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2023-2024学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 笛卡尔心形线B. 阿基米德螺旋线
C. 科克曲线D. 赵爽弦图
2.已知xA. x−2>y−2B. 2x>2y
C. −2x+3>−2y+3D. −2x<−2y
3.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. x(x−2)=x2−2xB. (x+1)2=x2+2x+1
C. x2−4=(x+2)(x−2)D. x2+2x+4=(x+1)2+3
4.已知点P(3−m,m−1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )
A. 1.5cmB. 2cmC. 2.5cmD. 3cm
6.今年2月，某种口罩单价，上涨3元，同样花费120元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买2个，设涨价后每个口罩x元，可列出的正确的方程是( )
A. 120x−120x+3=2B. 120x−3−120x=2C. 120x−2−120x=3D. 120x−120x+2=3
7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB=12，CD=3，则△DBE的面积为( )
A. 10B. 12C. 9D. 6
8.如果不等式组x<8x>m无解，那么m的取值范围是( )
A. m>8B. m≥8C. m<8D. m≤8
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为( )
A. 12B. 6C. 6 2D. 6 3
10.等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG=120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是( )
①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③S四边形ODBE=278 3；④△BDE周长最小值是9
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如果分式x2−4x+2的值为0，那么x的值为______．
12.如图，∠C=90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得△A′B′C′，若BC=3cm，AC=4cm，则阴影部分的周长为______．
13.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k<0)的图象与直线y=13x都经过点A(3,1)，当kx+b>13x≥0时，x的取值范围是______．
14.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠DCE的度数是______°.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，将线段DC绕点D顺时针旋转α(0°<α<180°)，点C的对应点为点F，连接BF，BD.当△BDF为直角三角形时，BF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px+n，得x2+5x+m=(x+2)(px+n)，
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p=1，于是x2+5x+m=(x+2)(x+n)．
则x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n，
∴n+2=5，m=2n，
解得n=3，m=6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下面问题：
(1)若二次三项式x2−7x+12可分解为(x−3)(x+a)，则a= ______；
(2)若二次三项式2x2+bx−6可分解为(2x+3)(x−2)，则b= ______；
(3)已知代数式2x3+x2+kx−3有一个因式是2x−1，求另一个因式以及k的值．
四、解答题：本题共6小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
先化简，再求值：1−a−1a÷(aa+2−1a2+2a)，其中a= 3−1．
18.(本小题7分)
在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在“格点”处．
(1)在给定方格纸中，点B与点B′对应，请画出平移后的△A′B′C′；
(2)线段AA′与线段CC′的关系是______；
(3)求平移过程中，线段BC扫过的面积．
19.(本小题7分)
某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离.于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，______.(从记录表中再选一个条件填入横线)
求：线段AB的长(为减小结果的误差，若有需要， 2取1.41， 3取1.73， 6取2.45进行计算，最后结果保留整数.)
