2023-2024学年广东省广州市越秀区华侨中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市越秀区华侨中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算：( 3)2=( )
A. 3B. 9C. 6D. 2 3
2.下列二次根式，不能与 2合并的是( )
A. 12B. 8C. 12D. − 18
3.以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是( )
A. 2、3、4B. 1、1、 2C. 3、4、5D. 5、12、13
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是AC边的中点，E是AB的中点，若AB=4，则DE的长是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
5.实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a−b|− a2的结果是( )
A. 2a−bB. bC. −bD. −2a+b
6.如图，在平行四边形ABCD中，BC=8cm，CD=6cm，∠D=40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是( )
A. AE=6cmB. ED=2cmC. ∠BED=150°D. ∠C=140°
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是( )
A. AC=BDB. AC⊥BDC. AD=ABD. AC平分∠DAB
8.甲、乙两地相距320km，一货车从甲地出发以80km/h的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程S(km)与时间t(h)之间的函数表达式是( )
A. S=320tB. S=80tC. S=320−80tD. S=320−4t
9.如图，正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为( )
A. 2 3
B. 13
C. 14
D. 17
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，顶点A，B分别在x正半轴和y轴正半轴上滑动，连接OC.当OC的长度最大时，点C的坐标为( )
A. (2,2 3)B. (4,2 3)C. (2, 3)D. (4, 3)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.使函数y= x+6有意义的x的取值范围是______．
12.如图，△ABC中，若∠ACB=90°，∠B=56°，D是AB的中点，则∠ACD=______°.
13.如图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是______．
14.如图中，由一个直角三角形和两个正方形组成，如果大正方形的面积为41，AB=5，则小正方形的面积为______．
15.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：
(1) 12+ 34− 13；
(2)( 2−1)2− 5× 10．
17.(本小题6分)
如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF．
18.(本小题6分)
对函数y=|x|的图象与性质进行探究.下面造探究过程，请补充完整：
(1)列表：下表是x与y的几组对应值，则m的值为______；
(2)描点：在下面平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(3)函数y=|x|的图象和直线y=2的交点坐标是______．
19.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=CB=CD=1，AD= 3．
(1)求∠BCD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
20.(本小题8分)
如图，在梯形ABCD中，AD/​/BC，AB/​/DE，AF//DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)AD与BC有何等量关系？请说明理由；
(2)当AB=DC时，求证：平行四边形AEFD是矩形．
21.(本小题8分)
广州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m至C处时，水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
22.(本小题10分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE/​/AC，且
DE=12AC，连接OE交CD于点F，连接AF、CE．
(1)求证：OE=CD；
(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AFAE．
23.(本小题10分)
如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．
(1)求证：∠EDO=∠FBO；
(2)求证：四边形DEBF是菱形：
(3)如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP+DP的最小值．
24.(本小题12分)
如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转α(0°OC，
故当OM+MC=OC时，OC取得最大值，如图2所示，
∵∠ACB=∠AOB=90°，点M为AB的中点，AB=4，
∴CM=BM=AM=OM=2，
∵∠ABC=60°，
∴△BMC是等边三角形，
∴∠BMC=∠AMO=60°，
∴△AMO是等边三角形，
∴OA=AM=2，∠OAM=60°，
又∵AM=MC，∠AMO=∠MAC+∠MCA，
∴∠MAC=30°，
∴∠OAC=∠OAM+∠MAC=60°+30°=90°，
∵OC=MO+MC=2+2=4，
∴AC= OC2−OA2= 42−22= 16−4= 12=2 3，
∴点C的坐标为(2,2 3)，
即当OC的长度最大时，点C的坐标为(2,2 3)，
故选：A．
首先取线段AB的中点，根据直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，三角形三边关系，可以得到OC最大时，OC=AB，然后根据等边三角形的性质和直角三角形的判定，可以得到△OAC是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到点C的坐标．
