2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法正确的是( )
A. 向量的模是一个正实数B. 零向量没有方向
C. 单位向量的模等于1个单位长度D. 零向量就是实数0
2.如图，在矩形ABCD中，AO+OB+AD=( )
A. ABB. ACC. ADD. BD
3.观察下面的几何体，哪些是棱柱？( )
A. (1)(3)(5)B. (1)(2)(3)(5)C. (1)(3)(5)(6)D. (3)(4)(6)(7)
4.在△ABC中，D点为边BC中点，记AB=a，AC=b，则AD=( )
A. 2(a+b)B. 2(a−b)C. 12(a−b)D. 12(a+b)
5.棱长均为1的正四面体的表面积是( )
A. 3B. 2 3C. 3 3D. 4 3
6.在△ABC中，AB=5，BC=2，∠B=60°，则AB⋅BC的值为( )
A. 5 3B. 5C. −5 3D. −5
7.直线m与平面α平行，且直线a⊂α，则直线m和直线a的位置关系不可能为( )
A. 平行B. 异面C. 相交D. 没有公共点
8.已知向量a，b满足|a|=2,|b|= 3，且a与b的夹角为π6，则(a+b)⋅(2a−b)=( )
A. 6B. 8C. 10D. 14
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,0)，b=(−1,−1)，则下列结论正确的是( )
A. a⋅b=−2B. a//bC. b⊥(a+b)D. |a|=|b|
10.已知某球的表面积为16π，则下列说法中正确的是( )
A. 球的半径为2B. 球的体积为10πC. 球的体积为323πD. 球的半径为1
11.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )
A. 平行B. 相交C. 异面D. 以上皆不可能
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(1,2)，b=(x,4)且a⋅b=10，则|a−b|=______．
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csA=bc，则△ABC的形状是______(填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个)．
14.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为9 2π，则该圆锥的体积为______．
四、解答题：本题共3小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
如图，一个圆柱形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm．
(1)求纸篓的容积；
(2)现有制作这种纸篓的塑料制品100cm2，请问最多可以做这种纸篓多少个？
(假设塑料制品没有浪费)．
16.(本小题10分)
如图，已知△ABC中，AB=3 62，∠ABC=45°，∠ACB=60°．
(1)求AC的长；
(2)若CD=5，求AD的长．
17.(本小题10分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=2，M，N，P分别为A1B1，AC，BC的中点．
(Ⅰ)求证：MN/​/平面BCC1B1；
(Ⅱ)求三棱锥B−PMN的体积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：零向量的模长为0，不是正实数，故A错误；
根据零向量的定义可知：零向量方向是任意的，故B错误；
模长为1个单位长度的向量叫单位向量，故C正确；
向量是既有大小又有方向的量，不是实数，故D错误．
故选：C．
由向量的模、零向量及单位向量的定义，直接判断选项即可．
本题考查向量的相关定义，属基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
根据向量加法法则以及向量相等的定义进行转化求解即可．
本题主要考查向量加法及其几何意义，根据向量加法的三角形法则是解决本题的关键．
【解答】
解：在矩形ABCD中，
AD=BC，
则AO+OB+AD=AO+OB+BC=AO+OC=AC，
故选：B
3.【答案】A
【解析】解：由棱柱的定义可知，(1)(3)(5)满足棱柱的定义．
故选：A．
结合棱柱的定义，即可求解．
本题主要考查棱柱的判断，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：△ABC中，D点为边BC中点，记AB=a，AC=b，则AD=12(AB+AC)=12(a+b)，
故选：D．
根据向量的加减的几何意义即可求出
本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查棱锥表面积的求解，属于基础题．
由题意，该正四面体每一个面均为边长等于1的等边三角形，其面积等于S1=12×1×1×sin60°= 34，由此即可得到该正四面体的表面积．
【解答】
解：∵正四面体的棱长均为1，
∴正四面体每一个面均为边长等于1的等边三角形，
其面积S1=12×1×1×sin60°= 34，
因此正四面体的表面积是S=4S1= 3，
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，AB=5，BC=2，∠B=60°，
则AB⋅BC=|AB||BC|cs(π−∠B)=−5×2×12=−5．
故选：D．
直接利用向量的数量积化简求解即可．
本题考查平面向量的数量积的运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量垂直的合理运用．
7.【答案】C
【解析】解：∵直线m与平面α平行，∴m与平面α没有公共点，
又直线a⊂α，∴m与a没有公共点，故C错误，D正确；
直线m与直线a没有公共点，则m与a可能平行，也可能异面，故A与B都有可能．
故选：C．