20.(本小题8分)
2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功.航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=3，BC=4，PA=1，求线段DE的长．
22.(本小题10分)
综合与实践--探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
(1)初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α= ______时，△AMC是等腰三角形；
(2)深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中.如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
(3)再探究：
在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
(4)拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、在不等式xB、在不等式xC、在不等式x−2y，在不等式−2x>−2y的两边同时加上3，不等式仍成立，即−2x+3>−2y+3，原变形正确，故本选项符合题意；
D、在不等式x−2y，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
3.【答案】C
【解析】解：A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解)是解此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：已知点P(3−m,m−1)在第二象限，
3−m<0且m−1>0，
解得m>3，m>1，
故选：A．
根据第二象限内点的坐标特点，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
本题考查了在数轴上不等式的解集，先求出不等式的解集，再把不等式的解集表示在数轴上．
5.【答案】B
【解析】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，
∴AB=BDcs30∘=2 3cm=AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE=12AB= 3cm
同理CF= 3cm，
∴BM=BEcs30∘=2cm，
同理CN=2cm，
∴MN=BC−BM−CN=2cm，
故选：B．
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN=BC−BM−CN求出即可．
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
6.【答案】B
【解析】解：设涨价后每个口罩x元，可列出方程为：
120x−3−120x=2．
故选：B．
根据题意表示出购买口罩的个数进而得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等式是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：过D作DF⊥AB于F，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD=3，
∴DF=CD=3，
∵点E为AB的中点，AB=12，
∴BE=6，
∴△DBE的面积=12BE⋅DF=12×6×3=9，
故选：C．
过D作DF⊥AB于F，由角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式即可求出△DBE的面积．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：因为不等式组无解，
即x<8与x>m无公共解集，
利用数轴可知m≥8．
故选：B．
根据不等式取解集的方法，大大小小无解，可知m和8之间的大小关系，求出m的范围即可．
本题考查不等式解集的表示方法，根据大大小小无解，也就是没有中间(公共部分)来确定m的范围．做题时注意m=8时也满足不等式无解的情况．
9.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．
连接B′B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】
解：连接B′B，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，
∴AC=A′C，AB=A′B′，∠A=∠CA′B′=60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴∠AA′C=60°，
∴∠B′A′B=180°−60°−60°=60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，
∴∠ACA′=∠BCB′=60°，BC=B′C，∠CB′A′=∠CBA=90°−60°=30°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴∠CB′B=60°，
∵∠CB′A′=30°，
∴∠A′B′B=30°，
∴∠B′BA′=180°−60°−30°=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，
∴AB=12=A′B′，
∴A′B=AB−AA′=AB−AC=6，
∴B′B= A′B′2−A′B2=6 3，
故选D．
10.【答案】B
【解析】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点O是三边垂直平分线的交点，
∴OB=OC，
易得OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，
而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中，∠BOD=∠COE BO=CO ∠OBD=∠OCE=30° ,
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴BD=CE，OD=OE，①正确；
∴S△BOD=S△COE，
∴四边形ODBE的面积=S△OBC=13S△ABC=13× 34×62=3 3，③错误；
作OH⊥DE，如图，则DH=EH，
∵∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OEH=30°，
∴OH=12OE，HE= 3OH= 32OE，
∴DE= 3OE，
∴S△ODE=12⋅12OE⋅ 3OE= 34OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；②错误；
∵BD=CE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=6+DE=6+ 3OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE= 3，
∴△BDE周长的最小值=6+3=9，④正确．
故选：B．
连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=13S△ABC=3 3，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE= 34OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=6+DE=6+ 3OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：由题意得：x2−4=0，且x+2≠0，
解得：x=2，
故答案为：2．
根据分式值为零的条件可得x2−4=0，且x+2≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
12.【答案】16cm
【解析】【分析】
本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
利用勾股定理求出AB，再利用平移变换的性质，可得结论．【解答】
解：在Rt△ACB中，AB= AC2+BC2= 42+32=5(cm)，
∵AA′=BB′=5cm，
∴CB′=BB′−BC=5−3=2(cm)，
∴阴影部分的周长=AC+CB′+A′B′+AA′=4+2+5+5=16(cm)．
13.【答案】0≤x<3
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k<0)的图象与直线y=13x都经过点A(3,1)，
由图象可知，当kx+b>13x≥0时，x的取值范围是0≤x<3，
故答案为：0≤x<3．
结合图象即可确定x的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
14.【答案】50
【解析】解：设∠O=x°，
∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠CDO=x°，
∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠CDO=2x°，
∴∠BDE=∠O+∠DEC=x°+2x°=3x°=75°，
∴x°=25°，
∴∠DCE=2x°=50°，
故答案为：50．
根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
15.【答案】2或2 153
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4,AC= 3BC=2 3，
∵AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，
∴MN⊥AB,MA=MB=12AB=2，DB=DA，
在Rt△AMD中，MN⊥AB，∠A=30°，
∴DE=MA 3=2 33，DA=2DE=4 33，
∴DB=DA=4 33，DC=AC−DA=2 33，
∵DF由线段DC绕点D顺时针旋转得到，
∴DF=DF=DC=2 33，
在Rt△BDF中，DB=4 33，DF=2 33，
当BF为直角边时，BF= DB2−DF2=2，
当BF为斜边时，BF= DB2+DF2=2 153，
故答案为：2或2 153．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，则AB=2BC=4,AC= 3BC=2 3，根据垂直平分线的性质得出MN⊥AB,MA=MB=12AB=2，DB=DA，继而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出DE=MA 3=2 33，DA=2DE=4 33，根据旋转的中得出DF=DF=DC=2 33，进而在Rt△BDF中，DB=4 33，DF=2 33，分BF为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
16.【答案】−4 −1
【解析】解：(1)∵(x−3)(x+a)=x2−3x+ax−3a
=x2+(a−3)x−3a
=x2−7x+12．
∴a−3=−7，−3a=12，
解得：a=−4．
(2)∵(2x+3)(x−2)=2x2+3x−4x−6
=2x2−x−6
=2x2+bx−6．
∴b=−1．
(3)设另一个因式为(ax2+bx+c)，得2x3+x2+kx−3=(2x−1)(ax2+bx+c)．
对比左右两边三次项系数可得：a=1．
于是2x3+x2+kx−3=(2x−1)(x2+bx+c)．
则2x3+x2+kx−3=2x3−x2+2bx2−bx+2cx−c=2x3+(2b−1)x2+(2c−b)x−c．
∴−c=−3，2b−1=1，2c−b=k．
解得：c=3，b=1，k=5．
故另一个因式为x2+x+3，k的值为5．
(1)仿照题干中给出的方法计算即可；
(2)仿照题干中给出的方法计算即可；
(3)设出另一个因式为(ax2+bx+c)，对比两边三次项系数可得a=1，再参照题干给出的方法计算即可．
本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．
17.【答案】解：原式=1−a−1a÷a2−1a(a+2)
=1−a−1a⋅a(a+2)(a+1)(a−1)
=1−a+2a+1
=(a+1)−(a+2)a+1
=−1a+1，
当a= 3−1时，原式=−1 3−1+1=− 33．
【解析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，算减法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18.【答案】平行且相等
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)由平移可知：线段AA′与线段CC′的关系是平行且相等；
(3)由图可知：线段BC扫过的部分为平行四边形BCC′B′，
∴面积为5×3=15．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点A′，C′，再连接即可；
(2)根据平移的性质回答即可；
(3)根据图形得到扫过部分的图形，再根据面积公式计算．
本题考查作图−平移变换，平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，多结合图形解决问题．
19.【答案】解：：若选择的条件是：BC=40.0米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△BCD中，∠B=45°，BC=40米，
∴BD=BC⋅cs45°=40× 22=20 2(米)，
CD=BC⋅sin45°=40× 22=20 2(米)，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴AD= 3CD=20 6(米)，
∴AB=AD+BD=20 6+20 2≈77(米)，
∴线段AB的长约为77米；
若选择的条件是：AC=56.4米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=56.4米，
∴CD=12AC=28.2(米)，
AD= 3CD=( 3×28.2)米，
在Rt△BCD中，∠B=45°，
∴BD=CDtan45∘=28.2(米)，
∴AB=AD+BD=( 3×28.2)+28.2≈77(米)，
∴线段AB的长约为77米．
【解析】【分析】
若选择的条件是：BC=40.0米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
若选择的条件是：AC=56.4米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD和CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(1−20%)x=0.8x(元)，
根据题意得：320x=3200.8x−4，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合实际意义，
0.8x=16(元)，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
(2)①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型(100−a)个，
则w=(35−20)a+(25−16)(100−a)=6a+900，
∴w与a的函数关系式为w=6a+900；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
∴a≤12(100−a)，
解得a≤1003，
∵w=6a+900，4>0，a是正整数，
∴当x=33时，w最大，最大值为1098，
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
【解析】(1)设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(1−20%)x=0.8x(元)，根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根；
(2)①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型(100−a)个，根据总利润=两种模型利润之和列出函数解析式即可；
