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2024年高一数学下册（苏教版）-第15章 概率单元综合能力测试卷（原卷版+解析版）
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第15章 概率单元综合能力测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列事件中，随机事件的个数是（ ）个．①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为；③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上．A． B． C． D．【答案】B【解析】对于事件①，某人购买福利彩票一注，中奖万元，该事件为随机事件；对于事件②，三角形的内角和为，该事件为必然事件；对于事件③，地球上，没有空气和水，人类可以生存下去，该事件为不可能事件；对于事件④，同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上，该事件为随机事件.因此，随机事件的个数为.故选：B.2．某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁、戊三个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，任选一个基地有5种方法，选择红色教育基地有2种方法，所以选择红色教育基地的概率是.故选：B3．一数字电子表显示的时间是四位数，如，那么在一天（24小时制）内，所显的四个数字和是23的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】一天显示的时间总共有种，和为23有，，，总共有4种，故所求概率为．故选：D．4．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项．甲同学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】用（甲，乙）表示甲、乙两同学的选择结果，记体操、跳水、羽毛球分别为，则两人选择比赛项目的情况有，共6种，其中甲、乙所选的比赛项目相同的情况有，共2种，故所求概率．故选：D．5．近几年随着技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，下图为2014~2022年中国虚拟主播企业注册增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法错误的是（ ） A．2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B．2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C．2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D．从2018~2022年企业注办增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数不大于300的概率为【答案】B【解析】由每年注册增加数均为正数，可知2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加，故A正确；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数从小到大排列为：，，，，，，，，，所以2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为，故B错误；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为，故C正确；从，，，，中任取两个数字，结果有种，所取两个数字平均数不大于的取法有，共种，所以所求概率，故D正确.故选：B.6．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示假设汽车A只能在约定日期某月某日的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发将频率视为概率，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为（ ）A．公路1和公路2 B．公路2和公路1 C．公路2和公路2 D．公路1和公路1【答案】A【解析】频率分布表如下：设，分别表示事件“汽车A选择公路1时在约定时间内将货物运至城市乙”和“汽车A选择公路2时在约定时间内将货物运至城市乙”，，分别表示事件“汽车B选择公路1时在约定时间内将货物运至城市乙”和“汽车B选择公路2时在定时间内将货物运至城市乙”，以频率估计概率得，，，，所以汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为公路1和公路2.故选：.7．连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是6”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ）A． B．A与B互斥C．A与C互斥 D．A 与C 相互独立【答案】D【解析】依题意得，故A错误．因为与可能同时发生，如“第一次的点数为6，第二次的点数为2”，故B错误．因为与可能同时发生，如“第一次的点数为6，第二次的点数为2”，故C错误．因为，因为，所以与相互独立，故D正确．故选：D.8．某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（ ）A．65 B．70 C．75 D．80【答案】D【解析】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：、、、、、、、，因为从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，一共有8个数，所以比大的数有两个，则，对于A，因为，所以第65百分位为第6个数，即，满足题意；对于B，因为，所以第70百分位为第6个数，即，满足题意；对于C，因为，所以第75百分位为第个数的平均数，即，满足题意；对于D，因为，所以第80百分位为第7个数，即，不满足题意.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示．其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（ ）A．该公司四个季度的销售额先增长再下降B．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为C．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为D．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为【答案】AB【解析】对于A项，由题意可得第一、二、三、四季度销售额分别为100万、200万、400万、300万元，故A正确；对于B项，任选的两个季度的销售额，可以为，，，，，，其6种情况，这两个季度的销售额均大于250万的只有一种情况，则概率为，故B正确；对于C项，这两个季度销售额的和大于500万的有，共2种情况，故概率为，即C错误；对于D项，这两个季度销售额差的绝对值小于250万的有共5种情况，故概率为，即D错误．故选：AB.10．已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射次，具体命中环数如下表（最高环数为环），从甲试射命中的环数中任取个，设事件表示“至多个超过平均环数”，事件表示“恰有个超过平均环数”，则下列说法正确的是（ ）A．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数B．