2023-2024学年北京理工大学附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京理工大学附中高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin120°的值为( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
2.已知平面向量a=(3,1)，b=(x,−3)，且a/​/b，则x=( )
A. −3B. 3C. −9D. 9
3.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(0,π2)上为增函数的是( )
A. y=sin2xB. y=cs2xC. y=tanxD. y=sinx2
4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC= 3，E是CD的中点，那么AE⋅DC=( )
A. 4B. 2C. 3D. 1
5.已知非零向量a，b，c，则“a=b”是“a⋅c=b⋅c”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的表达式为( )
A. f(x)=sin(2x+π6)
B. f(x)=sin(2x−π6)
C. f(x)=sin(x+π6)
D. f(x)=sin(x+π3)
7.若函数f(x)=sin(2x−π6)在区间[0,a]上有且仅有两个零点，则实数a的最小值是( )
A. π12B. π3C. 7π12D. 13π12
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α和β的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点.若A(45,35)，C(−1,0)，∠BOC=π3，则cs(β−α)=( )
A. −4−3 310
B. 4−3 310
C. −4+3 310
D. 4+3 310
9.已知向量a=(1,sinθ)，b=(csθ, 3)，其中θ∈R，则|a−b|的最大值是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
10.一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在t=0时刻，粒子从点A(0,1)出发，沿着轨迹曲线运动到B(1,−1)，再沿着轨迹曲线途经A点运动到C(−1,−1)，之后便沿着轨迹曲线在B，C两点之间循环往复运动.设该粒子在t时刻的位置对应点P(x,y)，则坐标x，y随时间t(t≥0)变化的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,〈a,b〉=60°，则a⋅b= ______．
12.已知sinα=13，且α为第二象限角，则sin2α= ______．
13.已知cs(x−π12)=− 22，x∈(−π,π)，则x= ______．
14.若点P(csθ,sinθ)与点Q(cs(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值______．
15.已知函数f(x)=sinωx−cs2x(其中ω>0)，给出下列四个结论：
①若ω=1，则−π2是函数的一个f(x)零点：
②若ω=1，函数f(x)的最小值是−98；
③若ω=2，函数f(x)图象关于直线x=3π8对称；
④若ω=2，函数f(x)图象可由y= 2sin2x图象向右平移π4个单位长度得到．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数y=f(x)在一个周期内的图象；
(2)将y=f(x)的图象向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象，若y=g(x)的图象关于y轴对称，求θ的最小值．
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=(sinx−csx)sin2xsinx．
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
18.(本小题10分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)+cs2x，其中|φ|<π2.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使f(x)存在，并完成下列两个问题．
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)当x∈[−π6,π3]时，若曲线y=f(x)与直线y=m恰有一个公共点，求m的取值范围．
条件①：f(π6)=−1；
条件②：−π12是f(x)的一个零点；
条件③：f(0)=f(π3)．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.(本小题10分)
对于数集X={−1,x1,x2,…x}，其中0(Ⅰ)判断{−1,1,2}是否具有性质P；
(Ⅱ)若x>2，且{−1,1,2,x}具有性质P，求x的值；
(Ⅲ)若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn>1时，x1=1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
由题意利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．
【解答】
解：sin120°=sin60°= 32，
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：由向量a=(3,−1)，b=(x,−3)，且a//b，
则3×(−3)−(−1)×x=0，解得x=9．
故选D．
直接运用平面向量共线的坐标表示代入坐标求解．
本题考查了平面向量平行的坐标表示，若a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a//b⇔a1b2−a2b1=0，此题为基础题．
3.【答案】C
【解析】解：在区间(0,π2)上，2x∈(0,π)，y=sin2x没有单调性，故排除A．
在区间(0,π2)上，2x∈(0,π)，y=cs2x单调递减，故排除B．
在区间(0,π2)上，y=tanx单调递增，且其最小正周期为π，故C正确；
根据函数以π为最小正周期，y=sinx2的周期为2π12=4π，可排除D．
故选：C．
利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查三角函数的单调性和周期性，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：AE⋅DC=(AD+DE)⋅DC
=AD⋅DC+DE⋅DC
=AD⋅AB+12DC2
=0+12AB2=12×4=2．
故选B．
运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件即数量积为0，计算即可得到．
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的垂直的条件和向量的平方与模的平方的关系，考查运算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：非零向量a，b，c，
①若a=b成立，则a⋅c=b⋅c一定成立，
②若a⋅c=b⋅c成立，只表示向量a和b在向量c上的投影相等，而a=b不一定成立，
∴a=b是a⋅c=b⋅c的充分不必要条件．
故选：A．
利用向量的数量积运算，再结合充要条件的定义判定即可．
本题考查了向量的数量积运算、充要条件的判定，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
根据函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象，求出T、ω和φ的值，即可得出f(x)的解析式．
【解答】
解：由函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象知，
12T=2π3−π6=12π，
解得T=π，所以ω=2πT=2；
又2×π6+φ=π2+2kπ，k∈Z；
解得φ=π6+2kπ，k∈Z；
由|φ|<π2，所以k=0时，φ=π6满足题意，
所以f(x)=sin(2x+π6).
