2023-2024学年广东省珠海市斗门实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省珠海市斗门实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若 a−4有意义，则a的值可以是( )
A. −1B. 0C. 2D. 6
2.若 54a是整数，则正整数a的最小值是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.下列计算，正确的是( )
A. (−2)2=−2B. (−2)×(−2)=2
C. 3 2− 2=3D. 8+ 2= 10
4.将 25化为最简二次根式，正确的是( )
A. 105B. 2 5C. 2 5D. 2 55
5.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线.若BC=10，AC=8，则CD的长为( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
6.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若△ABC的周长是10，则△AOE的周长为( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
7.如图，直线AB/​/CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积( )
A. 向左移动变小
B. 向右移动变小
C. 始终不变
D. 无法确定
8.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在DE上，且AF⊥BF，若AB=7，AC=12，则EF的长为( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
9.如图，AB⊥AF，EF⊥AF，BE与AF交于点C，点D是BC的中点，∠AEB=2∠B.若BC=8，EF= 7，则AF的长是( )
A. 6B. 7C. 3D. 5
10.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB=10，OE=6，则菱形ABCD的面积为( )
A. 48
B. 60
C. 96
D. 192
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.把 12化成最简二次根式得______．
12.化简( 3−a)2+ (a−3)2=______．
13.如图，在▱ABCD中，AB=2，点E在CD上，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，则AE2+BE2的值是______．
14.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是______．
15.如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动.点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动.两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止运动)，设运动时间为t秒.当5三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：
(1)( 5+2)( 5−2)− 6× 23
(2) 12− 6 3+2 2
17.(本小题6分)
在正方形网格中，四边形ABCD的每个顶点都在格点上，已知小正方形的边长为1，求这个四边形ABCD的周长和面积．
18.(本小题6分)
如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m，将它往前推送4m(水平距离BC=4m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
19.(本小题6分)
阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S= p(p−a)(p−b)(p−c).这个公式叫“海伦公式”，完成下列问题：如图，在△ABC中，a=8，b=5，c=7．
(1)求△ABC的面积；
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
20.(本小题9分)
大家知道 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 2的小数部分我们不可能全部地写出来，因为 2的整数部分是1；于是用 2−1来表示 2的小数部分．
请解答：
(1)如果 13的小数部分为a， 29的整数部分为b，求a+b− 13的值；
(2)已知：12+ 3=x+y，其中x是整数，且021.(本小题9分)
已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD//BC，AE=CF．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若∠DAH=∠GBA，GF=2，CF=4，求AD的长．
22.(本小题9分)
如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形．
(1)若a=1，b= 2，求图1中两个正方形的面积之和；
(2)若m= 5，n= 3，求图2中AF的长；
(3)已知m>n且满足am−bn= 3,an+bm= 5.若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形ABEF的面积为3，求△ACF的面积．
23.(本小题12分)
(1)如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，请判断四边形AFCE形状并说明理由；

(2)如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=3，BC=4，求AE的长；

(3)如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=2 2，BC=4，∠C=45°，求AF的长．
24.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB(1)若平行四边形ABCD是菱形，∠CAD=50°，试求出∠D的度数；
(2)若AE⊥BC于E，BP=2CP=4，AP= 17，CD=5，求EP的长；
(3)过点P作PF⊥AP交线段CD于点F.过B点作BH⊥AP于H，交△ABC的高AE于点N.若AP=BN，AN=CP，求证：BP= 2CF+CP．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解： a−4有意义，
则a−4≥0，
解得：a≥4，
故a的值可以是6．
故选：D．
直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确得出a的取值范围是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解： 54a= 9×6a= 9× 6a=3 6a；
由 54a是整数，得a最小值为6，
故选：C．
先将54写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出a的最小整数值．
本题考查了二次根式的基本性质，利用二次根式的基本性质是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵ (−2)2=2，
∴选项A不正确；

