重难点专题12 利用几何法求异面直线所成的角（四大题型）（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：利用中位线平移
题型二：利用四边形平移
题型三：补体法
题型四：平移两次
【方法技巧与总结】
异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
【典型例题】
题型一：利用中位线平移
【典例1-1】（2024·高三·陕西西安·期末）如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接，交于点，取的中点，连接.
因为，所以与所成的角为（或其补角）.
令，在中，由，得.
又，，
由余弦定理得，即，解得，
所以.
故选：C
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在正方体中，连接，由分别为的中点，得分别为中点，
而分别为的中点，则，，
因此或其补角是异面直线与所成的角，
在中，，则，
所以异面直线与所成角的大小是.
故选：C
【变式1-1】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接，取的中点，
连接,
由题意知，,
则异面直线与所成角为（或其补角），
在中，,
则,
则异面直线与所成角的余弦值为，
故选：C.
【变式1-2】（2024·高一·江苏连云港·期末）在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，画出三棱锥，分别作出的中点，的中点，的中点，连结，，，所得图形如下图：
根据中位线的性质可得：，，且，，所以异面直线与所成角即为和所成锐角，由于，，所以在等边中，，
同理在等边中，，故，所以为等边三角形，故，
所以在中，，，，故由余弦定理可得：，
由于异面直线的夹角范围为，所以异面直线与所成角为的补角，即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
题型二：利用四边形平移
【典例2-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将直三棱柱补形为如图所示的正四棱柱：
连接、，则，
则异面直线与所成角的平面角为(或其补角)，
又，，
由余弦定理可得：，
所以，故B正确.
故选：B.
【典例2-2】（2024·高二·湖南株洲·学业考试）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在正方体中，连接，四边形是其对角面，
则四边形是矩形，，于是是异面直线与所成的角，
而，即为正三角形，，
所以异面直线与所成的角为.
故选：C
【变式2-1】（2024·高二·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，取中点，连接，取中点，连接，
则，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角是异面直线与所成角，
设正方体棱长为2，则，
在等腰中，是中点，所以，
所以，
即异面直线与所成角的正弦值为.
故选：C
【变式2-2】（2024·高一·江西南昌·期末）在长方体中，，，则异面直线，所成的角的余弦值为 .
【答案】
【解析】如图，连接，
因为且，
所以四边形为平行四边形，所以，
则或其补角即为异面直线，所成角的平面角，
在中，，
由余弦定理得，
即异面直线，所成的角的余弦值为.
故答案为：.
题型三：补体法
【典例3-1】在正方体中，为的中点，平面与平面的交线为，则与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在正方体上面补上一个正方体，
易证为与AB所成的角．
设
【典例3-2】在三棱锥P-ABC中，，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题给夆件，可以PA、AB、BC为棱将原图补成正方体，显然，正方体崍长为1，则体对角线，即为所隶异面直线的平面角，，故选．
【变式3-1】（2024·湖北·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，则直线与所成角的余弦值为
（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为平面平面，平面
所以，，又，
所以两两垂直，将三棱锥置于一个长方体中，如图所示，
易知，所以直线与所成角即为与所成角为（或其补角），
由题意可知，，
在中，由余弦定理，得
，
所以直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
【变式3-2】（2024·高三·安徽·阶段练习）在长方体（平面为下底面）中，，，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】/
【解析】在长方体的上方补一个全等的长方体，
所以，由长方体的性质可知：直线，
因为，，点为线段的中点
所以，，，
所以，
所以，异面直线与BF所成角的余弦值为.
故答案为：
题型四：平移两次
【典例4-1】（2024·高一·山西·期末）如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为 ．

【答案】
【解析】如图所示，分别取的中点，连接，
因为点在平面上的射影是，所以平面ABC，则，，
因为分别为的中点，所以，，
所以与所成的角即或其补角，
因为，所以，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故异面直线PC与AB所成角的余弦值为．
故答案为：.
【典例4-2】（2024·高一·上海杨浦·期末）若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有 条.
【答案】
【解析】在空间取一点，经过点分别作，，设直线、确定平面，
当直线满足它的射影在、所成角的平分线上时，
与所成的角等于与所成的角，设直线与、所成角为，
因为直线、所成角为，得、所成锐角为，
①当直线的射影在、所成锐角的平分线上时，
则与、所成角的范围是，
这种情况下，过点有条直线与、所成角都是；
②当直线的射影在、所成钝角的平分线上时，
与、所成角的范围是，
这种情况下，过点有且仅有条直线（即时）与、所成角都是.
综上所述，过点且与、所成角都是的直线有条.
故答案为：.
【变式4-1】（2024·高一·湖南长沙·期中）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 .
【答案】
【解析】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，由于，分别是棱，的中点，所以，，
故四边形为平行四边形，进而，
又因为，分别是，的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角.
设，则，，.
从而，，
，，
故，
故异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为：.
【过关测试】
1．（2024·高三·浙江·开学考试）已知体积为6的四面体满足，，，则异面直线与所成的角的大小为 ．
【答案】或
【解析】如图过点作且，连接，
所以为异面直线与所成的角或其补角，
由题可知是正方形，
所以，因为，，
所以，又平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以，
过作于，由平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，
因为四面体体积为6，
则四棱锥的体积为，
所以，又，
所以，又，
所以或，
当时，为等边三角形，，
在中, ，，
当时，，，
在中, ，，
所以异面直线与所成的角的大小为或.
故答案为：或.
2．（2024·高二·上海宝山·期中）若异面直线，所成的角为，则过空间上任一点P可做不同的直线与，所成的角都是，可做直线有 条.
【答案】3
【解析】将异面直线，平移过点，此时确定一个平面，当时，有1条直线，当时，有2条直线满足，得到答案.将异面直线，平移过点，此时确定一个平面，
当时，有1条直线满足所成的角为.
当时，根据对称性知有2条直线满足所成的角为.
故共有3条直线满足条件.
故答案为：.
3．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，则异面直线与所成的角的大小为 .
【答案】
【解析】如图补全，假设，平移于位置，连接
异面直线与所成的角即是直线与所成的角
，，
根据余弦定理：
故直线与所成的角
故答案为：
4．（2024·高二·上海静安·阶段练习）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有n条直线与a，b所成的角相等且等于45°，则n＝ ．
【答案】2
【解析】如图：
先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE＝80°，∠EPD＝100°，
而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为40°，
而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为50°，
因为45°＞40°，45°＜50°，
所以直线与a，b所成角相等且等于45°有且只有两条，
且直线在面PBE的射影为∠BPE的角平分线，
故答案为：2．
5．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方体中，点P在线段上运动，设异面直线与所成的角为，则的最小值是 .
【答案】/0.5
【解析】在正方体中，，
四边形是平行四边形，
，
与成角可化为与成角，
由正方体的特征可知三角形是正三角形，故当与重合时，，
当与重合时，与平行而不是异面直线，
，
由余弦函数的图像可知，在单调递减，
所以最小值是.
故答案为：
6．（2024·高一·天津和平·期末）如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，M､N分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】如图：连接，设为的中点，连接，
则且，
所以为异面直线和所成的角（或补角），
由题意可得，
所以，
，
在中由余弦定理可得：
，
故答案为：
7．（2024·高一·湖南·期末）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 .
【答案】
【解析】如图所示，连接，在正方体中，，则为异面直线与所成的角或其补角，不妨设该正方体的棱长为2，
由正方体的性质可得平面，平面可得，
在中，.
故答案为：