重难点专题13 轻松搞定线面角问题（两大题型）（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：定义法
题型二：等体积法
【方法技巧与总结】
线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
= 3 \* GB3 ③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
【典型例题】
题型一：定义法
【典例1-1】（2024·山东·二模）已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值．
【解析】（1）由平面平面，平面，
得平面平面，而平面，
所以平面．
（2）连接，由平面平面，得，
则是直线在平面内的射影，是直线与平面所成的角，
在中，，则，
由点是的中点，得，在中，，
所以直线与平面所成角的正切值是．
【典例1-2】（2024·高一·山西大同·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， ，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)设，求与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：因为平面，且平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
取的中点，连接，如图所示，
因为为的中点，所以，
再由为的中位线，可得，所以，
所以垂直于平面内的两条相交直线，所以平面，
又因为平面，所以，
连接，因为，则，
所以，所以为等腰三角形，所以，
因为且平面，所以平面.
（2）不妨设，则，
因为，可得，
所以为等腰直角三角形，且,
又因为是的中点，所以，且，
因为，且，平面，所以平面，
设交于点，过点作交于点，则平面，
连接，所以为与平面所成的角，
由，可得，
所以，
又由，可得，
所以，即与平面所成角的正弦值为.
【变式1-1】（2024·高一·江苏·阶段练习）如图在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【解析】（1）因为面面，且面面，，面，
所以面，又面，
所以，
又，又，
所以，
所以为等腰直角三角形，且，
又，且面，
所以面，又面，
所以平面平面；
（2）因为分别为的中点，所以，
所以直线与平面所成角的大小等于直线与平面所成角的大小，
因为侧面底面，
所以就是直线与平面所成角，
又为等腰直角三角形，且，
所以，
即直线与平面所成角的大小为.
【变式1-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，，平面是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值．
【解析】（1）连接，
在平行四边形中，
为与的交点，为的中点，
又为的中点，，
又平面平面平面；
（2）取的中点，连接，
为的中点，，且，
由平面，得平面，
是直线与平面所成的角，
，
在中，，
，从而，
在中，，
直线与平面所成角的正切值为．
【变式1-3】（2024·高三·河北衡水·期中）在如图所示的直三棱柱 中，D、E分别是的中点.
(1)求证: 平面;
(2)若为等边三角形，且，M为上的一点，求直线 与直线 所成角的正切值.
【解析】（1）取的中点，连接
在中，因为分别为的中点，
所以平面平面，
所以平面
在矩形中，因为分别为的中点，
所以平面 平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面
因为平面，
所以平面；
（2）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，
连接，因为为正三角形，为中点，
所以，平面平面，所以平面，
取的中点，连接，可得，故平面，
又因为，
则且，故四边形为平行四边形，
所以，
所以即为直线与直线所成角，
设，在中，，
所以.
题型二：等体积法
【典例2-1】（2024·高三·全国·阶段练习）如图，在三棱台中，平面，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角正弦值.
【解析】（1）由，得，
由平面，平面，则，
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知，，
由平面，平面，则，，，
所以，.
可得，
设到平面的距离为h，又，
则，可得，
设与平面所成角为，，则.
【典例2-2】（2024·高三·山东菏泽·开学考试）如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求MC与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）取BC的中点O，连接OA，，
因为在底面ABC上的射影为O，
所以面ABC，
在三棱柱中，面面，
所以面因为面，
所以，
在中，M为线段的中点，，
因为，
所以，
因为面，面，，
所以面，
中，，，所以，，
所以
；
（2）设C到平面的距离为d，则
在中，，，
所以，
所以，
设MC与平面所成角为，则
，
所以MC与平面所成角的正弦值为.
【变式2-1】（2024·高二·浙江绍兴·期末）如图，四边形为正方形，平面，，．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）
连接交于，如图，
由四边形为正方形，得，
又平面，平面，则，
而，即B，D，E，F四点共面，又，且平面，
所以平面.
（2）因为，则与平面所成角等于与平面所成角，
显然，，，
在中，由余弦定理得，
，因此，
设点到平面的距离为，
由平面，知，而，，则平面，
又，平面，平面，
则平面，即有点F到平面的距离为AB长2，又，
由，得，即，解得，
所以与平面所成角的正弦值为．
【过关测试】
1．（2024·高一·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面．

(1)证明：平面平面；
(2)设平面平面于直线l，证明：；
(3)若，在线段BC上是否存在点F，使得平面，若存在点F，则a为何值时，直线EF与底面所成角为．
【解析】（1）∵底面，平面，∴
又底面为正方形，∴
而，平面， ∴平面，
又∵平面PBD，∴平面平面.
（2）在正方形中，，平面，平面，
∴平面 ，∵平面，平面平面，
∴.
（3）存在点F在BC的处，使得平面．
在线段PA上取点K，使连接KE，KB，EF．
∵中，，即，
∴，且，
在正方形中，F在BC的处，∴，且，
∴，且，∴为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面，
在AD的处取点M，连接．
中，点E，M分别为的处，∴，且
∵平面，∴平面，
∴EF在平面上的射影MF，
∴即为EF与底面所成角，
在中，，若，∴
2．（2024·高一·山东威海·期末）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图②.

