2023-2024学年江西师大附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西师大附中高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各个角中与2020°终边相同的是( )
A. −150°B. 680°C. 220°D. 320°
2.下列说法正确的是( )
A. 若a=b，则a与b共线B. 若a与b是平行向量，则a=b
C. 若|a|=|b|，则a=bD. 共线向量方向必相同
3.函数y=tanx1+csx的奇偶性是( )
A. 奇函数B. 偶函数
C. 既是奇函数，又是偶函数D. 既不是奇函数，也不是偶函数
4.已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,m)，且a/​/b，则2a+3b=( )
A. (−2,−4)B. (−3,−6)C. (−5,−10)D. (−4,−8)
5.已知cs(x−π6)= 33，则csx+cs(x−π3)=( )
A. −1B. 1C. 2 33D. 3
6.化简sin(x+y)sin(x−y)−cs(x+y)cs(x−y)的结果是( )
A. sin2xB. cs2xC. −cs2xD. −sin2x
7.函数f(x)=sin(x+2φ)−2sinφcs(x+φ)的最小值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
8.将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆.在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s=2cs2 glt，其中g≈980cm/s2，π≈3，则估计线的长度应当是(精确到0.1cm)( )
A. 15.4cmB. 16.4cmC. 17.4cmD. 18.4cm
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( )
A. 扇形的面积不变B. 扇形的圆心角不变
C. 扇形的面积变为原来的4倍D. 扇形的圆心角变为原来的2倍
10.已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的是( )
A. 若|a|+|b|=|a+b|，则a与b方向相同
B. 若|a|+|b|=|a−b|，则a与b方向相反
C. 若|a|+|b|=|a−b|，则a与b模相等
D. 若||a|−|b||=|a−b|，则a与b方向相同
11.已知函数f(x)=cs2x+sinxcsx−12的图象为C，以下说法中正确的是( )
A. 函数f(x)的最大值为 2+12
B. 图象C相邻两条对称轴的距离为π2
C. 图象C关于(−π8,0)中心对称
D. 要得到函数y= 22sinx的图象，只需将函数f(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)= tanx−1的定义域为______．
13.将函数y= 3csx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)的长度单位后．所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是______．
14.给出下列命题：
①函数：y=−sin(kπ+x)(k∈Z)为奇函数；
②函数y=cs2x的最小正周期是π；
③函数y=sin(−2x+π3)的图象可由函数y=−sin2x的图象向左平移π6个单位长度得到；
④函数y=csx是最小正周期为π的周期函数；
⑤函数y=sin2x+csx的最小值是−1．
其中真命题是______(写出所有真命题的序号)．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f(x)=cs(2x−π6)− 3cs2x−12．
(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称中心；
(2)若x0∈[5π12,2π3]且f(x0)= 33−12，求cs2x0的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lgacs(2x−π3)(其中a>0，且a≠1)．
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．
17.(本小题15分)
4月11日至13日，我校组织高一高二全体师生一千六百余人前往九江、景德镇、上饶、抚州等地开展为期三天的融研学实践活动，汤显祖文化馆是此次研学的路线点之一，该文化馆每年都会接待大批游客.在该文化馆区的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物？
18.(本小题17分)
人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．
若二维空间有两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则曼哈顿距离为：d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|
余弦相似度为：cs(A,B)=x1 x12+y12×x2 x22+y22+y1 x12+y12×y2 x22+y22
余弦距离为1−cs(A,B)
(1)若A(−1,2)，B(35,45)，求A，B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离；
(2)已知M(sinα,csα)，N(sinβ,csβ)，Q(sinβ,−csβ)，若cs(M,N)=15，cs(M,Q)=25，求tanαtanβ的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)+ 2(0