2023-2024学年江苏省南京市金陵中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市金陵中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几何体中，棱数最多的是( )
A. 五棱锥B. 三棱台C. 三棱柱D. 四棱锥
2.设z=2+4i1−3i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z−=( )
A. −1+iB. −1−iC. 1−iD. 1+i
3.若△ABC中，a=x,b= 3,A=π4，若该三角形有两个解，则x范围是( )
A. ( 3,6)B. (2,2 3)C. [ 62, 3)D. ( 62, 3)
4.已知向量a=(3,−1)，单位向量c与向量b=(2,1)同向共线，则向量c在向量a方向上的投影向量为( )
A. (−3 510, 510)B. (3 510,− 510)C. (− 22,3 22)D. (3 22,− 22)
5.已知M=sin100°−cs100°，N= 2(sin44°cs12°+sin46°sin12°)，P=12(1+tan22°)(1+tan23°)，那么M，N，P之间的大小顺序为( )
A. M6.已知θ∈(0,π4)，且cs2θ= 53，则tanθ=( )
A. 3− 52B. 3− 54C. 55D. 55或 5
7.十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD(称为太阳高度角)，最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.若在一次测量中，AE=60，横档CD的长度为40，则太阳高度角的正弦值为( )
A. 45B. 35C. 13D. 34
8.△ABC中，BC=2，AC=2 3，∠ACB=90°，D为线段CB的中点，点E，F分别在线段BA，AC上.若△DEF为正三角形，则△DEF的面积为( )
A. 3 316
B. 3 38
C. 7 316
D. 3 328
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 若(1+i)z=−i，则|z|=1
B. 若z的共轭复数z−=−12− 32i，则z2=z−
C. i2024=1
D. 在复平面内，集合M={z||z−2|≤2|}所构成区域的面积为6π
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有( )
A. 若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csC
C. 若BA⋅BC=AB⋅AC，则△ABC是直角三角形
D. 若a=b+ccsB+csC，则△ABC是直角三角形
11.如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧PQ上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC=α.则下列说法正确的是( )
A. 弧PQ的长为π3
B. 扇形OPQ的面积为π3
C. 当sinα=13时，矩形ABCD的面积为2 29− 327
D. 矩形ABCD的面积的最大值为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知csx+sinx= 23，则sin2x= ______．
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcsA=a+2c，且b=4，则△ABC面积的最大值为______．
14.如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=2.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ=45°，则AP⋅AQ的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知csα=35,α∈(−π2,0)．
(1)求cs(α−π3)的值；
(2)若sin(α+β)=− 210,β∈(0,π2)，求β的值．
16.(本小题15分)
已知在△ABO中，点D在线段OB上，且OD=3DB，延长BA到C，使BA=AC.设OA=a，OB=b．
(1)用a、b表示向量OC、DC；
(2)若向量|a|= 3，|b|=2，a、b夹角为π6，求cs∠DCO的值．
17.(本小题15分)
已知向量a=(2csx,1)，b=(−cs(x+π3),12)．
(1)若a//b且x∈[0,π2]，求x的值；
(2)记f(x)=a⋅b，x∈R．
①求f(x)的单调增区间；
②若任意x∈[−5π12,π6]，均满足−2≤f(x)−m≤5，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinC=sinB(sinA−csA)．
(1)若b=15c，求tanA2的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，求证：tanA+tanB≥7+4 3；
(3)若△ABC的面积为 2+1，求边AC的最小值．