故选：A．
7.【答案】C
【解析】解：由题意知f(x)=sin(2x−π6)在区间[0,a]上有且仅有两个零点，
当x∈[0,a]时，2x−π6∈[−π6,2a−π6]，则2a−π6≥π2a−π6<2π，解得7π12≤a<13π12，
所以实数a的最小值为7π12，故C正确．
故选：C．
由f(x)=sin(2x−π6)在区间[0,a]上有且仅有两个零点，可得2x−π6∈[−π6,2a−π6]即可得．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：∵角α和β的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点．
且A(45,35)，C(−1,0)，∠BOC=π3，
∴csα=45，sinα=35，β=π−π3=2π3，
∴csβ=cs2π3=−12，sinα=sin2π3= 32，
∴cs(β−α)=csαcsβ+sinαsinβ=45×(−12)+ 32×35=3 3−410．
故选：C．
根据点A的坐标求出csα和sinα，再结合∠BOC=π3求出β，进而求解结论．
本题主要考查三角函数值的求解，考查单位圆的应用，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：向量a=(1,sinθ)，b=(csθ, 3)，其中θ∈R，
a−b=(1−csθ,sinθ− 3)，
∴|a−b|= (1−csθ)2+(sinθ− 3)2
= 1−2csθ+cs2θ+sin2θ−2 3sinθ+3
= 5−4sin(θ+π6)，
则当sin(θ+π6)=−1时，|a−b|取最大值是3．
故选：B．
利用向量坐标运算法则、向量的模、三角函数恒等式直接求解．
本题考查向量坐标运算法则、向量的模、三角函数恒等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意，粒子从点A出发，沿着轨迹曲线运动到B过程中，横坐标由0增大到1，纵坐标从1减小到−1，
再从B到A过程中，横坐标由1减小到0，纵坐标从−11增大到1，
从A到C的过程中，横坐标由0减小到−1，纵坐标从1减小到−1，
从C到A的过程中，横坐标由−1增大到1，纵坐标从−1增大到1；
横坐标的变化情况用y=f(t)表示，纵坐标的变化情况用y=g(t)表示，
由此可得：函数f(x)的周期为g(x)周期的2倍，
分析选项：B选项符合．
故选：B．
根据题意，分析粒子从A到B、由B到A，由A到C，最后由C到A的过程中，横坐标、纵坐标变化的情况，由此分析选项，即可得答案．
本题考查函数的图象，涉及函数的周期性，属于基础题．
11.【答案】4
【解析】解：由题知|a|=2,|b|=4,〈a,b〉=60°，
所以a⋅b=|a||b|cs60°=2×4×12=4．
故答案为：4．
利用向量数量积公式即可求解．
本题考查了向量数量积公式，属于基础题．
12.【答案】−4 29
【解析】解：因为sinα=13，且α为第二象限角，
所以csα=− 1−sin2α=−2 23，
所以sin2α=2sinαcsα=2×13×(−2 23)=−4 29．
故答案为：−4 29．
先由同角三角函数的基本关系求得csα的值，再利用二倍角公式，求解即可．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系与二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
13.【答案】5π6或−2π3
【解析】解：因为cs(x−π12)=− 22，可得x−π12=2kπ+3π4,k∈Z或x−π12=2kπ−3π4,k∈Z，
解得x=2kπ+5π6,k∈Z或x=2kπ−2π3,k∈Z，
又x∈(−π,π)，
故x=5π6或−2π3．
故答案为：5π6或−2π3．
根据特殊角的三角函数值，结合已知条件中x的范围，直接求解即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】5π12
【解析】解：因为P和Q关于y轴对称，
所以csθ=−cs(θ+π6)，sinθ=sin(θ+π6)，
所以可取θ+(θ+π6)=π，即θ=5π12．
故答案为：5π12(答案不唯一)．
写出P和Q两点坐标之间的等量关系式，再由诱导公式，得解．
本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】①②③
【解析】解：①，ω=1时，f(x)=sinx−cs2x=2sin2x+sinx−1=(2sinx−1)(sinx+1)=0，
则sinx=12或sinx=−1，可得x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ或x=−π2+2kπ，k∈Z，
显然x=−π2是函数的零点，所以①正确；
②，ω=1时，f(x)=sinx−cs2x=2sin2x+sinx−1=2(sinx+14)2−98，所以当sinx=−14时，函数的最小值为−98，所以②正确；
③，ω=2，函数f(x)=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)，
以函数的对称轴方程满足2x−π4=π2+kπ，k∈Z，解得x=3π8+kπ2，k∈Z，
所以k=0时图象的一条对称轴方程为x=3π8，所以③正确；
④，y= 2sin2x图象向右平移π4个单位长度可得y= 2sin2(x−π4)= 2sin(2x−π2)≠f(x)，所以④不正确．
故答案为：①②③．
①②中，可得函数f(x)的解析式，分别求出函数的零点和对称轴方程，判断出①②的真假；③④中，可得函数f(x)的解析式，判断出③④的真假．
本题考查函数的性质的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由表中数据可得，A=2,T4=7π12−π3=π4，