由直线与平面平行的定义可得m与平面α没有公共点，即可判断C与D；结合没有公共点的直线可能平行也可能异面判断A与B．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵|a|=2,|b|= 3，且a与b的夹角为π6，
∴a⋅b=|a||b|csπ6=2× 3× 32=3，
∴(a+b)⋅(2a−b)=2|a|2+a⋅b−|b|2=8+3−3=8，
故选：B．
根据向量的数量积运算以及运算法则，即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积的性质与运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：a⋅b=2×(−1)+0×(−1)=−2，故A正确，
2×(−1)≠0×(−1)，故B错误；
a+b=(1,−1),b⋅(a+b)=(−1,−1)⋅(1,−1)=0，
所以b⊥(a+b)，故C正确；
|a|=2,|b|= (−1)2×(−1)2= 2，故D错误．
故选：AC．
根据向量数量积、平行、垂直、模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：设球的半径为r，r>0，则4πr2=16π，r=2，
所以球的体积为4π3⋅r3=32π3，
所以AC选项正确，BD选项错误．
故选：AC．
根据已知条件求得球的半径，从而求得球的体积．
本题考查球的表面积及体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；
两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；
一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确；
故选：ABC．
利用空间中两直线的位置关系求解．
本题主要考查空间直线的位置关系，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
12.【答案】 5
【解析】解：a=(1,2)，b=(x,4)且a⋅b=10，
可得x+8=10.解得x=2，
a−b=(−1,−2)
|a−b|= (−1)2+(−2)2= 5．
故答案为： 5．
利用向量的数量积曲线x，然后求解向量的模．
本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．
13.【答案】直角三角形
【解析】解：把csA=b2+c2−a22bc，代入已知等式得：bc=b2+c2−a22bc，
整理得：2b2=b2+c2−a2，即c2=a2+b2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
利用余弦定理表示出csA，把csA代入已知等式，整理得到c2=a2+b2，即可确定出三角形形状．
本题考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，是基础题．
14.【答案】9π
【解析】解：设圆锥底面半径为r，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得：
圆锥高h=r，母线长l= 2r，
圆锥的侧面积为πrl= 2πr2=9 2 π，解得r=3，
所以圆锥的体积为13πr2h=13×π×32×3=9π．
故答案为：9π．
根据直角圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积与侧面积公式求解．
本题考查圆锥的体积的求解，属基础题．
15.【答案】解：(1)纸篓的容积为V=π×102×40=4000π(cm3)，(4分)
(2)一个纸篓要用的塑料的面积为S=2π×10×40+π×102=900π(cm2). (8分)
由100×1002900π=100009π≈353.9，故最多可以做353个这样的纸篓． (12分)
【解析】(1)利用已知条件求解体积即可．
(2)求解一个纸篓的面积，然后求解纸篓的个数．
本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)在△ABC中，AB=3 62，∠ABC=45°，∠ACB=60°．
由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB，
所以AC=ABsin⁡∠ABCsin⁡∠ACB=3 62× 22 32=3．
(2)在△ACD中，AC=3，CD=5，∠ACD=120°，
由余弦定理得AD2=AC2+CD2−2AC×CDcs∠ACD，
所以AD= AC2+CD2−2AC×CDcs∠ACD= 9+25+2×3×5×12=7．
【解析】本题考查余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用，属于较易题．
(1)由题意结合正弦定理求出AC的长．
(2)由(1)的结论结合余弦定理求出AD的长．
17.【答案】解：(Ⅰ)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=2，
M，N，P分别为A1B1，AC，BC的中点，
以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

M(0,1,2)，N(1,1,0)，MN=(1,0,−2)，
平面BCC1B1的法向量为BA=(0,2,0)，
∴MN⋅BA=0，
∵MN⊄平面BCC1B1，MN/​/平面BCC1B1；
(Ⅱ)PN⊥BC，BP=PN=1，S△BPN=12×1×1=12，
点M到平面BPN的距离为d=2，
∴三棱锥B−PMN的体积为：
VB−PMN=VM−BPN=13×S△BPN×d=13×12×2=13．
【解析】(Ⅰ)以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN/​/平面BCC1B1；
(Ⅱ)PN⊥BC，BP=PN=1，从而S△BPN=12×1×1=12，点M到平面BPN的距离为d=2，由此能求出三棱锥B−PMN的体积．
本题考查线面平行的判定、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．