2024年高一数学下册（苏教版）-第9章 平面向量 章末题型归纳总结（原卷版+解析版）

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第9章 平面向量 章末题型归纳总结 目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：向量的线性运算经典题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用经典题型三：向量的数乘运算经典题型四：向量的数量积运算经典题型五：向量的模、向量的夹角经典题型六：向量的投影、投影向量经典题型七：平面向量的实际应用经典题型八：平面向量范围与最值问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：向量的线性运算例1．（2024·山东青岛·高一校联考期末）在中，为线段上一点，且，点是的中点，记，，则（    ）A． B． C． D．例2．（2024·高一课时练习）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（    ）  A．＋ B．＋C． D．＋例3．（2024·福建福州·高一校联考期末）平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（    ）A． B． C． D．例4．（2024·全国·高一假期作业）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ）A． B．C． D．例5．（2024·全国·高一假期作业）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（    ）A． B．C． D．经典题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用例6．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．  例7．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为 BD上一点，且满足（为正实数），则的最小值为 .例8．（2024·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值．例9．（2024·辽宁大连·高一期末）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.(1)若.①用表示.②若，求的值.(2)若，求的最小值.例10．（2024·全国·高一随堂练习）如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.  经典题型三：向量的数乘运算例11．（2024·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期末）如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（    ）A． B． C． D．例12．（2024·全国·高一假期作业）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（    ）A． B． C． D．例13．（2024·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（    ）A． B． C．2 D．3例14．（2024·全国·高一随堂练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（    ）A．2 B． C． D．3例15．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期末）已知是的重心，若，则（    ）A．1 B． C． D．例16．（2024·河北石家庄·高一校考期末）已知平行四边形中，，若，则（    ）A． B． C．2 D．经典题型四：向量的数量积运算例17．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（    ）A．4 B． C．2 D．例18．（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）在中，满足，，，则（    ）A． B．0 C．25 D．65例19．（2024·全国·高一假期作业）在三角形中，，，，则（    ）A．10 B．12 C． D．例20．（2024·全国·高一随堂练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ）A． B． C． D．12例21．（2024·山西·高一校联考阶段练习）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）  A． B．3 C． D．例22．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）设平面向量，，且，则=（    ）A．1 B．14 C． D． 例23．（2024·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知为的外接圆圆心，且，则（    ）A． B． C． D．2经典题型五：向量的模、向量的夹角例24．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考期末）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（    ）A． B． C． D．例25．（2024·全国·高一假期作业）如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（    ）  A． B．3 C．9 D．13例26．（2024·福建莆田·高一统考期末）在中，为上一点，且满足．若，则的值为（    ）A．1 B． C． D．2例27．（2024·全国·高一专题练习）已知平面向量与的夹角为，若，，则（    ）A．2 B．3 C． D．4例28．（2024·广东揭阳·高一校联考期末）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ）A． B．C． D．例29．（2024·全国·高一假期作业）已知非零向量与满足，若，则（    ）A． B． C． D．例30．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，，，且，则（    ）A． B． C． D．例31．（2024·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．例32．（2024·全国·高一假期作业）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（    ）A．1 B． C．2 D．经典题型六：向量的投影、投影向量例33．（2024·全国·高一随堂练习）已知，，则向量在上的投影向量的坐标为 ．例34．（2024·天津和平·高一统考期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 .例35．（2024·云南昆明·高一昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）已知非零向量满足，，则在方向上的投影向量的模为 ．例36．（2024·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则 ．例37．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期末）已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是 .例38．（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）已知，，且，则向量在向量上的投影数量为 .经典题型七：平面向量的实际应用例39．（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 .例40．（2024·全国·高一随堂练习）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）  例41．（2024·全国·高一随堂练习）一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功 J．例42．（2024·高一单元测试）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .  例43．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为.一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为 .（）  经典题型八：平面向量范围与最值问题例44．（2024·云南昆明·高一校考期末）已知AD是的中线，若，，则的最小值是 ．例45．（2024·江西萍乡·高一统考期末）如图，在中，，，，动点在线段上移动，则的最小值为 ．  例46．（2024·安徽滁州·高一校联考阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .  例47．（2024·福建漳州·高一校联考期末）已知点M是矩形内（包括边界）的一个动点，若，，则的最大值为 .例48．（2024·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知正方形的边长为2，是正方形的外接圆上的动点，则的范围是 .例49．（2024·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期末）已知，在直角三角形中，，，则实数的值是 .模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例50．（2024·河北廊坊·高一统考期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .例51．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知平面向量满足，若对任意共面的单位向量，记的最大值为，则的最小值等于 ．例52．（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）平面上三个力作用于同一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为45°，则的大小为 N．例53．（2024·广东广州·高二校联考期末）设点是圆：上的动点，定点，，则的取值范围为 ．②转化与化归思想例54．（2024·河北·统考模拟预测）已知平面向量的夹角为，且.若向量在向量上的投影向量为，则的值为 .例55．（2024·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．例56．（2024·江西南昌·高三江西师大附中校考期末）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ．例57．（2024·云南保山·高一统考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 而向量正是数与形“沟通的桥梁”. 如图，在中，，若为中点，与交于点，且， .  ③数形结合思想例58．（2024·广东佛山·高二校考阶段练习）已知力，，满足，且，则 .例59．（2024·江苏南京·高一校考期末）如图在直角梯形中，已知，，，，，则 .例60．（2024·全国·高一随堂练习）已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为 .