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差C．乙试射命中环数的的分位数是D．事件，互为对立事件【答案】BCD【解析】对于A，甲试射命中环数的平均数为，乙试射命中环数的平均数为，故A错误；对于B，甲试射命中环数相比乙试射命中环数，更为分散，则甲对应的方差更大，故B正确；对于C，乙试射命中环数排序为，因为，所以分位数为，故C正确；对于D，因为甲试射命中环数的平均数为，且甲试射命中的环数中有两个超过平均数的，则任取个的情况为：“没有个超过平均环数”、“有个超过平均环数”和“有个超过平均环数”，而事件表示“没有个超过平均环数”或“有个超过平均环数”，事件事件表示“恰有个超过平均环数”，所以事件，互为对立事件，D正确.故选：BCD11．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p、，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件A，B，C发生的概率分别为，，，则下列关系式不成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由题设，不超过30的素数有共10个，从中任意取两个不同的素数p、：有9个，有8个，有7个，有6个，有5个，有4个，有3个，有2个，有1个，所以共有个样本点；共4个样本点；共4个样本点；共10个样本点；所以，显然，.故选：ABC第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量 ．【答案】【解析】由条件可知：，所以，故答案为：.13．下列命题中：①某校共有男生2700人，女生1800人，用比例分配的分层随机抽样抽取容量为90的样本进行健康测试，则样本中男生有54人；②随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率；③数据4，8，10，14的方差是2，4，5，7的方差的2倍；④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件“取出的两球均为红球”，事件“取出的两个球颜色不同”，则事件A与B互斥而不对立；其中正确命题的编号为 .【答案】①②④【解析】总体容量为4500，样本容量为90，所以抽样比为，所以样本中男生的人数为，①正确；对于有限n次随机试验，事件A发生的频率是随机的，而随机试验次数n趋向无穷大，随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，②正确；数据4，8，10，14的平均数，方差，数据2，4，5，7的平均数，方差为，则，故数据4，8，10，14的方差是2，4，5，7的方差的4倍，③错误；基本事件有“取出的两球均为红球”，“取出的两球均为白球”，“取出的球为一红球和一白球”等，因此事件A与B互斥而不对立，④正确；故正确命题的编号为①②④.故答案为：①②④.14．著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如.已知，且均为质数，若从中任选2个构成两位数，且，则的十位数字与个位数字不相等的概率为 .【答案】【解析】，可得，若从中任选2个构成两位数，且数，且，则有共6个，则十位数字与个位数字不相等的有共5个，所以的十位数字与个位数字不相等的概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取100件口罩进行检测，其结果如表：(1)根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；(2)若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取件，再从这件口罩中随机抽取件，求这件口罩全是合格品的概率.【解析】（1）在抽取的件产品中，不合格的口罩有（件），所以口罩为不合格品的频率为，根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为．（2）由题意所抽取的件口罩中不合格的有件，合格的有件．设件合格口罩记为，件不合格口罩记为．而从件口罩中抽取件，共有共种情况，这件口罩全是合格品的事件有，共种情况，故件口罩全是合格品的概率为．16．（15分）2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值，并估计该市市民评分的分位数；(2)为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率.【解析】（1）由题意得，，解得.因为，，所以分位数位于之间，则市民评分的分位数约为.（2）由题意得，按分层随机抽样从评分在中抽取人，其中评分在中有人，记为，；评分在中有人，记为，，，，.现抽取其中人进行问卷调查，共有21种情况，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中这2人评分在同一组有11种情况，它们是：，，，，，，，，，，，则所求概率.17．（15分）本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图．(1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率；(2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差.【解析】（1）由频率分布直方图可得：解得则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率为.（2）由于身高在区间，的人数之比为，所以分层抽样抽取80人，区间，内抽取的人数分别为50人与30人．设在区间中抽取的50个样本为，其均值为176，方差为，即．设区间中抽取的30个样本为．其均值为，方差为，即；所以这80人身高的均值为．从而这80人身高的方差为 因此，这80人身高的方差为18．（17分）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4，各场比赛相互独立，且无平局．记事件A为甲队和乙队比赛甲队输，事件B为甲队和乙队比赛乙队输，事件C为甲队和丙队比赛甲队输，事件D为乙队和丙队比赛乙队输，事件E为甲队和丙队比赛丙队输，事件F为乙队和丙队比赛丙队输．(1)求“乙队连胜四场”的概率；(2)写出用A，B，C，D，E，F表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；(3)求“需要进行第五场比赛”的概率．【解析】（1）依题意，，“乙队连胜四场”的事件为，．（2）“比赛四场结束”共有三种情况，分别是：“甲队连胜四场”为事件，“乙队连胜四场”为事件；“丙队上场后连胜三场”为事件和事件，“比赛四场结束”的概率为．（3）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，需要进行第五场比赛的概率为19．（17分）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？【解析】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则有共种，设小明只能答对4个问题的编号为：，则小明在第一轮得40分，有共种，则小明在第一轮得40分的概率为：；（2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，则小明在第一轮得0分的概率为：，依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，小芳晋级复赛的概率分别为：；小芳晋级复赛的概率为：；小明晋级复赛的概率为：；，小明更容易晋级复赛. 所用时间天数10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010所用时间天数10111213通过公路1的频率通过公路2的频率人员甲乙命中环数测试分数数量