19.(本小题17分)
某市遇到洪涝灾害.在该市的某湖泊的岸边的O点处(湖岸可视为直线)停放着一艘搜救小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑(假设小船沿直线匀速漂移)．
(1)为了找回小船，需要测量小船的漂移速度(请使用km/h作为单位，精确到0.1km/h)．
现有两种方案：
①如图1，在湖岸设置一个观察点A，A点距离O点20m.当小船在漂移到B处时，测得∠BAO=45°；经过15s，小船漂移到C处，测得∠BAC=60°.又在O点处测量得小船的漂移方向与河岸成30°.请根据以上数据，计算小船的漂移速度．
②如图2，在岸边设置两个观察点A，B，且A，B之间的直线距离为20m，当小船在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=15°；经过20s，小船漂移到D处，测得∠BAD=75°和∠ABD=45°.请根据以上数据，计算小船的漂移速度．
(2)如图3，若小船从点O开始漂移的同时，在O点处的一名安全员沿河岸以4km/h开始追赶小船，在此过程中获知小船的漂移方向与河岸成30°，漂移的速度为2.2km/h，于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水，以2km/h的速度游泳沿直线追赶小船.问安全员是否能追上小船？请说明理由．
参考数据：sin15°= 6− 24，sin75°= 6+ 24， 2≈1.414， 3≈1.732．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意，因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，
所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥．
故选：A．
根据题意，依次分析选项中多面体的棱数，比较可得答案．
本题考查多面体的几何结构，涉及棱台、棱锥、棱柱的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=2+4i1−3i=(2+4i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=−10+10i10=−1+i，
所以z−=−1−i．
故选：B．
先利用复数的四则运算求出z，再结合共轭复数的概念求解．
本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由正弦定理asinA=bsinB，可得x 22= 3sinB，
所以sinB= 62x，
因为该三角形有两个解，
所以 62x<1且x< 3，
解得 62故选：D．
由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形解的个数中的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：单位向量c与向量b=(2,1)同向共线，
则c=b|b|=(2 55, 55)，
则c在a方向上的投影向量为|c|cs〈c,a〉a|a|=a⋅c|a|⋅a|a|=(3 510,− 510)．
故选：B．
根据题意，由投影向量的定义代入计算，即可得到结果．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可得：M= 2(sin100°× 22−cs100°× 22)= 2sin(100°−45°)= 2sin55°> 2sin45°=1，
N= 2sin(44°+12°)= 2sin56°> 2sin55°=M，
又tan(22°+23°)=tan22°+tan23°1−tan22∘tan23∘=1，
可得tan22°+tan23°+tan22°tan23°=1，
可得P=12(1+tan22°)(1+tan23°)=12(1+tan22°+tan23°+tan22°tan23°)=1，
所以P故选：B．
利用三角函数恒等变换以及正弦函数的性质可求M>1，N>M，P=1，即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的倍角公式，同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
利用三角函数的倍角公式，同角三角函数间的基本关系求出tan2θ=(3− 5)24，即可求解．
【解答】
解：∵cs2θ= 53，
∴cs2θ−sin2θ= 53，
即cs2θ−sin2θcs2θ+sin2θ= 53，
∴1−tan2θ1+tan2θ= 53，
∴tan2θ=(3− 5)24，
∵θ∈(0,π4)，
∴tanθ=3− 52．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：由题意DE的影子恰好是AE，知AE垂直平分CD，
又AE=60，横档CD的长度为40，
故CE=12CD=20，
在Rt△AEC中，AE=60，则AC= AE2+CE2= 602+202=20 10，
则sin∠CAE=CEAC= 1010，cs∠CAE=AEAC=3 1010，
而∠CAD=2∠CAE，故sin∠CAD=2sin∠CAEcs∠CAE=2× 1010×3 1010=35，
