夹角等概念，会辨识图形中这些相关的概念．