第15章 概率单元综合能力测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列事件中，随机事件的个数是（ ）个．①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为；③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上．A． B． C． D．【答案】B【解析】对于事件①，某人购买福利彩票一注，中奖万元，该事件为随机事件；对于事件②，三角形的内角和为，该事件为必然事件；对于事件③，地球上，没有空气和水，人类可以生存下去，该事件为不可能事件；对于事件④，同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上，该事件为随机事件.因此，随机事件的个数为.故选：B.2．某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁、戊三个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，任选一个基地有5种方法，选择红色教育基地有2种方法，所以选择红色教育基地的概率是.故选：B3．一数字电子表显示的时间是四位数，如，那么在一天（24小时制）内，所显的四个数字和是23的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】一天显示的时间总共有种，和为23有，，，总共有4种，故所求概率为．故选：D．4．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项．甲同学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】用（甲，乙）表示甲、乙两同学的选择结果，记体操、跳水、羽毛球分别为，则两人选择比赛项目的情况有，共6种，其中甲、乙所选的比赛项目相同的情况有，共2种，故所求概率．故选：D．5．近几年随着技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，下图为2014~2022年中国虚拟主播企业注册增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法错误的是（ ） A．2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B．2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C．2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D．从2018~2022年企业注办增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数不大于300的概率为【答案】B【解析】由每年注册增加数均为正数，可知2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加，故A正确；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数从小到大排列为：，，，，，，，，，所以2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为，故B错误；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为，故C正确；从，，，，中任取两个数字，结果有种，所取两个数字平均数不大于的取法有，共种，所以所求概率，故D正确.故选：B.6．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示假设汽车A只能在约定日期某月某日的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发将频率视为概率，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为（ ）A．公路1和公路2 B．公路2和公路1 C．公路2和公路2 D．公路1和公路1【答案】A【解析】频率分布表如下：设，分别表示事件“汽车A选择公路1时在约定时间内将货物运至城市乙”和“汽车A选择公路2时在约定时间内将货物运至城市乙”，，分别表示事件“汽车B选择公路1时在约定时间内将货物运至城市乙”和“汽车B选择公路2时在定时间内将货物运至城市乙”，以频率估计概率得，，，，所以汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为公路1和公路2.故选：.7．连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是6”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ）A． B．A与B互斥C．A与C互斥 D．A 与C 相互独立【答案】D【解析】依题意得，故A错误．因为与可能同时发生，如“第一次的点数为6，第二次的点数为2”，故B错误．因为与可能同时发生，如“第一次的点数为6，第二次的点数为2”，故C错误．因为，因为，所以与相互独立，故D正确．故选：D.8．某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（ ）A．65 B．70 C．75 D．80【答案】D【解析】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：、、、、、、、，因为从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，一共有8个数，所以比大的数有两个，则，对于A，因为，所以第65百分位为第6个数，即，满足题意；对于B，因为，所以第70百分位为第6个数，即，满足题意；对于C，因为，所以第75百分位为第个数的平均数，即，满足题意；对于D，因为，所以第80百分位为第7个数，即，不满足题意.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示．其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（ ）A．该公司四个季度的销售额先增长再下降B．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为C．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为D．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为【答案】AB【解析】对于A项，由题意可得第一、二、三、四季度销售额分别为100万、200万、400万、300万元，故A正确；对于B项，任选的两个季度的销售额，可以为，，，，，，其6种情况，这两个季度的销售额均大于250万的只有一种情况，则概率为，故B正确；对于C项，这两个季度销售额的和大于500万的有，共2种情况，故概率为，即C错误；对于D项，这两个季度销售额差的绝对值小于250万的有共5种情况，故概率为，即D错误．故选：AB.10．已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射次，具体命中环数如下表（最高环数为环），从甲试射命中的环数中任取个，设事件表示“至多个超过平均环数”，事件表示“恰有个超过平均环数”，则下列说法正确的是（ ）A．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数B．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差C．乙试射命中环数的的分位数是D．