本题考查勾股定理、三角形三边形关系、等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出OC取得最大值时OC=AB，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】x≥−6
【解析】解：根据题意得：
x+6≥0，
解得：x≥−6．
故答案为：x≥−6．
依据二次根式的被开方数是非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数．
12.【答案】34
【解析】解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=BD=AD=12AB，
∴∠BCD=∠B=56°，
∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=90°−56°=34°．
故答案为：34°．
由∠ACB=90°，D是AB的中点，可得出CD=BD=AD，结合∠B的度数可得出∠BCD的度数，再由∠ACD和∠BCD互余可求出∠ACD的度数．
本题考查了直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质，牢记“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．
13.【答案】− 5
【解析】解：根据勾股定理得 22+12= 5，
∴点A表示的数为− 5．
故答案为：− 5．
根据勾股定理求出长方形对角线的长，得到OA的长，从而得到点A表示的数．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出长方形对角线的长是解题的关键．
14.【答案】16
【解析】解：直角三角形的斜边的平方=AB2+BC2=41，
∵AB2=25，
∴BC2=16，
∴小正方形的面积为16．
故答案为：16．
根据正方形的面积公式，可得直角三角形的斜边AC和直角边AB的平方分别为41，25，由勾股定理即可求出AB的平方，即小正方形的面积．
本题考查了勾股定理的应用，题目比较简单，一定要熟练掌握，解题的关键是利用勾股定理求出AB的平方，即为小正方形的面积．
15.【答案】20
【解析】解：∵A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，且AC=8，BD=10
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1=12BD=12×10=5
同理可得A1B1=12AC=4
根据三角形的中位线定理，可以证明四边形A1B1C1D1是矩形
那么四边形A1B1C1D1的面积为A1D1×A1B1=5×4=20．
此题要能够根据三角形的中位线定理证明四边形A1B1C1D1是矩形，从而根据矩形的面积进行计算．
本题考查了三角形的中位线定理，是经常出现的知识点．
注意：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．
16.【答案】解：(1) 12+ 34− 13
=2 3+ 32− 33
=12 36+3 36−2 36
=13 36；
(2)( 2−1)2− 5× 10
=2−2 2+1−5 2
=3−7 2．
【解析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)根据完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD ∠ABE=∠CDF AB=CD ，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；证明△ABE≌△CDF是解决问题的关键．
根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB/​/CD，根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，求出∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．
18.【答案】2 (2,2)，(−2,2)．
【解析】解：(1)∵y=|x|，
∴当x=−2时，则y=|−2|=2，
∴m=2，
故答案为：2；
(2)y=|x|的图象如图1：
(3)如图2，依题意得：
∴2=|x|，
∴x=±2，
∴函数y=|x|的图象和直线y=2的交点坐标是(2,2)，(−2,2)．
(1)依题意，把x=−2代入y=|x|，计算即可作答．
(2)先描点，再连线，即可作答．
(3)先作图，观察图象且结合把y=2代入y=|x|，计算即可作答．
本题考查了图形与坐标以及一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
19.【答案】解：(1)连接AC，如图，

∵∠B=90°，AB=CB=CD=1，
∴AC= 2，∠BCA=45°，
∵AD= 3，CD=1，
∴CD2+AC2=12+( 2)2=3，AD2=3，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACD+∠BCA=135°．
(2)在Rt△ABC中，S△ABC=12⋅BC⋅AB=12×1×1=12，
在Rt△ADC中，S△ADC=12⋅CD⋅AC=12×1× 2= 22．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12+ 22．
【解析】(1)连接AC，如图，分别证明△ABC为等腰直角三角形，△ACD为直角三角形，从而可得结论；
(2)直接利用割补法求解四边形的面积即可．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的证明三角形是直角三角形是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)AD=13BC，理由如下：
∵AD/​/BC，AB/​/DE，AF//DC，
∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形．
∴AD=BE，AD=FC，
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF．
∴AD=BE=EF=FC．
∴AD=13BC．
(2)证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴DE=AB，AF=DC．
∵AB=DC，
∴DE=AF．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形AEFD是矩形．
【解析】【分析】
