重难点08 玩转外接球、内切球、棱切球经典问题（十四大题型）（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：正方体、长方体模型
题型二： 正四面体模型
题型三：对棱相等模型
题型四：直棱柱模型
题型五：直棱锥模型
题型六：正棱锥与侧棱相等模型
题型七：侧棱为外接球直径模型
题型八：共斜边拼接模型
题型九：垂面模型
题型十：最值模型
题型十一：二面角模型
题型十二：圆锥圆柱圆台模型
题型十三：锥体内切球
题型十四：棱切球
【方法技巧与总结】
技巧总结一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
技巧总结二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
技巧总结三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
技巧总结四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
技巧总结五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②．
技巧总结六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
技巧总结七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
技巧总结八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
技巧总结九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

图1 图2
技巧总结十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
技巧总结十一：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

技巧总结十二：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3、球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
技巧总结十三：锥体内切球
方法：等体积法，即
技巧总结十四：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
【典型例题】
题型一：正方体、长方体模型
【典例1-1】（2024·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2024·河北·高一期中）《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·河南·模拟预测）在三棱锥中，已知平面，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型二： 正四面体模型
【典例2-1】（2024·福建龙岩·模拟预测）在正四面体PABC中，点D，E分别在线段PC，PB上，，若的最小值为，则该正四面体外接球的表面积为（ ）
A．27πB．54πC．D．
【典例2-2】（2024·贵州·凯里一中高二期末）我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体”，在正四面体中，分别为棱的中点，当时，四面体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·全国·高三专题练习）金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的个顶点，个面的中心，此外在立方体的对角线的处也有个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为，则正四面体的棱长为__________；正四面体的外接球的体积是__________．
题型三：对棱相等模型
【典例3-1】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【典例3-2】（2024•让胡路区校级模拟）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【变式3-1】已知四面体中，，，，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为
A．B．C．D．
题型四：直棱柱模型
【典例4-1】（2024·全国·高二课时练习）表面积为81π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的底面边长为______．
【典例4-2】（2024·河南·高三阶段练习）已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．
【变式4-1】（2024·浙江·高二期中）在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．
题型五：直棱锥模型
【典例5-1】（2024·全国·高一阶段练习）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】（2024·河北沧州·高一期末）已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型六：正棱锥与侧棱相等模型
【典例6-1】（2024·重庆·高二期末）如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．
【典例6-2】（2024·全国·高一期末）在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2024·天津·高三专题练习）蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠的表面上有五个点、、、、恰好构成一正四棱锥，若该棱锥的高为8，底面边长为，则该鞠的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2024·江苏徐州·高二期中）在正六棱锥中，，，则此正六棱锥的侧面积为___________；该正六棱锥的外接球的表面积为___________．
【变式6-3】（2024·重庆市实验中学高一阶段练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．
题型七：侧棱为外接球直径模型
【典例7-1】（2024•迎泽区校级月考）已知球的直径，、是该球面上的两点，且，，，则三棱锥的体积为
A．B．C．D．
【典例7-2】已知为球的直径，，是球面上两点，且，，，若球的体积为，则棱锥的体积为
A．B．C．D．
【变式7-1】（2024•道里区校级四模）已知为球的直径，，是球面上两点，且，，若球的体积为，则棱锥的体积为
A．B．C．D．
题型八：共斜边拼接模型
【典例8-1】（2024·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】（2024·江西赣州·高二期中）在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2024·全国·高三专题练习）三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD， AB⊥DB．则三棱锥D-ABC外接球的表面积是（ ）．
A．B．C．D．
题型九：垂面模型
【典例9-1】（2024·江西抚州·高三阶段练习）在三棱锥中，，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_______．
【典例9-2】（2024·全国·高三专题练习）已知四棱锥的五个顶点在球的球面上，平面与平面都与底面垂直，且，，则球的体积为________．
【变式9-1】（2024·四川省资阳中学高二期中）已知四棱锥的顶点都在球上,底面是矩形,平面平面,为正三角形,,则球的表面积为______．
题型十：最值模型
【典例10-1】（2024·陕西榆林·三模）阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥.已知在阳马中，平面，且阳马的体积为9，则阳马外接球表面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例10-2】（2024·安徽阜阳·高三期末）直四棱柱的每个顶点都在球的球面上，底面为平行四边形．若，侧面的面积为，则球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】（2024·湖北·高三开学考试）在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________.
题型十一：二面角模型
【典例11-1】（2024·安徽·模拟预测）梯形中，，，，点在线段上，且，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且二面角等于，当时，四棱锥外接球的表面积为___________.
【典例11-2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．
【变式11-1】（2024·安徽省太和中学高三阶段练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型十二：圆锥圆柱圆台模型
【典例12-1】（2024·辽宁·高三开学考试）已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是____.
【典例12-2】（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型十三：锥体内切球
【典例13-1】（2024·全国·高三专题练习）一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【典例13-2】（2024·浙江省富阳中学高三阶段练习）正三棱锥的底面是面积为的正三角形，高为，则其内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式13-1】（2024·全国·高三专题练习）在直角中，．以AB为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型十四：棱切球
【典例14-1】（2024·全国·高三专题练习）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例14-2】（2024·山西运城·一模）一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式14-1】（2024·云南省文山壮族苗族自治州第一中学高一期末）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为
A．B．C．D．
【过关测试】
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南·模拟预测）点是棱长为2的正方体外接球球面上的任意一点，则四棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·贵州·模拟预测）已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高三·江西萍乡·期末）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西汉中·一模）据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（多选题）（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）

A．该正八面体结构的表面积为B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为D．该正八面体结构的内切球表面积为
7．（多选题）（2024·高三·山东潍坊·阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）
A．该截角四面体的内切球体积B．该截角四面体的体积为
C．该截角四面体的外接球表面积为D．外接圆的面积为
8．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）若一个圆柱的底面半径为1，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为 ．
9．（2024·高一·山西朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ．