2024年山东省菏泽市郓城县多校联考中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省菏泽市郓城县多校联考中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−|−2024|的相反数是( )
A. −2024B. 2024C. −12024D. 12024
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.据2024年3月22日《天津日报》报道，今年前两个月，被称为“新三样”的锂离子蓄电池、电动汽车、光伏产品合计出口3590000000元.将数据3590000000用科学记数法表示应为( )
A. 0.359×1010B. 3.59×109C. 35.9×108D. 359×107
4.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (−x3)2=x6
C. a6÷a3=a2D. (x+y)2=x2+y2
5.我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6.一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为35，则白球的个数n为( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
7.如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转，正方形OEFG与边AB、BC分别交于点M、N(不与端点重合)，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为m，△BMN的周长为n，则下列说法正确的是( )
A. m发生变化，n存在最大值
B. m发生变化，n存在最小值
C. m不发生变化，n存在最大值
D. m不发生变化，n存在最小值
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠ADC=125°，则∠BEC的度数是( )
A. 25°
B. 55°
C. 45°
D. 35°
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D点在边BC上，BDCD=25，E为AB边上一点，当EC=ED时，AEBE的值为( )
A. 59
B. 58
C. 47
D. 35
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(6,0)，顶点坐标为(2,−4)，结合图象分析如下结论：①abc>0；②当00；
④b2−16a>4ac.其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若a=2b+1，则a2−4ab+4b2+2023的值为______．
12.若关于x的不等式组3(x+1)>62x−113.某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______．
14.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的高度为1.5cm，OA=48cm，OC=16cm，则火焰的高度是______cm．
15.如图，一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中蓝、黄扇形的圆心角度数分别为60°，90°，转动转盘，停止后指针落在红色扇形区域的概率是______．
16.如图，矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，则线段AT长度的取值范围为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算： 12−4|sin60°|+(13)−1−(2023−π)0；
(2)先化简，再求值：(1+3x−5)÷x2−4x+42x−10，其中x= 2+2．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0,2)和(1,0)，直线y=12x−3与坐标轴相交于点C，D．
(1)求直线AB：y=kx+b与直线y=12x−3的交点E的坐标；
(2)求不等式kx+b>12x−3的解集；
(3)求四边形OBEC的面积．
19.(本小题8分)
某中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“错题整理习惯”进行问卷调查.他们设计的问题：“你对自己做错的题目进行整理纠错吗？”，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图.请根据图中信息，解答下列问题：

(1)本次参与调查的共有______名学生；
(2)请你补全条形统计图，并求出“很少”所对的扇形圆心角的度数______；
(3)若该校有3000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理纠错的学生共有多少名？
20.(本小题8分)
小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点.已知景点E位于景点A的东南方向400 6米处，景点D位于景点A的北偏东60°方向1500米处，景点C位于景点B的北偏东30°方向，若景点A，B与景点C，D都位于东西方向，且景点C，B，E在同一直线上．
(1)求景点A与景点B之间的距离.(结果保留根号)
(2)小明从景点A出发，从A到D到C，小红从景点E出发，从E到B到C，两人在各景点处停留的时间忽略不计.已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点C.(参考数据： 3≈1.73)
21.(本小题8分)
2024年4月18日上午10时08分，华为Pura70系列正式开售，华为Pura70Ultra和Pura70Pr已在华为商城销售，约一分钟即告售罄.“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的5G手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元．
(1)求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元；
(2)某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的23，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．
22.(本小题8分)
如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若sinC=45,DE=5，求AD的长；
23.(本小题12分)
如图所示，抛物线顶点坐标为点C(1,4)，交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B．
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA、PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
(3)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB=98S△CAB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：
如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M是线段OB上一点，连接AM．
操作探究：
将△MAB沿射线BA平移得到△M′A′B′，使点M的对应点M′落在对角线AC上，M′A′与AD边交于点E，连接M′D，A′D．
(1)如图2，当M是OB的中点时，求证：AA′=AB′．
(2)如图3，当M是OB上任意一点时，试猜想△M′A′D的形状，并说明理由．
拓展延伸：
(3)在(2)的条件下，请直接写出AA′，AM′，AD之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−|−2024|=−2024，−2024的相反数是2024．
故选：B．
根据绝对值和相反数的性质解答即可．
本题考查了绝对值和相反数的性质，熟练掌握绝对值和相反数的性质是关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3.【答案】B
【解析】解：3590000000=3.59×109，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵a2⋅a3=a5，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵(−x3)2=x6，
∴B选项的运算正确，符合题意；
∵a6÷a3=a3，
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∵(x+y)2=x2+2xy+y2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：B．
利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则和完全平方公式对每个选项的结论进行逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则和完全平方公式，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：卯的俯视图如图所示：
故选：C．
根据俯视图的定义(从上面观察物体所得到的视图是俯视图)即可得．
本题考查了俯视图，解题的关键是具有一定的空间概念．
6.【答案】D
【解析】解：由题意得：n4+n=35，
解得：n=6，
经检验，n=6是原方程的解，且符合题意，
故选：D．
根据概率公式列出方程，解方程即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OD=BO=AO，∠BAO=∠CBO=45°，AC⊥BD．
∵∠MOA+∠BOM=90°，∠BON+∠BOM=90°
∴∠AOM=∠BON，
在△AOM和△CON中，
∠OAB=∠OBNOA=OB∠AOM=∠BON，
∴△AOM≌△BON(ASA)
∴OM=ON，AM=BN，S△AOM=S△BON，
∴两个正方形重叠部分形成图形的面积=S△BOM+S△BON=S△AOB，
∴m=14S正方形ABCD=9，
∵△BMN的周长为n，
∴n=BM+BN+MN=AM+BM+MN=6+MN，
∴当MN有最小值时，n有最小值，
∵OM=ON，∠MON=90°，
∴MN= 2OM，
∴当OM⊥AB时，OM有最小值为3，
∴n的最小值为6+3 2，
因为点M不与点A，B重合，所以OM不存在最大值，所以MN不存在最大值，所以n不存在最大值，
故选：D．
由“ASA”可证△AOM≌△BON，可得OM=ON，AM=BN，S△AOM=S△CON，可得m=14S正方形ABCD=9，由n=BM+BN+MN=AM+BM+MN=6+MN，可得当MN有最小值时，n有最小值，即可求n的值．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，证明△AOM≌△BON是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ADC=125°，
∴∠ABC=180°−125°=55°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°−55°=35°，