即太阳高度角的正弦值为35．
故选：B．
由题意推得AE垂直平分CD，可得∠CAD=2∠CAE，于是解直角三角形可得sin∠CAE，cs∠CAE的值，由二倍角正弦公式即可求得答案．
本题考查了勾股定理和二倍角的正弦公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：设∠CDF=θ，则∠BDE=120°−θ，在△ABC中，BC=2，AC=2 3，∠ACB=90°，
在△DCF中，CD=12CB=1，∠DCF=90°，
在△DEB中，∠EBD=60°，∠DEB=θ，则BDsinθ=EDsin60∘，
所以ED= 32sinθ= 32sinθ，
由题，△DEF为正三角形，所以DF=DE，即1csθ= 32sinθ，
所以tanθ= 32，所以csθ=2 7，所以DF=1csθ= 72，
从而△DEF的面积为S△DEF= 34DF2= 34×( 72)2=7 316．
故选：C．
由已知结合正弦定理先表示ED，结合同角基本关系及正弦定理求出DF，再由三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，同角基本关系及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由(1+i)z=−i，得z=−i1+i，则|z|=|−i1+i|=|−i||1+i|=1 2= 22，故A错误；
由z=−12+ 32i，得z2=(−12+ 32i)2=14− 32i−34=−12− 32i，故B正确；
i2024=(i4)506=1，故C正确；
集合M={z||z−2|≤2|}表示以(2,0)为圆心，半径为2的圆，故S=πr2=4π，故D错误．
故选：BC．
求解复数的模判断A；利用复数代数形式的乘除运算判断B；由虚数单位i的运算性质判断C；由复数模的几何意义判断D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
对于A，若sin2A+sin2B>sin2C，由正弦定理得a2+b2>c2，则csC=a2+b2−c22ab>0，
所以C为锐角，但不能断定△ABC是否为锐角三角形，所以A错误；
对于B，在锐角△ABC中，由A+C>π2，可得A>π2−C，且A，π2−C∈(0,π2)，
由函数y=sinx在x∈(0,π2)上单调递增，得sinA>sin(π2−C)，即sinA>csC，所以B正确；
对于C，由BA⋅BC=AB⋅AC，得AB⋅(AC+BC)=0，设AB中点为M，
则AB⋅2CM=0，即AB⊥CM，所以△ABC是等腰三角形，所以C错误；
对于D，由a=b+ccsB+csC，得sinA=sinB+sinCcsB+csC，
所以sinAcsB+sinAcsC=sin(A+C)+sin(A+B)=sinAcsC+csAsinC+sinAcsB+csAsinB，
得csA(sinC+sinB)=0，因为00，sinC>0，所以csA=0，
因为0故选：BD．
对于A，由正弦定理得C为锐角，但不能断定△ABC是否为锐角三角形；对于B，由函数y=sinx在x∈(0,π2)上单调递增即可判断；对于C，设AB中点为M，由题意得出AB⊥CM即可判断；对于D，由正弦定理和两角和的正弦公式即可判断．
本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，由题意知，弧PQ的长为π3×1=π3，A正确；
对于B，扇形OPQ的面积为12×π3×1=π6，B错误；
对于C，在Rt△OBC中，OB=OC⋅csα=csα，BC=OC⋅sinα=sinα，
在Rt△OAD中，OA= 33AD= 33BC= 33sinα，AB=OB−OA=csα− 33sinα，
则ABCD的面积S=AB⋅BC=(csα− 33sinα)sinα，
当sinα=13时，由0<α<π3，得csα=2 23，S=(2 23− 39)⋅13=2 29− 327，C正确；
对于D，S=12sin2α+ 36cs2α− 36= 33sin(2α+π6)− 36，
当sin(2α+π6)=1，即α=π6时，矩形ABCD的面积取最大值 36，D错误．
故选：AC．
对于A，由题意利用扇形的弧长公式即可求解判断；
对于B，利用扇形的面积公式即可求解判断；
对于C，由题意可求ABCD的面积S=AB⋅BC=(csα− 33sinα)sinα，由sinα=13，结合0<α<π3，利用同角三角函数基本关系式可求得csα=2 23，即可判断；
对于D，利用三角函数恒等变换的应用可求S=12sin2α+ 36cs2α− 36= 33sin(2α+π6)− 36，利用正弦函数的性质即可求解判断．
本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
12.【答案】−79
【解析】解：因为csx+sinx= 23，
两边平方，可得cs2x+sin2x+2sinxcsx=1+sin2x=29，
所以sin2x=−79．
故答案为：−79．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
13.【答案】4 33
【解析】解：2bcsA=a+2c，
则2b⋅b2+c2−a22bc=a+2c，即c2+a2+ac=b2，
由余弦定理csB=a2+c2−b22ac=−12，
