重难点专题09 立体几何中的截面问题（六大题型）（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：判断截面形状
题型二：截面周长
题型三：截面面积
题型四：截面作图
题型五：截面切割几何体的体积问题
题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题
【方法技巧与总结】
1、突破思维定式，灵活分析问题
解答高中数学立体几何截面问题要突破思维定式，多视角地进行观察、分析、对比，深人地理解截面对原立体几何图形体积造成的影响，避免掉进出题人设计的陷阱之中．
2、注重应用经验，快速破解问题
解答高中数学立体几何截面问题时应注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题．
3、借助几何模型，化陌生为熟悉
在解答一些高中数学立体几何截面问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题效率．解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融人熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，达到事半功倍的解题效果．
【典型例题】
题型一：判断截面形状
【典例1-1】（2024·高一·山东青岛·期末）在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【典例1-2】（2024·高一·全国·单元测试）在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【变式1-1】（2024·河南郑州·三模）用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是（ ）
①等边三角形 ②直角梯形 ③菱形 ④五边形
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
题型二：截面周长
【典例2-1】（2024·高二·江西·期末）如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·高三·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（ ）

A．B．9C．D．
题型三：截面面积
【典例3-1】（2024·高一·江苏常州·期末）某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积为B．过圆锥两条母线的截面面积最大值为
C．圆锥的侧面积为D．圆锥的侧面展开图的圆心角为
【典例3-2】（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，则（ ）
A．截面多边形的周长为
B．截面多边形的面积为
C．截面多边形存在外接圆
D．截面所在平面与平面所成角的正弦值为
题型四：截面作图
【典例4-1】（2024·高一·河南·期中）如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，平面过点、、.
(1)画出平面截正方体所得的截面，并说明原因；
(2)求（1）中截面多边形的面积；
(3)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：）
【典例4-2】（2024·高一·广东佛山·竞赛）如图，在正方体中，分别为棱的中点.

(1)请在正方体的表面完整作出过点的截面.（只需写出作图过程，不用证明）
(2)请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.
【变式4-1】（2024·高一·湖北武汉·期末）如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，

(1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）；
(2)求截面图形的面积
题型五：截面切割几何体的体积问题
【典例5-1】（2023·广东广州·高一统考期末）在棱长为a的正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体积较小的多面体的体积为 .
【典例5-2】（2023·辽宁锦州·校考一模）在正四棱锥中，为的中点，过作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，则的最大值是 .
【变式5-1】（2023·上海·高二专题练习）如图，正方体，中，E､F分别是棱AB､BC的中点，过点､E､F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，记，则 .
题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题
【典例6-1】（2024·高二·上海青浦·期中）已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 .
【典例6-2】（2024·广西·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点为棱上一点，过点作三棱锥的截面，使截面平行于直线和，当该截面面积取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2024·高二·江西抚州·期中）已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2024·高一·福建宁德·期中）正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【过关测试】
1．（2024·高二·福建泉州·期末）正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为 .
2．（2024·高二·上海宝山·期中）已知正三棱柱的底面边长为3cm，高为3cm，M、N、P分别是、、的中点.
(1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）；
(2)在（1）中作出过M、N、P三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）.
3．（2024·高二·江西·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高三·陕西西安·阶段练习）若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线与是平行直线
C．直线与是相交直线
D．平面截正方体所得的截面面积为
6．（多选题）（2024·高一·重庆·阶段练习）已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（ ）
A．截面多边形的周长为B．截面多边形的面积为
C．截面多边形存在外接圆D．的正弦值为
7．（多选题）（2024·高三·江苏扬州·期末）棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（ ）
A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形
B．过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C．四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体
D．四棱锥与四棱锥的公共部分体积为
8．（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知直三棱柱，，，，，，平面EFG与直三棱柱相交形成的截面为，则（ ）
A．存在正实数，，，使得截面为等边三角形
B．存在正实数，，，使得截面为平行四边形
C．当，时，截面为梯形
D．当，，时，截面为梯形
9．（多选题）（2024·高三·辽宁大连·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面的距离相等
10．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积.