由圆周角定理得：∠BEC=∠CAB=35°，
故选：D．
连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形的性质求出∠CAB，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵EC=ED，EF⊥CD，
∴CF=DF，
∵BDCD=25，
∴CFFB=59，
∵EF⊥BC，AC⊥BC，
∴EF/​/AC，
∴AEEB=59
故选：A．
过点E作EF⊥BC于F，根据比例的性质得CFFB=59，再由EF/​/AC即可得出答案．
此题考查比例的性质和平行线的判定与性质，根据题意正确作出辅助线是解答的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①∵函数开口方向向上，
∴a>0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，
故①正确；
②∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−2
∴当x>2时，y随x的增大而增大；
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A(6,0)，对称轴为直线x=2，
∴图象与x轴的另一个交点为(−2,0)，
∴a−b+c<0，a+b+c<0，
∴(a−b+c)(a+b+c)>0，即(a+c)2−b2>0；
故③正确；
④∵图象对称轴为直线x=2，
∴−b2a=2，
∴b=−4a，
∴b2−16a=16a2−16a，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象顶点坐标为(2,−4)，
∴4a+2b+c=−4，
∴4a−8a+c=−4，
∴c=4a−4，
∴4ac=4a(4a−4)=16a2−16a，
∴b2−16a=4ac．
故④错误；
综上所述，正确的有①③共2个，
故选：B．
由题意得到抛物线的开口向上，对称轴−b2a>0，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到abc>0，即可判断①；
根据函数性质即可判断②；
根据抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)和(1,0)时，y<0，得到a−b+c<0，a+b+c<0，即可判断③；
根据图象对称轴为直线x=2，可知b=−4a，即可求得b2−16a=16a2−16a，根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象顶点坐标为(2,−4)，求得c=4a−4，得到4ac=4a(4a−4)=16a2−16a，即可判断④．
此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
11.【答案】2024．
【解析】解：∵a=2b+1，
∴a−2b=1，
∴a2−4ab+4b2+2023
=(a−2b)2+2023
=12+2023
=2024．
故答案为：2024．
利用完全平方公式变形为(a−2b)2+2023，将a−2b=1代入计算即可．
本题考查了因式分解的完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键．
12.【答案】10【解析】解：由3(x+1)>6得：x>1，
由2x−1∵不等式组有且只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3、4，
则4解得10故答案为：10分别求出每个不等式的解集，再依据不等式组的整数解的情况得出关于m的不等式组，解之即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】2400x+4=2×1000x
【解析】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，
∴乙种劳动工具单价为(x+4)元．
根据题意得：2400x+4=2×1000x．
故答案为：2400x+4=2×1000x．
根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为(x+4)元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14.【答案】4.5
【解析】解：根据题意，∵AB/​/CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴OAOC=ABCD
又∵OA=48，OC=16，CD=1.5
∴AB=4.5．
正确理解小孔成像原理，利用相似三角形对应线段成比例解题．
考查了相似三角形对应边成比例的应用．
15.【答案】712
【解析】解：红色部分所在的圆心角的度数为360°−60°−90°=210°，
因此红色部分所占整体的210360=712，即转动转盘，停止后指针落在红色区域的概率为712，
故答案为：712．
求出红色部分所占整体的几分之几即可．
本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键．
16.【答案】5.2≤AT≤10
【解析】解：设AT=x，则BT=10−x，
当S与D重合时，如下图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD=10，BC=AD=26，
由折叠的性质可得A′T=AT=x，A′D=AD=26，
∠TAD=∠TA′D=90°，
∴∠BTA′+∠TA′B=∠CA′D+∠TA′B=90°，
∴∠BTA′=∠CA′D，
∴△BTA′∽△CA′D，
∴TA′DA′=BA′DC即x26=BA′10，
解得BA′=5x13，
∵∠B=90°，
∴BT2+(BA′)2=(AT′)2即(10−x)2+(5x13)2=x2，
解得AT=x=5.2或AT=x=130(舍去)，