(1)证明：平面平面；
(2)证明：//平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值.
【解析】（1）
由题意知，，平面,
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）法一：由题意可知，，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
法二：因为，平面,平面,所以平面,
，平面,平面,所以平面,
平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面.
（3）过作交的延长线于点，连接，
因为平面平面，且交线为平面,
所以平面，
所以在平面内的射影为，
所以与平面所成的角为，
因为，所以，
在中，，，
在中，，，所以，
所以，
所以与平面所成角的正切值为.
3．（2024·高一·浙江宁波·期末）如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点、分别是线段、的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
【解析】（1）证明：连接，
因为且，故四边形为平行四边形，
因为为的中点，则为的中点，
又因为为的中点，所以，，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取中点，由题意可知，所以，且，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
因为，、平面，所以平面．
连接，则是直线与平面所成的角．
由题意，同理可得，
则，
因为平面，平面，则，则，
因为，，即直线与平面所成角的余弦值为.
4．（2024·高一·福建福州·期末）如图，在直三棱柱中，D为棱AB的中点，E为侧棱的动点，且．

(1)是否存在实数，使得∥平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)设，，，求DE与平面所成角的正弦值的取值范围．
【解析】（1）解法一：存在实数，使得∥平面．
理由如下：
如图，连接，，设，，
因为，∥，，
所以，∥，所以，
因为为AB的中点，∥，，
所以，∥，所以，
所以，所以∥，
又因为平面，平面，所以∥平面；
解法二：存在实数，使得∥平面．理由如下：
如图，连接交于点，连接GD，在直三棱柱中，四边形为矩形，所以点为的中点，
因为为棱AB的中点，所以∥，，
又因为∥，，
所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，
又因为平面，平面，
所以∥平面；
（2）因为，，，所以，所以，
过点作∥交于点，则，，
又因为，所以，
因为，平面，所以平面，
所以为DE与平面所成角，
设，在中，，
所以，
即DE与平面所成角的正弦值的取值范围为．
5．（2024·高一·辽宁大连·期末）在正三棱台中，，，为中点，在上，.

(1)请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）①作图步骤：延长，使其相交于，连接，则可得；
作图如下：
作图理由：在平面中，显然与不平行，延长相交于，
由，则平面，由平面，则平面，
由，，则平面，可得
故平面.
②连接，如下图所示：
在正三棱台中，，即，易知，
则，由，且，则，显然，
由分别为的中点，则，且，
易知，故.
（2）由题意，过作平面的垂线，垂足为，并连接，如下图所示：
由（1）可知：且，则，由，，
在侧面中，过分别作的垂线，垂足分别为，如下图所示：
易知,，所以，
在中，，则，
棱台的高，
由图可知直线与平面所成角为，
因为平面，且平面，所以，
所以.
6．（2024·高一·宁夏吴忠·期末）四棱锥中，．

(1)求证：平面平面；
(2)当平面时，求直线与平面所成的角的正切值．
【解析】（1）证明：取的中点，连接，
因为，
则四边形为边长为1的正方形，可得，
由，可得，所以，
又由，可得，所以，
因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）过点作交的延长线于点，连接,
由（1）知平面，所以平面，
所以为与平面所成的角，
因为，所以为等腰直角三角形，所以，
又因为平面，且平面，所以，
所以．
因为平面，且平面，所以，
所以，即与平面所成角的正切值为．
7．（2024·高一·上海奉贤·期末）如图，平面ABCD外一点P，，，，，，，.

(1)求异面直线PC与AD所成角的大小
(2)证明：平面；
(3)求与平面所成角的余弦值.
【解析】（1）由题意，
在四棱锥中，，，
面，面，
∴，
∵，，，
作且，则即为异面直线PC与AD所成角
，，
由几何知识得，，
在中，由勾股定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
解得：，
∴，
，
∴直线PC与AD所成角的大小为.
（2）由题意及（1）得，
在四棱锥中，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得， ，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∵，平面，
∴平面.
（3）由题意及（1）（2）得，
作，垂足为H，连接，
因为平面， 平面，
∴，
∵且平面，
∴平面，
∴为与平面所成的角，
在中，，
，
∴直线与平面所成角的余弦值为：.
8．（2024·高一·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是边长为2的正三角形，，平面平面为棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【解析】（1）证明：在中，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
因为平面平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接．
在中，，所以．
因为平面平面，平面平面平面，所以平面．
所以为直线与平面所成的角．
在中，，则，
在中， ，，则
所以,
所以直线与平面所成角的余弦值为.