2023-2024学年广东省广州中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中，能与 3合并的是( )
A. 12B. 24C. 30D. 5
2.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( )
A. 2是变量B. π是变量C. r是变量D. C是常量
3.如图，一棵树(树干与地面垂直)高18米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为( )
A. 12米B. 14米C. 3米D. 5米
4.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )
A. 8B. 4 2C. 8 2D. 16
5.下列运算正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 3+ 3=3 3C. 3× 5= 8D. 12− 3= 3
6.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是( )
A. 如果∠A−∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B. 如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C. 如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D. 如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
7.如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=( )
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm
8.如图，E是菱形ABCD的边BC上一点，连接AE，将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在边CD的中点F处，过点A作AG⊥CD，垂足为G，则AGDG的值为( )
A. 15
B. 5
C. 13
D. 4
二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 24n是正整数，则正整数n的值可以是( )
A. 6B. 12C. 18D. 24
10.如图，以△ABC的边AB，AC为边向外分别作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD，CF，DF，则下列说法正确的是( )
A. FC=BD
B. S△AFD=S△BAC
C. △AFD为直角三角形
D. 若AB=2，AC=4，则BC2+DF2=40
三、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y=______．
12.比较大小：3 2 ______ 17.(选填“>”、“=”或“
【解析】解：3 2= 18> 17，
故答案为：>．
求出3 2= 18，再比较即可．
本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
13.【答案】x>1
【解析】解：由题意得x−1>0，
解得x>1，
故答案为：x>1．
根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
14.【答案】365
【解析】解：设AB边上的高为h，
在Rt△ABC中，∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2，
∵AC=9，BC=12，
∴AB= AC2+BC2= 92+122=15，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅h，
∴9×12=15h，
∴h=365．
故答案为：365．
首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．
15.【答案】5 11
【解析】解：在Rt△ABC中，D是AB的中点，CD=5 11，
则AB=2CD=10 11，
∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AB=5 11，
故答案为：5 11．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据三角形中位线定理求出EF．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】4 5
【解析】解：连接CF，在AB上截取AG=EC，连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠GAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠GAE=∠CEF，
∵AE=EF，
∴△AGE≌△ECF(SAS)，
∴∠AGE=∠ECF，
∵AB=BC，AG=EC，
∴BG=BE，
∵∠B=90°，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=∠ECF=135°，
∴∠DCF=45°，即CF与CD的夹角始终为45°，
在BC的延长线上取点D′，使CD′=CD=4，连接FD′，AD′，
则点D′与点D关于直线CF对称，FD=FD′，
∴FA+FD=FA+FD′≥AD′，
∴FA+FD的最小值为AD′，
在Rt△ABD′中，
AB=4，BD′=BC+CD′=8，
由勾股定理，得AD′= AB2+BD′2= 42+82=4 5，
即FA+FD的最小值为4 5，
故答案为：4 5．
连接CF，在AB上截取AG=EC，连接GE，可推出点∠DCF=45°，在BC的延长线上取点D′，使CD′=CD=4，连接FD′，AD′，可推出FA+FD的最小值为AD′，再利用勾股定理求出AD′即可．
本题考查轴对称−最短路线问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能够发现点F的运动路线是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(2 2+ 3)× 6−4 2
=4 3+3 2−4 2
=4 3−2 2．
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行而次根式的乘法运算后合并即可．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC
∴AF/​/CE．
又∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】此题主要考查平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
由四边形ABCD是平行四边形，可得AF/​/CE，又AF=CE，所以四边形AECF是平行四边形．
19.【答案】解：x2−y2x2+2xy+y2
=(x+y)(x−y)(x+y)2
=x−yx+y，
当x= 5+2，y= 5−2时，原式= 5+2− 5+2 5+2+ 5−2=2 55．
【解析】先将分式的分子分母分解因式，再化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】 26+3 5+ 17
【解析】解：(1)由勾股定理得：AB= 12+52= 26，BC= 42+22=2 5，CD= 12+22= 5，AD= 42+12= 17，
∴四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD= 26+2 5+ 5+ 17= 26+3 5+ 17，
故答案为： 26+3 5+ 17；
(2)∠BCD是直角，
理由：连接BD，
BD= 32+42=5，BC= 42+22=2 5，CD= 12+22= 5，
52=(2 5)2+( 5)2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD是直角．
(1)根据勾股定理求出AB、BC、CD、AD的长，再求出周长即可；
(2)根据勾股定理的逆定理可判断△BCD的形状．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
21.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD=22.5°，∠ACD=67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°−67.5°=22.5°；
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，
∴CE=12AB=AE= 10，
∴∠ECA=∠A=22.5°，
∴∠ECD=∠ACD−∠ECA=67.5°−22.5°=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CED=45°=∠ECD，
∴CD=DE，
在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，
∴2DE2=( 10)2，
∴DE= 5．
【解析】(1)根据题意求出∠ACD，根据三角形内角和定理即可求出∠A；
(2)利用三角形的外角的性质得到∠CED=45°，得到CD=DE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=12AB= 10，根据勾股定理即可求出答案．
本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：过点A作AD⊥BC于D，如图1，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=12BC=1，
由勾股定理得，AD= AB2−BD2=2，
∴AD=BC，即△ABC是“美丽三角形”；
(2)解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，
BC= BD2−CD2=3，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2=AE2−CE2，即BC2−(12BC)2=(2 3)2，
解得，BC=4，
综上所述，BC=3或BC=4．
【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
(1)过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据“美丽三角形”的定义证明；
(2)分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算．
23.【答案】解：(1)由题意知，AB=m+n+1，BC=m，
∴S阴影=(n+1)m−n2−12=−n2+(n+1)m−1，
∴图中阴影部分的面积为−n2+(n+1)m−1；
(2)∵n=a−1a= 5−1，
∴n2=(a−1a)2=( 5−1)2，即n2=a2+1a2−2=6−2 5，则a2+1a2=8−2 5，
∵m=(a+1a)2+2 5，
∴m=a2+1a2+2+2 5=10，
将n2=6−2 5，n= 5−1，m=10代入S阴影=−n2+(n+1)m−1中得，S阴影=−(6−2 5)+( 5−1+1)×10−1=12 5−7，
∴阴影部分的面积为12 5−7．
【解析】(1)由题意知，AB=m+n+1，BC=m，根据S阴影=(n+1)m−n2−12，整理求解即可；
(2)由n=a−1a= 5−1，可得n2=(a−1a)2=( 5−1)2，运算求解得n2=6−2 5，a2+1a2=8−2 5，由m=(a+1a)2+2 5，可得m=10，然后将n2、n、m的值代入S阴影=−n2+(n+1)m−1中，计算求解即可．
本题考查了列代数式，完全平方公式，二次根式的混合计算，代数式求值等知识．解题的关键在于根据题意列代数式并正确运算．
24.【答案】解：(1)根据题意， a−12+ 24−2a=|16−b|+(c−10)2，
可知a−12≥0，24−2a≥0，
解得a=12，
∴|16−b|+(c−10)2=0，
∵|16−b|≥0，(c−10)2≥0，
∴16−b=0，c−10=0，
解得b=16，c=10；
(2)由(1)可知，A(12,0)，B(16,10)，
∴OA=12，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC=OA=12，BC/​/OA，
∴C(4,10)，
如下图，连接OE，CF，AC，AC与EF交于点G，取AG中点K，连接DK，HK，

∵四边形OABC为平行四边形，
∴OC=BA，OC//BA，
∵OE=BF，
∴OC−OE=BA−BF，即CE=AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴CG=AG，
∴G(8,5)，K(10,2.5)，
∴AG= (12−8)2+(0−5)2= 41，
∵AD⊥DF，点K为AG中点，
∴DK=12AG= 412，
∵H(9,0)，
∴HK= (9−10)2+(0−2.5)2= 292，
∵在△DHK中，DH>DK+HK，
∴当点D、K、H在同一直线上时，
DH取最大值，最大值为DH=DK+HK= 41+ 292．
【解析】(1)根据二次根式有意义的条件可解得a=12，进而可得|16−b|+(c−10)2=0，然后根据非负数的性质解得b=16，c=10即可；
(2)首先确定点C坐标，连接OE，CF，AC，AC与EF交于点G，取AG中点K，连接DK，HK，证明四边形AECF为平行四边形，进而可确定点G，K坐标，利用勾股定理可得AG，HK的值，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DK的值，在△DHK中，由三角形三边关系可得DH>DK+HK，所以当点D、K、H在同一直线上时，DH取最大值，即可获得答案．
本题主要考查了二次根式有意义的条件、非负数的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握相关知识并综合应用是解题关键．
25.【答案】解：(1)如图1，延长CD至F，使DF=BC，连接AF，

∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ADF=180°，
∵∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠ADF=∠ABC，
在△ADF和△ABC中，
AD=AB∠ADF=∠ABCDF=BC，
∴△ADF≌△ABC(SAS)
∴AF=AC，∠DAF=∠BAC，
∵∠DAF=∠BAC+∠DAC=∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠DAC=∠CAF=90°，
∴△CAF是等腰直角三角形，
∴∠F=45°，
∴∠ACB=∠F=45°；
(2)DE⊥AC，
理由：如图2，延长CD至F，使DF=BC，连接AF，连接EF交AD于G，

∵平行四边形ABCE，
∴AE=BC，AE/​/BC，
∴∠CAE=∠ACB，
∵DF=BC，
∴AE=DF，
由(1)知∠ACB=∠AFD=45°，
∴∠CAE=45°，
∵∠CAF=90°，
∴∠EAF=∠CAE=45°，
∴∠EAF=∠AFD，
在△AEF与△FDA中，
AE=FD∠EAF=∠AFDAF=FA，
∴△AEF≌△FDA(SAS)，
∴∠AFE=∠DAF，AD=EF，
∴AG=FG，
∴AD−AG=EF−FG，即DG=EG，
∴∠GDE=∠GED，
∵∠AFE+∠DAF+∠AGF=180°，∠GDE+∠GED+∠DGE=180°，∠AGF=∠DGE，
∴∠AFE=∠DEG，
∴DE/​/AF，
∵∠CAF=90°，
∴AF⊥AC，
∴DE⊥AC；
(3)如图2，延长AE交CD于H，
由(1)知，AF=AC，△CAF是等腰直角三角形，
由(2)知，∠HAF=∠HAC=∠F=45°，DE/​/AF，
∴∠HDE=∠HED=45°
∴HD=HE，
由(1)知，△CAF是等腰直角三角形，
∴FH=CH，AH⊥CF，
∴FH=AH，
在Rt△AHD中，设HD=HE=x，则AH=AE+EH=2+x，
由勾股定理，得x2+(x+2)2=(2 5)2，
解得：x=2，
∴HD=HE=2，
在Rt△HDE中，由勾股定理，得DE= HD2+HE2= 22+22=2 2．
【解析】(1)延长CD至F，使DF=BC，连接AF，证明△ADF≌△ABC(SAS)，得AF=AC，∠DAF=∠BAC，再证明C、D、F三点共线，从而得△CAF是等腰直角三角形，即可得到∠F=45°，即可由∠ACB=∠F求解；
(2)延长CD至F，使DF=BC，连接AF，连接EF交AD于G，由平行四边形ABCE，得AE=BC，AE/​/BC，所以∠CAE=∠ACB，由DF=BC，得AE=DF，再证明△AEF≌△FDA(SAS)得∠AFE=∠DAF，AD=EF，从而可证明DE/​/AF，又因为AF⊥AC，即可得出结论DE⊥AC；
(3)延长CD至F，使DF=BC，连接AF，延长AE交CD于H，由(1)知：△CAF是等腰直角三角形，由(2)：∠HAF=∠HAC=∠F=45°，DE/​/AF，从而可证明HD=HE，利用待腰三角形“三线合一”得AH⊥CF，在Rt△AHD中，设HD=HE=x，则AH=AE+EH=2+x，由勾股定理，得x2+(x+2)2=(2 5)2，解得：x=2，则HD=HE=2，在Rt△HDE中，由勾股定理，求解即可．
本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，勾股定理．解题关键是构造△ADF≌△ABC和熟练掌握相关性质定理．