事件，互为对立事件【答案】BCD【解析】对于A，甲试射命中环数的平均数为，乙试射命中环数的平均数为，故A错误；对于B，甲试射命中环数相比乙试射命中环数，更为分散，则甲对应的方差更大，故B正确；对于C，乙试射命中环数排序为，因为，所以分位数为，故C正确；对于D，因为甲试射命中环数的平均数为，且甲试射命中的环数中有两个超过平均数的，则任取个的情况为：“没有个超过平均环数”、“有个超过平均环数”和“有个超过平均环数”，而事件表示“没有个超过平均环数”或“有个超过平均环数”，事件事件表示“恰有个超过平均环数”，所以事件，互为对立事件，D正确.故选：BCD11．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p、，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件A，B，C发生的概率分别为，，，则下列关系式不成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由题设，不超过30的素数有共10个，从中任意取两个不同的素数p、：有9个，有8个，有7个，有6个，有5个，有4个，有3个，有2个，有1个，所以共有个样本点；共4个样本点；共4个样本点；共10个样本点；所以，显然，.故选：ABC第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量 ．【答案】【解析】由条件可知：，所以，故答案为：.13．下列命题中：①某校共有男生2700人，女生1800人，用比例分配的分层随机抽样抽取容量为90的样本进行健康测试，则样本中男生有54人；②随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率；③数据4，8，10，14的方差是2，4，5，7的方差的2倍；④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件“取出的两球均为红球”，事件“取出的两个球颜色不同”，则事件A与B互斥而不对立；其中正确命题的编号为 .【答案】①②④【解析】总体容量为4500，样本容量为90，所以抽样比为，所以样本中男生的人数为，①正确；对于有限n次随机试验，事件A发生的频率是随机的，而随机试验次数n趋向无穷大，随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，②正确；数据4，8，10，14的平均数，方差，数据2，4，5，7的平均数，方差为，则，故数据4，8，10，14的方差是2，4，5，7的方差的4倍，③错误；基本事件有“取出的两球均为红球”，“取出的两球均为白球”，“取出的球为一红球和一白球”等，因此事件A与B互斥而不对立，④正确；故正确命题的编号为①②④.故答案为：①②④.14．著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如.已知，且均为质数，若从中任选2个构成两位数，且，则的十位数字与个位数字不相等的概率为 .【答案】【解析】，可得，若从中任选2个构成两位数，且数，且，则有共6个，则十位数字与个位数字不相等的有共5个，所以的十位数字与个位数字不相等的概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取100件口罩进行检测，其结果如表：(1)根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；(2)若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取件，再从这件口罩中随机抽取件，求这件口罩全是合格品的概率.【解析】（1）在抽取的件产品中，不合格的口罩有（件），所以口罩为不合格品的频率为，根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为．（2）由题意所抽取的件口罩中不合格的有件，合格的有件．设件合格口罩记为，件不合格口罩记为．而从件口罩中抽取件，共有共种情况，这件口罩全是合格品的事件有，共种情况，故件口罩全是合格品的概率为．16．（15分）2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值，并估计该市市民评分的分位数；(2)为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率.【解析】（1）由题意得，，解得.因为，，所以分位数位于之间，则市民评分的分位数约为.（2）由题意得，按分层随机抽样从评分在中抽取人，其中评分在中有人，记为，；评分在中有人，记为，，，，.现抽取其中人进行问卷调查，共有21种情况，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中这2人评分在同一组有11种情况，它们是：，，，，，，，，，，，则所求概率.17．（15分）本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图．(1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率；(2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差.【解析】（1）由频率分布直方图可得：解得则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率为.（2）由于身高在区间，的人数之比为，所以分层抽样抽取80人，区间，内抽取的人数分别为50人与30人．设在区间中抽取的50个样本为，其均值为176，方差为，即．设区间中抽取的30个样本为．其均值为，方差为，即；所以这80人身高的均值为．从而这80人身高的方差为 因此，这80人身高的方差为18．（17分）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4，各场比赛相互独立，且无平局．记事件A为甲队和乙队比赛甲队输，事件B为甲队和乙队比赛乙队输，事件C为甲队和丙队比赛甲队输，事件D为乙队和丙队比赛乙队输，事件E为甲队和丙队比赛丙队输，事件F为乙队和丙队比赛丙队输．(1)求“乙队连胜四场”的概率；(2)写出用A，B，C，D，E，F表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；(3)求“需要进行第五场比赛”的概率．【解析】（1）依题意，，“乙队连胜四场”的事件为，．（2）“比赛四场结束”共有三种情况，分别是：“甲队连胜四场”为事件，“乙队连胜四场”为事件；“丙队上场后连胜三场”为事件和事件，“比赛四场结束”的概率为．（3）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，需要进行第五场比赛的概率为19．（17分）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？【解析】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则有共种，设小明只能答对4个问题的编号为：，则小明在第一轮得40分，有共种，则小明在第一轮得40分的概率为：；（2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，则小明在第一轮得0分的概率为：，依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，小芳晋级复赛的概率分别为：；小芳晋级复赛的概率为：；小明晋级复赛的概率为：；，小明更容易晋级复赛. 所用时间天数10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010所用时间天数10111213通过公路1的频率通过公路2的频率人员甲乙命中环数测试分数数量
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