2023-2024学年浙江省杭州十四中附中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州十四中附中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为( )
A. 0.65×10−5B. 65×10−7C. 6.5×10−6D. 6.5×10−5
2.下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a3=a9B. (a3)2=a6C. (ab)3=ab3D. a3+a3=a6
4.若关于x、y的方程ax+y=2的一组解是x=4y=−6，则a的值为( )
A. −1B. 12C. 1D. 2
5.下列算式能用平方差公式计算的是( )
A. (a+b)(a+b)B. (a−b)(a−b)C. (−a+b)(a+b)D. (a+b)(−a−b)
6.如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB/​/CD的是( )
A. ∠3=∠4B. ∠D+∠ACD=180°
C. ∠D=∠DCED. ∠1=∠2
7.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是( )
A. (x+2)(x−2)=x2−4B. x2−2x−3=x(x−2)−3
C. x2−4x+4=(x−2)2D. x3−x=x(x2−1)
8.一道来自课本的习题：
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程x3+y4=5460，则另一个方程正确的是( )
A. x4+y3=4260B. x5+y4=4260C. x4+y5=4260D. x3+y4=4260
9.如图，AB/​/CD，点P在AB，CD之间，∠ACP=2∠PCD=40°，连结AP，若∠BAP=α，∠CAP=α+β.下列说法中正确的是( )
A. 当∠P=60°时，α=30°
B. 当∠P=60°时，β=40°
C. 当β=20°时，∠P=90°
D. 当β=0°时，∠P=90°
10.已知关于x，y的方程组x+3y=4−ax−y=3a，给出下列结论：①x=5y=−1是方程组的一个解；②当a=−2时，x，y的值互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4−a的解；④x，y间的数量关系是x−2y=3.其中正确的是( )
A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.(π−1)0=______，(−13)−2=______．
12.已知二元一次方程x−2y=10，用含x的代数式表示y，则y= ______．
13.分解因式：3x2−6x= ______．
14.若x2−px−6=(x−2)(x+3)，则p的值为______．
15.如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG/​/AE，∠1=∠2.若BC平分∠ABD，∠D=112°，则∠C= ______度.
16.爱好数学的小明，来到西湖边一知名奶茶店，注视着价格表，陷入了沉思…．
(1)小明发现：2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元，那么购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需______元；
(2)小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共10杯，共消费了187元，若杨枝甘露18元/杯.百香风梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，则葡萄芝士买了______杯.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)x2⋅x3+x4⋅x；
(2)(3x2y)2÷(−9x4y)．
18.(本小题6分)
因式分解：
(1)4a2−1；
(2)16m4−8m2n2+n4．
19.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x=2y2x+y=5；
(2)2x−3y=73x+9y=−3．
20.(本小题8分)
(1)先化简，再求值：m(m−2n)+(m+n)2−(m+n)(m−n)，其中m=−1，n=2．
(2)已知x+y=3，xy=2，求(x−y)2的值．
21.(本小题10分)
如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3=∠B，EF/​/AB．
(1)求证：DE/​/BC；
(2)若DE平分∠ADC，∠2=4∠B，求∠1．
22.(本小题10分)
某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元.甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件．
(1)甲、乙两种商品每件进价各多少元？
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
(3)该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品.其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
23.(本小题12分)
如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK=c，正方形ABCD的面积记为S，阴影部分面积分别记为S1，S2．
(1)用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD；