当T与B重合时，如下图，
此时AT=AB=10，
∴5.2≤AT≤10，
故答案为：5.2≤AT≤10．
设AT=x，则BT=10−x，当S与D重合时，10证△BTA∽△CA′D得TA′DA′=BA′DC即x26=BA′10，进而利用勾股定理得AT=x=5.2，当T与B重合时，AT=AB=10，即可得解．
本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=2 3−4× 32+3−1
=2 3−2 3+2
=2；
(2)原式=x−5+3x−5÷(x−2)22(x−5)
=x−2x−5⋅2(x−5)(x−2)2
=2x−2，
当x= 2+2时，
原式=2 2+2−2= 2．
【解析】(1)先化为最简二次根式，把特殊角三角函数值代入，算零指数幂和负整数指数幂，再算乘法，最后算加减；
(2)先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x的值代入即可．
本题考查实数运算和分式化简求值，解题的关键是掌握相关的运算法则．
18.【答案】解：(1)由题意得b=2k+b=0
解得k=−2b=2，
∴直线AB为y=−2x+2，
由y=−2x+2y=12x−3，解得x=2y=−2，
∴点E的坐标为(2,−2)；
(2)观察图象，不等式kx+b>12x−3的解集是x<2；
(3)∵直线y=12x−3与坐标轴相交于点C，D，
∴C(0,−3)，D(6,0)，
∴OC=3，OD=6，
∵B(1,0)，
∴BD=5，
∴S四边形OBEC=S△OCD−S△BED=12OD⋅OC−12BD⋅|yE|=12×6×3−12×5×2=4．
【解析】(1)利用待定系数法求得直线AB的解析式，与y=12x−3联立成方程组，解方程组即可求得交点E的坐标；
(2)根据图象即可求解；
(3)根据S四边形OBEC=S△OCD−S△BED求解即可．
本题考查了待定系数法一次函数的解析式，两条直线的交点问题，一次函数与一元一次不等式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法以及数形结合是解题的关键．
19.【答案】200 43.2°
【解析】解：(1)由题意得，
总人数：44÷22%=200(名)．
故答案为：200．
(2)“常常”的人数：200×30%=60(名)．
条形统计图如图所示，
“很少”所占的百分比：a=24200×360°=43.2°，
故答案为：43.2°．
(3)3000×72200=1080(名)．
答：“总是”对错题进行整理纠错的学生共有1080名．
(1)由题意可知回答“有时”的人数和百分比，用“有时”的人数除以“有时”所占百分比即可得出总人数；
(2)根据总人数乘以“常常”所占百分比即可得到“常常”的人数，补全条形统计图即可，而“很少”所占的百分比等于“很少”的人数除以总人数；
(3)用该校学生的人数乘以“总是”对错题进行整理纠错的百分比即可．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，过点E作EH⊥AB于点H，
在Rt△AHE中，∠EAH=45°，AE=400 6米，
则AH=EH= 22AE=400 3(米)，
由题意可知：∠EBH=60°，
∵tan∠EBH=EHBH，
∴BH=EHtan∠EBH=400 3 3=400(米)，
∴AB=AH+BH=(400 3+400)米；
(2)如图，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF于点G，
则四边形ADGB为矩形，
∴BG=AF，GF=AB=(400 3+400)米，
在Rt△AFD中，∠FAD=60°，AD=1500米，
则AF=AD⋅cs60°=1500×12=750(米)，FD=AD⋅sin60°=750 3(米)，
∴GD=FD−FG=750 3−(400 3+400)=(350 3−400)米，
在Rt△BGC中，BG=AF=750米，∠GBC=30°，
∴CG=BG⋅tan∠GBC=750× 33=250 3(米)，BC=BGcs∠GBC=750 32=500 3(米)，
∴CD=GC−GD=250 3−(350 3−400)=(400−100 3)米，
∴AD+DC=1500+(400−100 3)=1900−100 3≈1727(米)，
在Rt△BHE中，EH=400 3米，∠EBH=60°，
则EB=EHsin∠EBH=400 3 32=800(米)，
∴EC=EB+BC=800+500 3≈1665(米)，
∵1727>1665，
∴小红先到达景点C．
【解析】(1)过点E作EH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质分别求出AH、EH，根据正切的定义求出BH，进而求出AB；
(2)过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF于点G，根据余弦的定义求出AF，根据正弦的定义求出DF，进而求出CD，求出AD+DC、EB+BC，比较大小得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元，
根据题意得：a+b=6003a+2b=1400，
解得：a=200b=400．
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；
(2)设购进A种型号的手机x部，获得的利润为w元，则购进B种型号的手机(20−x)部，
根据题意得：w=200x+400(20−x)，
即w=−200x+8000，
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的23，
∴20−x≤23x，
解得：x≥12，
∵k=−200<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=12时，w取得最大值，最大值为−200×12+8000=5600(元)，此时20−x=20−12=8(部)．
