内蒙古赤峰市敖汉旗箭桥中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

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2．B
3．A
4．C
5．B
6．C
7．A
8．B
9．BC
10．ACD
11．ACD
12．CD
13．
14．
15．24
16．
17
【详解】（1）问题等价于从个不同元素中选出个元素的排列问题，
故有（种）无重复数字的排列．
（2）分两类：
第一类：若选到数字，不排在首位，则有种排法，其他个位置由其余个数字选出个排列即可，有种排法，
故有（个）四位数．
第二类：若选不到数字，从个数字中选个进行排列即可，故有（个）．
综上知，有（个）无重复数字的四位数．
18
【详解】（1）证明：由得，易知，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，
所以.
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【详解】（1）函数，则，
当时，，当，，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，
则在上的最大值，最小值，
故在上的值域为.
20．
【详解】（1）二项式展开式的通项为（且），
所以第五项的二项式系数，第三项的系数为，
依题意可得，即，所以，
则，
所以展开式中所有二项式系数的和为.
（2）由（1）可得二项式展开式的通项为（且），
令，又且，则或或，
所以有理项有，，.
21．
【详解】（1）因为是与2的等差中项，
所以，即，
则，
当时，，
从而，
则等比数列的公比，
故；
因为，点在一次函数的图象上，
所以，即等差数列的公差为2，
从而.
（2）由，
得：...①
...②
①-②得，
，
从而.
22．
【详解】（1）因为，则，
当时，恒成立，故在上单调递增；
当时，令，得，
当时，，上单调递减；
当时，，上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在单调递增.
（2）当，即时，由（1）知在上单调递增，
所以，即（舍去）；
当，即时，由（1）知在单调递减，在单调递增
所以，解得（舍去）；
当，即时，由（1）知在单调递减，
所以，解得；
综上所述，.