(2)若c=2，且S1=S2，求2a+2b−ab的值；
(3)若a=b，试说明S−3(S1−S2)是完全平方式．
24.(本小题12分)
如图，∠AEF=80°，且∠A=x°，∠C=y°，∠F=z°.若 x−m−20+|y−80−m|+|z−40|=0(m为常数，且0(1)求∠A、∠C的度数(用含m的代数式表示)；
(2)求证：AB/​/CD；
(3)若∠A=40°，∠BAM=20°，∠EFM=10°，直线AM与直线FM交于点M，直接写出∠AMF的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：数字0.0000065用科学记数法表示为6.5×10−6．
故选：C．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】D
【解析】解：A.∠1与∠2是同旁内角，故本选项不符合题意；
B.∠1与∠2是内错角，故本选项不符合题意；
C.∠1与∠2是对顶角，故本选项不符合题意；
D.∠1与∠2是同位角，故本选项符合题意．
故选：D．
根据同旁内角、内错角、对顶角及同位角的定义进行作答即可．
本题主要考查同旁内角、内错角、对顶角及同位角，熟练掌握以上定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.a3⋅a3=a6，故本选项不符合题意；
B.(a3)2=a6，故本选项符合题意；
C.(ab)3=a3b3，故本选项不符合题意；
D.a3+a3=2a3，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方及合并同类项进行逐一判断即可．
本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方及合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：将x=4y=−6代入方程ax+y=2中，得4a−6=2，
解得a=2．
故选：D．
【分析】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键．
将方程的解代入方程，可得关于a的方程，解方程可得出答案．
5.【答案】C
【解析】解：A、因为(a+b)(a+b)表示两个数的和乘以两个数的和，不符合平方差公式表示两个数的和乘以两个数的差，不符合题意；
B、(a−b)(a−b)表示两个数的差乘以两个数的差，不符合平方差公式表示两个数的和乘以两个数的差，不符合题意；
C、(−a+b)(a+b)表示两个数的差乘以两个数的和，符合平方差公式的条件，符合题意；
D、(a+b)(−a−b)表示两个数的和乘以两个数的相反数的和，不符合平方差公式表示两个数的和乘以两个数的差，不符合题意．
故选：C．
根据平方差公式的基本条件判断．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式表示两个数的差乘以两个数的和是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、由∠3=∠4可判断DB/​/AC，故此选项错误；
B、由∠D+∠ACD=180°可判断DB/​/AC，故此选项错误；
C、由∠D=∠DCE可判断DB/​/AC，故此选项错误；
D、由∠1=∠2可判断AB/​/CD，故此选项正确，
故选：D．
【分析】根据平行线的判定分别进行分析即可．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
7.【答案】C
【解析】解：A.是整式的乘法，故A不符合题意；
B.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C.是因式分解且完全正确，故C符合题意；
D.x3−x=x(x2−1)=x(x+1)(x−1)，故D不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的意义求解即可．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
8.【答案】B
【解析】解：设未知数x，y，已经列出一个方程x3+y4=5460，则另一个方程正确的是：x5+y4=4260．
故选：B．
直接利用已知方程得出上坡的路程为x，平路为y，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠ACP=2∠PCD=40°，
∴∠PCD=20°．
∴∠ACD=∠ACP+∠PCD=40°+20°=60°．
∵AB/​/CD，
∴∠CAB+∠ACD=180°．
∴∠CAB=180°−∠ACD=120°．
∵∠BAP=α，∠CAP=α+β，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=α+β+α=2α+β=120°．
∵∠CAP+∠ACP+∠P=180°，
∴∠P=180°−∠ACP−∠CAP=180°−40°−(α+β)=140°−α−β．
A：当∠P=60°，则140°−α−β=60°．
∴α+β=80°．
∴2α+β=α+80°=120°．
∴α=40°．
故A不正确．
B：当∠P=60°时，则140°−α−β=60°．
∴α+β=80°．
∴2α+β=α+80°=120°．
∴α=40°．
∴β=80°−α=40°．
故B正确．
C：当β=20°时，则2α+β=2α+20°=120°．
∴α=50°．
∴∠P=140°−α−β=140°−50°−20°=70°．
故C不正确．
D：当β=0°时，则2α+β=2α+0°=120°．
∴α=60°．
∴∠P=140°−α−β=140°−60°−0°=80°．
故D不正确．
故选：B．