又B∈(0,π)，故B=2π3，
16=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac，当且仅当a=c=4 33，取得等号，
故S△ABC=12acsinB= 34ac≤4 33，即△ABC面积的最大值为4 33．
故答案为：4 33．
根据余弦定理，推得B=2π3，再结合基本不等式的公式，三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查三角形面积的求解，属于基础题．
14.【答案】12( 2−1)
【解析】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(3,0)，D(0,2)，
设∠PAB=θ，则P(3,3tanθ)，Q(2tan(θ+π4),2)，
则AP=(3,3tanθ)，AQ=(2tan(θ+π4),2)，0≤tanθ≤23，
故AP⋅AQ=6tan(θ+π4)+6tanθ=6−6tanθ1+tanθ+6tanθ
=121+tanθ+6tanθ−6=121+tanθ+6(tanθ+1)−12≥12 2−12，
当且仅当tanθ= 2−1时，等号成立，
所以AP⋅AQ的最小值为12( 2−1)．
故答案为：12( 2−1)．
建立直角坐标系，设∠PAB=θ，由已知求得向量AP及AQ的坐标，再利用三角恒等变换化简数量积的表达式，求得最值．
本题考查平面向量数量积运算，考查两角和的正切公式及基本不等式求最值，属中档题．
15.【答案】解：(1)由sin2α+cs2α=1,csα=35,α∈(−π2,0)，可得sinα=−45，
所以cs(α−π3)=csαcsπ3+sinαsinπ3=35×12+(−45)× 32=3−4 310，
(2)由α∈(−π2,0)．β∈(0,π2)，可得α+β∈(−π2,π2)，
又sin2(α+β)+cs2(α+β)=1,sin(α+β)=− 210，
所以cs(α+β)=7 210，
csβ=cs(α+β−α)=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=(− 210)×35−7 210×(−45)= 22，
β∈(0,π2),可得β=π4．
【解析】(1)结合同角基本关系先求出sinα，然后利用两角差的余弦公式即可求解；
(2)结合同角平方关系及两角差的余弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为BA=AC，结合图形可知A为BC的中点，
所以OC=OB+BC=OB+2(OA−OB)=2OA−OB=2a−b，
因为OD=3DB，则OD=34OB=34b，
故DC=OC−OD=2a−b−34b=2a−74b；
(2)由题意知a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉= 3×2× 32=3，
由(1)知，CO=b−2a，CD=74b−2a，
所以CO⋅CD=(b−2a)⋅(74b−2a)=74b2−112a⋅b+4a2=52，
|CO|= (b−2a)2= b2−4a⋅b+4a2= 4−4×3+4×3=2，
|CD|= (74b−2a)2= 4916b2−7a⋅b+4a2= 4916×4−7×3+4×3= 132，
所以cs∠DCO=CO⋅CD|CO||CD|=522× 132=5 1326．
【解析】(1)由题设条件，结合平面向量的线性运算即可求得；
(2)根据向量夹角公式，利用向量的数量积运算即可求得．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
17.【答案】解：(1)由a//b，则2csx×12=−cs(x+π3)，即csx=−cs(x+π3)，
所以csx+cs(x+π3)=0，即csx+12csx− 32sinx=0，
因为csx与sinx不能同时为零，所以csx≠0，tanx= 3，
因为x∈[0,π2]，所以x=π3；
(2)①∵f(x)=a⋅b=(2csx,1)⋅(−cs(x+π3),12)=−2csx⋅cs(x+π3)+12，
∴f(x)=−2csx⋅(12csx− 32sinx)+12= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
则f(x)的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)；
②因为x∈[−5π12,π6]，所以2x−π6∈[−π,π6]，
所以当2x−π6=−π2，即x=−π6时，f(x)min=−1，
当2x−π6=π6，即x=π6时，f(x)max=12，
因为−2≤f(x)−m≤5恒成立，所以f(x)−5≤m≤f(x)+2恒成立，
所以f(x)max−5≤m≤f(x)min+2，
所以m的范围是[−92,1]．
【解析】(1)利用向量平行得csx=−cs(x+π3)，根据两角和的余弦公式即可求解；
(2)①利用平面向量数量积公式和三角函数的恒等变换即可求解；
②由题意求得f(x)min=−1，f(x)max=12，应用恒成立知识即可求解．
本题考查了平面向量的数量积和三角函数的恒等变换，属于中档题．
18.【答案】解：(1)在△ABC中，3sinC=sinB(sinA−csA)，
由正弦定理及b=15c，所以sinB=15sinC，