(1)由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD=13BC的结论；
(2)根据对角线相等的平行四边形是矩形，只要证明DE=AF即可得出结论．
【点评】
本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题关键．
21.【答案】解：在Rt△ACD中，AD2+DC2=AC2，
∵CF=DE=1.5，BE=0.5，
设秋千的绳索长为x m，则AD=AB−BD=AB−(CF−BE)=(x−1)m，
故x2=22+(x−1)2，
解得：x=2.5，
答：绳索AC的长度是2.5m．
【解析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AD=AB−BD=AB−(CF−BE)=(x−1)m，利用勾股定理可得x2=22+(x−1)2，再解方程即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AD的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
22.【答案】(1)证明：四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC，AD=CD，
∵DE/​/AC且DE=12AC，
∴DE=OA=OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∴OE=AD，
∴OE=CD；
(2)解：连接AE．
∵AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形，
∴CF=DF，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=CD=AD=4，
∴AF⊥CD，
∴AF= AC2−CF2= 42−22=2 3，
在矩形OCED中，CE=OD= AD2−AO2=2 3．
在Rt△ACE中，AE= AC2+CE2= 42+(2 3)2=2 7．
∴AFAE=2 32 7= 217，
【解析】(1)由菱形ABCD中，DE/​/AC且DE=12AC，易证得四边形OCED是平行四边形，继而可得OE=CD即可；
(2)由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可，理由等边三角形的性质求出AF，可得结论．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OCED是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．
∴△ADE≌△ODE，
∴△CFB≌△OFB，
∴∠ADE=∠ODE=12∠ADB，∠CBF=∠OBF=12∠CBD，
∴∠EDO=∠FBO；
(2)证明：∵∠EDO=∠FBO，
∴DE/​/BF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，AD=BC，∠A=90°，
∴DE/​/BF，DF/​/BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵△ADE△≌△ODE，
∴∠A=∠DOE=90°，
∴EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
(3)解：过点P作PH⊥AD于点H，
∵四边形DEBF是菱形，△ADE≌△ODE，
∴∠ADE=∠ODE=∠ODF=30°，
∴在Rt△DPH中，2PH=PD，
∴2AP+PD=2PA+2PH=2(AP+PH)，
过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．
而此时(2AP+PD)的最小值=2OM，
∵△ADE≌△ODE，AD=2，
∴AD=DO=2，
在Rt△OMD中，
∵∠ODA=2∠ADE=60°，
∴∠DOM=30°，
∴DM=12DO=1，
∵DM2+OM2=DO2，
∴12+OM2=22，
∴OM= 3，
∴(2PA+PD)的最小值为2OM=2 3．
【解析】(1)由折叠的性质得出△ADE≌△ODE，△CFB≌△OFB，则∠ADE=∠ODE=12∠ADB，∠CBF=∠OBF=12∠CBD，则可得出结论；
(2)证得四边形DEBF是平行四边形，由全等三角形的性质得出∠A=∠DOE=90°，则可得出结论；
(3)过点P作PH⊥AD于点H，得出∠ADE=∠ODE=∠ODF=30°，得出2AP+PD=2PA+2PH=2(AP+PH)，过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时(2AP+PD)的最小值=2OM，求出OM的长，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、翻折变换的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)解：在正方形ABCD中，AB=AD=DC，
由旋转可知，DC=DE，
∵AE=AB，
∴AE=AD=DE，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADC=90°，
∴α=∠ADC−∠ADE=90°−60°=30°；
(2)证明：在△CDE中，DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC=180°−α2=90°−α2，
在△ADE中，AD=ED，∠ADE=90°−α，
∴∠DAE=∠DEA=180°−(90°−α)2=45°+α2，
∴∠AEC=∠DEC+∠DEA=90°−α2+45°+α2=135°，
∴∠AEF=45°；
(3)证明：过点B作BG/​/CF与AF的延长线交于点G，过点B作BH//GF与CF交于点H，

则四边形BGFH是平行四边形，
∵AF⊥CE，
∴平行四边形BGFH是矩形，
∵∠AFP=∠ABC=90°，∠APF=∠BPC，
∴∠GAB=BCP，
在△ABG和△CBH中，
∠GAB=∠HCB∠BGA=∠BHCAB=CB，
∴△ABG≌△CBH(AAS)，
∴BG=BH，
∴矩形BGFH是正方形，
∴∠HFB=45°，
由(2)可知：∠AEF=45°，
∴∠HFB=∠AEF=45°，
∴AE//FB．
【解析】(1)可证△AED是等边三角形，即可求解；
(2)由等腰三角形的性质可求∠DCE=∠DEC=180°−α2=90°−α2，由三角形内角和定理可求解；
(3)由“AAS”可证△ABG≌△CBH，可得BG=BH，可证矩形BGFH是正方形，可得∠HFB=45°=∠AEF，可得结论．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
4
3
m
1
0
1
2
3
4
…