【分析】本题主要考查三角形内角和以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质与三角形的内角等于180°是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．①将x=5，y=−1代入检验即可做出判断；②将a=−2代入方程组求出方程组的解即可做出判断；③将a=1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④消去a得到关于x与y的方程，即可做出判断．
【解答】解：①将x=5，y=−1代入方程组得：5−3=4−a5−(−1)=3a，
解得：a=2，本选项正确；
②将a=−2代入方程组得：x+3y=6①x−y=−6②，
①−②得：4y=12，即y=3，
将y=3代入②得：x=−3，
则x与y互为相反数，本选项正确；
③将a=1代入方程组得：x+3y=3①x−y=3②，
解得：x=3y=0，
将x=3，y=0代入方程x+y=4−a=3的左边得：3+0=3，是方程x+y=3的解，本选项正确；
x+3y=4−a①x−y=3a②，
由①得：a=4−x−3y，
代入②得：x−y=3(4−x−3y)，
整理得：x+2y=3，本选项错误，
则正确的选项为①②③．
故选B．
11.【答案】1 9
【解析】解：(π−1)0=1、(−13)−2=1(−13)2=119=9，
故答案为：1、9．
根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算可得．
本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则．
12.【答案】x−102
【解析】解：x−2y=10，
移项得，2y=x−10，
系数化为1得，y=x−102．
故答案为：x−102．
将x看作已知数，解关于y的一元一次方程即可．
本题主要考查解二元一次方程，掌握等式的性质是解题的关键．
13.【答案】3x(x−2)
【解析】解：3x2−6x=3x(x−2)．
故答案为：3x(x−2)．
首先确定公因式为3x，然后提取公因式3x，进行分解．
此题考查的是因式分解−提公因式法，解答此题的关键是先确定公因式3x．
14.【答案】−1
【解析】解：∵x2−px−6=(x−2)(x+3)，
∴−p=3−2=1，
∴p=−1．
故答案为：−1．
根据十字相乘法的分解方法和特点可知：−p=3−2．
本题主要考查十字相乘法分解因式，找到对应的系数是关键．
15.【答案】34
【解析】解：∵FG/​/AE，
∴∠1=∠A，
又∵∠1=∠2，
∴∠A=∠2，
∴AB/​/CD，
∴∠ABC=∠C，∠D+∠ABD=180°，
又∵∠D=112°，
∴∠ABD=180°−112°=68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=12∠ABD=34°，
∴∠C=∠ABC=34°．
故答案为：34．
先根据FG/​/AE推出∠1=∠A，然后根据∠1=∠2得到∠A=∠2，用“内错角相等，两直线平行”判定AB/​/CD后得到∠ABC=∠C和∠D+∠ABD=180°，根据∠D的度数求出∠ABD的度数后根据角平分线定义求出∠ABC的度数，即可求出结果．
本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定方法是解决问题的关键．
16.【答案】54 5
【解析】解：(1)设每杯西瓜啵啵的价格为x元，每杯元气鲜橙的价格为y元．
由题意，得2x+3y=88①3x+5y=142②，
②−①，得x+2y=54．
故购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需54元．
故答案为：54；
(2)设小明购买葡萄芝士m杯杨枝甘露n杯，则购买百香凤梨(10−m−n )杯，
由题意，得18n+15(10−m−n )+20m=187，
化简，得n=37−5m3，
又m、n、(10−m−n )均为正整数，
m=5，n=4.故葡萄芝士买了5杯．
故答案为：5．
(1)设每杯西瓜啵啵的价格为x元，每杯元气鲜橙的价格为y元，列出二元一次方程组，即可求解．
(2)设小明购买葡萄芝士m杯杨枝甘露n杯，则购买百香凤梨(10−m−n)杯，得n=37−5m3，分析即可．
本题考查二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
17.【答案】解：(1)原式=x5+x5=2x5．
(2)原式=9x4y2÷(−9x4y)=[9÷(−9)]×(x4÷x4)×(y2÷y)=−y．
【解析】(1)先算乘法，再算加法．
(2)先乘方，再算除法．
本题考查整式的混合运算，确定计算的顺序是求解本题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=(2a+1)(2a−1)；
(2)原式=(4m2)2−2×4m2×n2+(n2)2
=(4m2−n2)
=(2m+n)(2m−n)．
【解析】(1)利用平方差公式进行因式分解即可作答；
(2)先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可．
本题主要考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x=2y①2x+y=5②，
把①代入②，得2×2y+y=5，
解得y=1，
把y=1代入①，得x=2，
所以方程组的解是x=2y=1；
(2)2x−3y=7①3x+9y=−3②，
①×3，得6x−9y=21③，
②+③，得9x=18，
解得x=2，
把x=2代入①，得y=−1，
所以方程组的解是x=2y=−1．
【解析】(1)利用代入消元法解二元一次方程组即可；
(2)利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法、加减消元法解方程组是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=m2−2mn+m2+2mn+n2−(m2−n2)
=m2−2mn+m2+2mn+n2−m2+n2