∵ (−2)×(−2)=2，
∴选项B正确；

∵3 2− 2=2 2，
∴选项C不正确；

∵ 8+ 2=3 2≠ 10，
∴选项D不正确．
故选：B．
根据二次根式的加减法则，以及二次根式的性质逐项判断即可．
此题主要考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查最简二次根式，将二次根式的被开方数的分子分母同乘5，再开根号即可．
【解答】
解： 25= 2×55×5= 1025= 105．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：过点D作DE⊥BC于点F，
∵BC=10，AC=8，
∴AB= BC2−AC2=6，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴DE=AD，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
BD=BDAD=DE，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)，
∴AB=BE=6，
∴CE=BC−BE=4，
设CD=x，则AD=DE=8−x，
∵CD2=DE2+CE2，
∴x2=(8−x)2+42，
∴x=5，
∴CD=5，
故选：B．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，然后由勾股定理可得出答案．
本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，
∵点E是AD的中点，
∴AD=2AE，AB=2OE，
∵△ABC的周长是10，
∴△AOE的周长=AE+OA+OE=12(AD+AB+AC)=12×10=5，
故选：B．
根据中点的定义和三角形中位线定理得，AD=2AE，AB=2OE，从而得出可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵直线AB/​/CD，点P是直线AB上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变，
∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变，
故选：C．
根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变．
本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=6，
∵AF⊥BF，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴DF=12AB=3.5，
∴EF=DE−DF=6−3.5=2.5，
故选：D．
根据题意求出DE，DF的长，即可求出EF．
本题考查三角形的中位线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握中位线的性质是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB⊥AF，
∴∠FAB=90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD=BD=12BC，
∴∠DAB=B，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，
∵∠AEB=2∠B，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
∵BC=8，
∴AE=AD=4，
∵EF= 7，EF⊥AF，
∴AF= AE2−EF2= 42−( 7)2=3，
故选：C．
根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OD=OB，
∵DE⊥AB，
∴OE=OB=OD=6，
∵AO2=AB2−OB2=102−62，
∴AO=8，
∴AC=16，
∵BD=12，
∴菱形ABCD的面积为：
12AC⋅BD=12×16×12=96．
故选：C．
利用菱形的性质，直角三角形的性质，可求解．
本题考查菱形的性质，关键是掌握并灵活应用菱形的性质．
11.【答案】2 3
【解析】解： 12= 2×2×3=2 3，
故答案为：2 3．
先分解质因数，再开方即可．
本题考查了二次根式的性质和最简二次根式的定义的应用，注意：满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
12.【答案】6−2a
【解析】解：因为 3−a有意义，
所以3−a≥0，即a≤3
当a≤3时，原式=3−a+|a−3|
=3−a+3−a
=6−2a．
故答案为：6−2a
根据 3−a先确定a的取值范围，然后对含二次根式的式子进行化简得结论．
本题考查了二次根式的非负性、二次根式的化简．解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
13.【答案】4
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AB/​/CD，AD//BC，
∴AD/​/BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2=22=4，
故答案为：4．
根据平行的性质及角平分线的定义求出∠AEB=90°，利用勾股定理求出最后结果即可．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，得出△AEB为直角三角形是解答本题的关键．
14.【答案】15
【解析】【分析】
设第三个数为x，x>0，根据勾股数的定义得出：①x2+82=172，②172+82=x2，求出x的值后根据勾股数必须是正整数即可得解．
本题考查了勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
【解答】
解：设第三个数为x，x>0，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82=172，
解得：x=15；
②172+82=x2，
解得：x= 353(不合题意，舍去)，
故答案为：15．
15.【答案】203秒或8秒
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD//BQ．
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD=BQ．
当5∴10−t=30−4t，
解得：t=203；
当152∴10−t=4t−30，
解得：t=8．
综上所述：当运动时间为203秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：203秒或8秒．
根据P的速度为每秒1cm，可得AP=t cm，从而得到PD=(10−t)cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD/​/BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD=BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清Q在BC上往返运动情况是解决此题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=5−4− 6×23
=1−2
=−1；
(2)原式= 123− 63+2× 2 2× 2
=2− 2+ 2
=2．
【解析】(1)先根据平方差公式和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可；
(2)先利用二次根式的除法法则运算，则分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
17.【答案】解：AD= 2，AB=2 2，CD= 17，BC= 13，
∴这个四边形ABCD的周长=3 2+ 17+ 13；
这个四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=12×5×2+12×5×1=152．
【解析】此题考查勾股定理以及网格中图形面积的计算，关键是根据勾股定理计算各边长．
根据勾股定理计算各边的长，即可求出周长，再利用分割法求面积即可．
18.【答案】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
∵∠BCD=∠E=∠BFE=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=BF=2m，
∵DE=1m，
∴CD=CE−DE=2−1=1(m)，
设秋千的绳索长为xm，则AC=(x−1)m，
故x2=42+(x−1)2，
解得：x=8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
【解析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC=(x−1)m，利用勾股定理可得x2=42+(x−1)2．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
19.【答案】解：(1)∵a=8，b=5，c=7，
∴p=8+5+72=10，
∴△ABC的面积S= 10×(10−8)×(10−5)×(10−7)=10 3；
(2)∵△ABC的面积=12BC⋅AD，
∴12×8×AD=10 3，
∴AD=5 32．
【解析】(1)把a=8，b=5，c=7代入公式进行计算即可；
(2)由△ABC的面积=12BC⋅AD，再建立方程求解即可．
本题考查的是二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
20.【答案】解：(1)∵9<13<16，
∴ 9< 13< 16，即3< 13<4，
∴ 13的小数部分为 13−3，即a= 13−3，
∵25<29<36，
∴ 25< 29< 36，即5< 29<6，
∴ 29的整数部分为5，即b=5，
则a+b− 13= 13−3+5− 13=2；
(2)∵1<3<4，
∴ 1< 3< 4，即1< 3<2，
∴13<12+ 3<14，
∴13∵x是整数，且0∴x=13，y= 3−1，
∴x−y=13−( 3−1)=14− 3．
则x−y的相反数是 3−14．
【解析】(1)先根据无理数的估算求出a、b的值，再代入求解即可；
(2)先根据无理数的估算12+ 3，再根据x是整数和0本题考查了无理数的估算与运算、相反数的定义等知识点，掌握理解无理数的估算方法是解题关键．
21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵AD/​/BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
∠DEA=∠BFC=90°AE=CF∠DAE=∠BCF，
∴△DAE≌△BCF(ASA)，
∴AD=CB，
∵AD/​/BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DH/​/BG，
∴∠DHA=∠GBA，
∵∠DAH=∠GBA，
∴∠DHA=∠DAH，
∴DA=DH．
在Rt△CFG中，
∵GF=2，CF=4，
∴CG= CF2+GF2= 42+22=2 5，
∴AH=2 5．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DHBG为平行四边形，
∴DH=BG，
∵DA=DH，DA=CB，
∴BG=BC．
在Rt△CFB中，
∵BF=BG−FG=BC−2，CF=4，
∴BC2=BF2+CF2，
∴BC2=(BC−2)2+42，
∴BC=5．
∴AD=BC=5．
【解析】(1)证明△DAE≌△BCF，可得AD=CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
(2)根据勾股定理可得CG，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△DAE≌△BCF．
22.【答案】解：(1)S=a2+b2=12+( 2)2=3，
∴两个正方形的面积之和为3；
(2)∵∠ACD=∠DCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵AC= 2m= 2× 5= 10，CF= 2n= 2× 3= 6，
∴AF= AC2+CF2= 10+6=4；
(3)∵am−bn= 3,an+bm= 5，
∴(am−bn)2=3①，(an+bm)2=5②，
①+②得，a2m2+b2n2−2abmn+a2n2+b2m2+2abmn=8，
整理得(a2+b2)(m2+n2)=8，
∵a2+b2=2，12(m+n)2=3，
∴4+2mn=6，
解得mn=1，
∴S△ACF=12× 2m2× 2n2=1．
【解析】(1)根据正方形的面积公式直接求值即可；
(2)先确定∠ACF=90°，再由勾股定理求解即可；
(3)将已知的两个等式分别平方，求和后可求mn=1，再由△ACF是直角三角形，利用面积公式求解即可．
本题考查二次根式的应用，熟练掌握完全平方公式，正方形和直角三角形的面积求法是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：菱形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//CF，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，AO=OC，
∴△EAO≌△FCO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
(2)解：过点F作FH⊥AD于H，