所以T=π，则2π|ω|=π，且ω>0，解得ω=2，
当x=π3时，ωx+φ=π2，即2×π3+φ=π2，解得φ=−π6，
所以f(x)=2sin(2x−π6)．
分别令2x−π6=0,3π2,2π，解得x=π12,5π6,13π12，
据此可得表格为：
由表格作出图象，如下图所示．

(2)由题意可得：g(x)=f(x+θ)=2sin[2(x+θ)−π6]=2sin(2x+2θ−π6)，
因为y=g(x)的图象关于y对称，则2θ−π6=π2+kπ,k∈Z，
解得θ=π3+kπ2,k∈Z，且θ>0，
所以当k=0时，θ取到最小值θmin=π3．
【解析】(1)根据表格，分别求得A，ω，φ，即可得到函数f(x)的解析式，从而得到其函数图像；
(2)根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得θ的最小值．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：f(x)=(sinx−csx)sin2xsinx=(sinx−csx)2sinxcsxsinx=2(sinx−csx)csx
=sin2x−1−cs2x= 2sin(2x−π4)−1 k∈Z，{x|x≠kπ,k∈Z}
(1)原函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，最小正周期为π．
(2)由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ,k∈Z}，
原函数的单调递增区间为[kπ−π8,kπ),k∈Z,(kπ,kπ+3π8]，k∈Z
【解析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，(1)直接求出函数的定义域和最小正周期．
(2)利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力．
18.【答案】解：(Ⅰ)选①时，f(π6)=sin(π3+φ)+cs(π3)=−1，即sin(π3+φ)=−1−cs(π3)=−1−12=−32，
sin(π3+φ)最小值是−1，故选条件①时，f(x)不存在；
选②时，f(−π12)=sin(−π6+φ)+cs(−π6)=0，
即sin(−π6+φ)=−cs(−π6)=− 32，
所以−π6+φ=−π3+2kπ，k∈Z，或−π6+φ=4π3+2kπ，k∈Z．
即φ=−π6+2kπ，k∈Z，或φ=3π2+2kπ，k∈Z，
因为，所以φ=−π6；
选③时，f(0)=sinφ+cs0=sinφ+1，f(π3)=sin(2π3+φ)+cs2π3=sin(2π3+φ)−12．
即sinφ+1=sin(2π3+φ)−12，
即sinφ+1= 32csφ−12sinφ−12，
整理得32sinφ− 32csφ=−32，
利用辅助角公式得 3sin(φ−π6)=−32，即sin(φ−π6)=− 32，由选②同理可知φ=−π6；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知φ=−π6，则f(x)=sin(2x−π6)+cs2x= 32sin2x−12cs2x+cs2x= 32sin2x+12cs2x=sin(2x+π6)，
此时画出f(x)在x∈[−π6,π3]上的图象，如下所示：

由y=f(x)与直线y=m恰有一个公共点可知m∈[−12,12)或m=1．
【解析】先利用三角函数的运算求出φ，再利用辅助角公式，画出函数图象，即可求出m的范围
本题考查三角函数的和差角公式，辅助角公式，第二题结合函数图象，难度不大，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ){−1,1,2}具有性质P．
(Ⅱ)选取a1=(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(−1,b)．
所以x=2b，从而x=4；
(III)证明：取a1=(x1,x1)∈Y，设a2=(s,t)∈∈Y满足a1⋅a2=0．
由(s+t)x1=0得s+t=0，所以s、t异号．
因为−1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为−1，另一为1，
故1∈X．
假设xk=1，其中1选取b1=(x1,xn)，并设b2=(p,q)满足b1⋅b2=0，
即px1+qxn=0，则p，q异号，从而p，q之中恰有一个为−1．
若p=−1，则x1=qxn，显然矛盾；
若q=−1，则xn=px1所以x1=1．
【解析】(Ⅰ)根据新定义直接判断即可．
(Ⅱ)在Y中取a1=(x,2)，根据数量积的坐标公式，可得Y中与a1垂直的元素必有形式(−1,b)，所以x=2b，结合x>2，可得x的值．
(Ⅲ)取a1=(x1,x1)，a2=(s,t)根据a1⋅a2=0，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而−1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为−1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn>1时，x1=1．
本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了集合元素的性质与向量的综合等知识点，本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
7π12
f(x)
0
2
0
−2
0
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
f(x)
0
2
0
−2
0