=m2+2n2．
当m=−1，n=2时，原式=1+2×4=9；
(2)(x−y)2
=x2−2xy+y2
=x2+2xy+y2−4xy
=(x+y)2−4xy．
当x+y=3，xy=2时，
原式=32−4×2=1．
【解析】(1)根据整式的混合运算法则把原式化简，把m、n的值代入计算得到答案；
(2)根据完全平方公式把原式变形，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵EF//AB(已知)，
∴∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等)，
∵∠3=∠B(已知)，
∴∠B=∠ADE(等量代换)，
∴DE/​/BC(同位角相等，两直线平行)；
(2)解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵DE/​/BC，
∴∠B=∠ADE，
∵∠2=4∠B，
∴∠2=4∠ADE，
∵∠2+∠ADC=180°，
∴4∠ADE+2∠ADE=180°，
∴∠ADE=30°，
∴∠ADC=60°，
∵EF//AB，
∴∠1=∠ADC=60°．
【解析】(1)由EF/​/AB，得到∠ADE=∠3，等量代换可知∠ADE=∠B，由此可证明DE/​/BC；
(2)由两直线平行，得到∠1=∠ADC，根据∠2+∠ADC=180°，∠2=4∠B即可求得∠1的度数．
本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的性质和角平分线的性质是解题关键．
22.【答案】解：(1)设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，
由题意可得：y−x=540x+160y=3800，
解得：x=15y=20，
答：甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价20元；
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润为
40×(20−15)+160×(25−20)=1000元．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1000元的利润．
(3)由题意40×[20(1+a%)−15]+160×[25(1−a%)−(20−3)]=1000+160，
解得a=10．
答：a的值是10．
【解析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意、搞清楚进价、销售量、利润之间的关系，属于中考常考题型．
(1)设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件y元．根据乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元、总进价3800元列出方程即可解决问题．
(2)求出甲、乙两种商品的利润和即可．
(3)根据第二次的利润1000+160=1160(元)，列出方程即可．
23.【答案】解：(1)KI=HI−HK=b−c，
GD=AD−AG=a+b−c−a=b−c．
(2)S1=GD×GL=(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2，
S2=c2．
∵S1=S2．
∵ab−bc−ac=0，
∴ab=c(a+b)，
∴2a+2b−ab=2(a+b)−c(a+b)=2(a+b)−2(a+b)=0．
(3)当a=b时，S1−S2=ab−ac−bc=a2−2ac，
S=AD2=(a+b−c)2=(2a−c)2，
∴S−3(S1−S2)=(2a−c)2−3a2+6ac
=4a2−4ac+c2−3a2+6ac
=(a+c)2．
∴S−3(S1−S2)是完全平方式．
【解析】(1)通过KI=HI−HK，GD=AD−AG计算．
(2)先找到a，b的关系，再计算．
(3)根据完全平方公式的特征判断．
本题考查完全平方公式的几何背景，正确表示线段的长度是求解本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵ x−m−20+|y−80−m|+|z−40|=0，
∴x−m−20=0，y−80−m=0，z−40=0，
∴x=m+20，y=m+80，z=40°，
即∠A=m+20°，∠C=m+80°；
(2)如图，过点F作FG/​/AB，过点E作EH/​/AB，
∴EH/​/FG，
∴∠BAE=∠AEH=m+20°，∠EFG=∠FEH，
∴∠EFG=∠AEF−∠AEH=80°−(m+20°)=60°−m，
∵∠CFG+∠FCD=z+60°−m+y=40°+60°−m+m+80°=180°，
∴CD/​/FG，
∴AB/​/CD；
(3)当∠A=m+20°=40°时，∠C=m+80°=100°，
如图，分四种情况，∠AMF的度数分别为50°、70°、30°、10°．


【解析】(1)依据 x−m−20+|y−80−m|+|z−40|=0，即可得到x−m−20=0，y−80−m=0，z−40=0，进而得出∠A=m+20°，∠C=m+80°；
(2)过点F作FG/​/AB，过点E作EH/​/AB，依据平行线的性质可得∠BAE=∠AEH=m+20°，∠EFG=∠FEH，进而得到∠EFG=∠AEF−∠AEH=60°−m，依据∠CFG+∠FCD=z+60°−m+y=180°，可得CD/​/FG，即可得出AB/​/CD；
(3)分四种情况，依据平行线的性质即可得到∠AMF的度数分别为50°、70°、30°、10°．
本题考查了非负数的性质以及平行线的性质和判定的应用，非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程是解此题的关键．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少？