由折叠可知：AF=CF，∠AFE=∠EFC，
在Rt△ABF中，AF2=BF2+AB2，即(4−BF)2=BF2+9，
∴BF=78，
∴AF=CF=258，
∵AD/​/BC，
∴∖angAEF=∖angEFC=∖angAFE，
∴AE=AF=258；
(3)过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°，
∴∠ABC=135°，
∴∠ABN=45°，
∵AN⊥BC，
∴∠ABN=∠BAN=45°，
∴AN=BN= 22AB=2，
由折叠的性质可知：AF=CF，∠AFE=∠EFC，
∵AD/​/BC，
∴∖angAEF=∖angEFC=∖angAFE，
∴AE=AF，
∵AF2=AN2+NF2，
∴AF2=4+(2+4−AF)2，
∴AF=103．
【解析】(1)通过证明△EAO≌△FCO(AAS)，得到OE=OF，可证四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，可证平行四边形AFCE为菱形；
(2)过点F作FH⊥AD于H，在Rt△ABF中，利用勾股定理列式求得BF=78，AF=CF=258，再根据折叠的性质和平行线的性质，求出AE=AF=258；
(3)过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，先求得AN=BN= 22AB=2，由勾股定理得到AF2=AN2+NF2，列式计算即可求解．
本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
24.【答案】解：(1)在菱形ABCD中，AD=CD．
∴∠ACD=∠CAD=50°，
∵∠D+∠ACD+∠CAD=180°，
∴∠D=180°−(∠ACD+∠CAD)=80°；
(2)过点A作AE⊥BC于E，