所以sin−csA=15，
则sinA−csA=15sin2A+cs2A=1，
解得sinA=45，csA=35或sinA=−35，csA=−45，
在三角形中，可得sinA=45，csA=35，
所以tanA2=1−csAsinA=1−3545=12；
(2)证明：因为3sinC=sinB(sinA−csA)，
在三角形中，3sin(A+B)=sinAsinB−csAsinB，
所以3csAsinB+3csBsinA=sinAsinB−csAsinB，
所以4csAsinB+3csBsinA=sinAsinB，
因为在△ABC中，sinA≠0，sinB≠0，两边同时除以sinAsinB，
可得4csAsinA+3csBsinB=1，即4tanA+3tanB=1，
所以tanA+tanB=(tanA+tanB)(4tanA+3tanB)=7+4tanBtanA+3tanAtanB，
又因为△ABC为锐角三角形，所以tanBtanA>0，
所以tanA+tanB≥7+2 4tanBtanA⋅3tanAtanB=7+2 12=7+4 3，
当且仅当3tan2A=4tan2B时取等号，即tanA=2(2+ 3)，tanB=2 3+3时取等号；
所以tanA+tanB的最小值为7+4 3；
(3)因为3sinC=sinB(sinA−csA)，由正弦定理得3c=b(sinA−csA)，
即c=b(sinA−csA)3，
因为△ABC的面积S=12bcsinA=b2(sinA−csA)sinA6=b26(sin2A−csAsinA)
=b212(1−sin2A−cs2A)= 2+1，
所以b2=12( 2+1)1−sin2A−cs2A=12( 2+1)1− 2sin(2A+π4)，
因为3c=b(sinA−csA)>0，且0所以3π4<2A+π4<9π4，
所以当2A+π4=3π2即A=5π8时，b2取得最小值12( 2+1)1+ 2=12．
所以AC的最小值为2 3．
【解析】(1)由正弦定理及同角基本关系可得sinA，csA的值，再由万能公式可得tanA2的值；
(2)由题意可得4tanA+3tanB=1，再由“1”的活用及基本不等式可得tanA+tanB的最小值；
(3)由正弦定理及三角形的面积公式可得b2的表达式，再由角A的取值范围，可得b的范围，
即求出AC的最小值．
本题考查正弦定理及同角三角函数的基本关系，基本不等式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)如图1，在△OAB中，由∠AOB=30°，∠BAO=45°，所以∠ABO=105°，
由正弦定理，得OBsin45∘=OAsin105∘，
所以OB=OAsin45°sin105∘=20⋅ 22 6+ 24=20( 3−1)，
在△OAC中，由∠AOC=30°，∠OAC=∠BAO+∠BAC=45°+60°=105°，
所以∠OCA=45°，
由正弦定理，得OCsin105∘=OAsin45∘，所以OC=OAsin105°sin45∘=20⋅ 6+ 24 22=10( 3+1)，
所以BC=OC−OB=30−10 3(m)，
所以小船的速度=(30−10 3)×240÷1000≈3.0(km/h)；
(2)如图2，在△ABD中，由∠BAD=75°，∠ABD=45°，所以∠ADB=60°，
由正弦定理，得ABsin60∘=BDsin75∘，所以BD=40 3sin75°，
在△ABC中，因为∠ABC=105°，∠BAC=15°，所以∠ACB=60°，
由正弦定理，得ABsin60∘=BCsin15∘，所以BC=40 3sin15°，
又在△DBC中，∠CBD=105°−45°=60°，
DC2=DB2+BC2−2DB⋅BCcs60°=(40 3sin75°)2+(40 3sin15°)2−40 3sin75°×40 3sin15°
=(40 3)2(sin275°+sin215°)−(40 3)2sin75°sin15°=4023(1−14)=400，
所以DC=20(m)，小船的速度=20×180÷1000=3.6(km/h)；
(3)如图3，设安全员经过t小时与小船相遇，其中游泳时间为t−m小时，小船的漂移速度是v km/h，
则OA=4m，AB=2(t−m)，OB=vt，
由余弦定理可知[2(t−m)]2=(4m)2+(vt)2−2×4m×vtcs30°，
整理化简可得12(mt)2+(8−4 3v)mt+v2−4=0，
设k=mt，k∈(0,1)，
令f(k)=12k2+(8−4 3v)k+v2−4，
因为f(0)=v2−4=0.84>0，f(1)=16+v2−4 3v=(v−2 3)2+4>0，
f(k)的对称轴是直线k=4 3v−824=4 3×2.2−824∈(0,1)，Δ=(8−4 3v)2−48(v2−4)=64(4− 3v)>0，
所以函数f(k)在(0,1)上有零点，即方程f(k)=0在(0,1)内有解．
所以安全员可以追上小船．
【解析】(1)由题意及正弦定理可得OC的值，进而可得BC的值，可得船速的大小；
(2)由正弦定理可得BD，BC的大小，再由余弦定理可得CD的值，可得小船的速度；
(3)设安全员经过t小时与小船相遇，其中游泳时间为t−m小时，小船的漂移速度是v km/h，由余弦定理及函数的零点可得能可以追上小船．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．