答：营业厅购进A种型号手机12部，B种型号手机8部时能获得最大利润，最大利润是5600元．
【解析】(1)设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元，根据“售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A种型号的手机x部，获得的利润为w元，则购进B种型号的手机(20−x)部，利用总利润=A种型号手机每部利润×购进A种型号的手机数量+B种型号手机每部利润×购进B种型号的手机数量，可找出w关于m的函数关系式，由购进B型手机的数量不超过A型手机数量的23，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
22.【答案】(1)证明：连接BD，OD，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
在Rt△BDC中，点E是BC的中点，
∴BE=DE=12BC，
又∵OB=OD，OE=OE，
∴△OBE≌△ODE(SSS)，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∵D在⊙O上
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：由(1)中结论，得BC=2DE=10，
在Rt△BDC中，sinC=BDBC=BD10=45，
∴BD=8,CD= BC2−BD2=6，
∵∠A+∠C=90°，∠A+∠ABD=90°，
∴∠C=∠ABD，
又∵∠ADB=∠BDC=90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴ADBD=BDCD，
∴AD=BD2CD=826=323．
【解析】(1)连接BD，OD，先根据直角三角形的性质，证明BE=DE，再证明△OBE≌△ODE(SSS)即可；
(2)由(1)中结论，得BC=2DE=10，先根据三角函数及勾股定理求出BD，CD的长，再证明△ADB∽△BDC即可．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△ADB∽△BDC是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线顶点坐标为点C(1,4)，且经过点A(3,0)，
设抛物线的解析式为：y=a(x−1)2+4，
把A(3,0)代入解析式y=a(x−1)2+4，
解得：a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4，
∴抛物线与y轴的交点坐标B(0,3)，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y1=x+3；
(2)∵点C(1,4)，点C在抛物线上，点D在直线上，
∴当x=1时，分别代入y=−(x−1)2+4和y1=−x+3得y=4，y1=2，
∴CD=2，
∴S△CAB=12×2×1+12×2×2=3；
(3)假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高h，
则h=(−x2+2x+3)−(−x+3)=−x2+3x，
由S△PAB=98S△CAB得：12×3×(−x2+3x)=98×3，
化简得4x2−12x+9=0，
解得x=32，
将x=32代入y=−(x−1)2+4得y=154，
∴符合条件的点P的坐标为P(32,154)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)当x=1时，分别代入y=−(x−1)2+4和y1=−x+3得y=4，y1=2，得到CD=2，进而求解；
(3)假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高h，则h=(−x2+2x+3)−(−x+3)=−x2+3x，由S△PAB=98S△CAB得：12×3×(−x2+3x)=98×3，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
24.【答案】(1)证明：如图，连接MM′，

∵将△MAB沿射线BA平移得到△M′A′B′，
∴MM′=AA′，A′B′=AB，MM′//AB，
∵M是OB的中点，
∴MM′是△OAB的中位线，
∴MM′=12AB=12A′B′，
∴AA′=AB′；
(2)解：△M′A′D是等腰直角三角形，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠DAO=∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠DAA′=90°，
∵将△MAB沿射线BA平移得到△M′A′B′，
∴A′B′=AB，∠MB′A′=∠MBA=45°，
∴∠DAM′=∠A′B′M′，∠M′AB′=∠M′B′A，AD=A′B′，
∴M′A=M′B′，
∴△ADM′≌△B′A′M(SAS)，
∴∠ADM′=∠B′A′M′，DM′=A′M′，
∵∠AEA′=∠M′ED，
∴∠EAA′=∠EM′D=90°，
∴△M′A′D是等腰直角三角形；
(3)解：AD= 2AM′+AA′．
由(2)得，AM′=B′M′，∠M′B′A=∠M′AB′=45°，
∴∠AMB′=90°，
∴AB′= AM′2+B′M′2= 2AM′，
∴AD=A′B′=AB′+AA′= 2AM′+AA′．
【解析】(1)连接MM′，由平移的性质得出MM′=AA′，A′B′=AB，MM′//AB，由三角形的中位线定理可得出结论；
(2)证明△ADM′≌△B′A′M(SAS)，得出∠ADM′=∠B′A′M′，DM′=A′M′，则可得出结论；
(3)证出∠AMB′=90°，则可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．