在▱ABCD中，CD=5，
∴AB=CD=5，
设PE=x，则BE=4−x，
在Rt△APE中，AE2=AP2−PE2=17−x2，
在Rt△ABE中，AE2=AB2−BE2=52−(4−x)2=25−16+8x−x2，
∴17−x2=9+8x−x2．
解得：x=1，
∴PE=1；
(3)证明：连接NP
∵BH⊥AP，AP⊥PF

∴∠APB+∠NBE=90°，∠APB+∠PAE=90°，
∴∠NBE=∠PAE．
∵AE⊥BC，
∴∠BEN=∠AEP=90°，
在△NBE和△PAE中，
∠NBE=∠PAE∠BEN=∠AEPAP=BN，
∴△NBE≌△PAE(AAS)，
∴BE=AE，NE=PE，
又∵AE⊥BC，
∴∠ABC=∠BAE=45°，∠PNE=45°，
∴NE= 22NP，
∵BH⊥AP，AP⊥PF，
∴BH//PF，
∴∠FPC=∠NBE，
∴∠PAE=∠CPF，
∵∠ANB=90°+∠PAE，∠CPA=90°+∠FPC，
∴∠ANB=∠CPA，
在△ANB和△CPA中，
AN=CP∠ANB=∠APCBN=AP，
∴△ANB≌△CPA(SAS)，
∴∠ABN=∠CAP，
∴∠CAE=∠CAP+∠PAE=∠ABN+∠NBE=∠ABE=45°，
又∵AE⊥BC，
∴∠ACE=∠CAE=45°，
∴EC=AE=BE，
∴BC=2AE，
∴∠ANP=180°−∠PNE=135°，
在▱ABCD中，AB/​/CD．

∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠PCF=180°−∠ABC=135°，
∴∠ANP=∠BCD=135°，
在△ANP和△PCF中，
∠NAP=∠CPFAN=PC∠ANP=∠PCF，
∴△ANP≌△PCF(ASA)．
∴CF=NP，
又∵NE= 22NP= 22CF，
∴AE=EN+AN= 22CF+PC，
∴BC= 2CF+2CP，
∴BP= 2CF+CP．
【解析】(1)证明∠ACD=∠CAD=50°，再利用三角形的内角和定理可得答案；
(2)过点A作AE⊥BC于E设PE=x，则BE=4−x，AE2=AP2−PE2=17−x2，而AE2=AB2−BE2=52−(4−x)2=25−16+8x−x2，再建立方程求解即可；
(3)连接NP，证明△NBE≌△PAE(AAS)，可得BE=AE，NE=PE，证明NE= 22NP，再证明△ANB≌△CPA(SAS)可得∠CAE=∠ABE=45°，BC=2AE，证明△ANP≌△PCF(ASA).可得CF=NP，可得AE=EN+AN= 22CF+PC，从而可得结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．