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
21.【答案】解：(1)DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°−90°=90°，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4−x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴22+(4−x)2=12+x2，
解得：x=198，
则DE=198．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4−x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
22.【答案】60°或15°
【解析】解：(1)当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°−30°=60°，
当AC=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形，
故答案为：60°或15°；
(2)由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
∠B=∠FAB=AF∠BAM=∠FAN，
∴△ABM≌△AFN(ASA)，
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
∵∠E=∠C，∠MPE=∠NPC，
∴△MPE≌△NPC(AAS)，
∴PE=PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
(3)∵α=30°，∠B=60°，
∴∠AMB=90°，
∴△ABM是直角三角形，
∵AB=2，
∴BM=AB⋅sin30°=1，AM=AB⋅cs30°= 3，
∴S△ABM=12AM⋅MB=12×1× 3= 32，
∵AE=AC=AB⋅tan60°=2 3，AM= 3，
∴EM= 3，
∵∠BAE=α=∠E=30°，∠EMP=90°，
∴△AMB≌△EPM(ASA)，
由(2)可知△ABM≌△AFN，
∴S△AFN=S△EPM=S△ABM= 32，
∵S△AEF=12AF⋅AE=12×2×2 3=2 3，
∴△ABC与△AFE重叠的面积=S△AEF−S△AFN−S△EPM=2 3−2× 32= 3；
(4)如答题图1所示：当∠CNP=90°时．
∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180°−60°−90°=30°．
∴∠α=30°．
如答题图2所示：当∠CPN=90°时．
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°．
∴∠ANF=60°．
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°．
∴∠α=60°．
综上所述，∠α=30°或60°．
(1)根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
(2)由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据折叠的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
(3)根据已知条件得到△ABM是直角三角形，求得EM= 3，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
(4)当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键．实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图
说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据
角的度数
∠A=30°
∠B=45°
∠C=105°
边的长度
BC=40.0米
AC=56.4米
1.下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 笛卡尔心形线B. 阿基米德螺旋线
C. 科克曲线D. 赵爽弦图
2.已知x
C. −2x+3>−2y+3D. −2x<−2y
3.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. x(x−2)=x2−2xB. (x+1)2=x2+2x+1
C. x2−4=(x+2)(x−2)D. x2+2x+4=(x+1)2+3
4.已知点P(3−m,m−1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )
A. 1.5cmB. 2cmC. 2.5cmD. 3cm
6.今年2月，某种口罩单价，上涨3元，同样花费120元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买2个，设涨价后每个口罩x元，可列出的正确的方程是( )
A. 120x−120x+3=2B. 120x−3−120x=2C. 120x−2−120x=3D. 120x−120x+2=3
7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB=12，CD=3，则△DBE的面积为( )
A. 10B. 12C. 9D. 6
8.如果不等式组x<8x>m无解，那么m的取值范围是( )
A. m>8B. m≥8C. m<8D. m≤8
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为( )
A. 12B. 6C. 6 2D. 6 3
10.等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG=120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是( )
①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③S四边形ODBE=278 3；④△BDE周长最小值是9
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如果分式x2−4x+2的值为0，那么x的值为______．
12.如图，∠C=90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得△A′B′C′，若BC=3cm，AC=4cm，则阴影部分的周长为______．
13.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k<0)的图象与直线y=13x都经过点A(3,1)，当kx+b>13x≥0时，x的取值范围是______．
14.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠DCE的度数是______°.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，将线段DC绕点D顺时针旋转α(0°<α<180°)，点C的对应点为点F，连接BF，BD.当△BDF为直角三角形时，BF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式px+n，得x2+5x+m=(x+2)(px+n)，
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p=1，于是x2+5x+m=(x+2)(x+n)．
则x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n，
∴n+2=5，m=2n，
解得n=3，m=6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下面问题：
(1)若二次三项式x2−7x+12可分解为(x−3)(x+a)，则a= ______；
(2)若二次三项式2x2+bx−6可分解为(2x+3)(x−2)，则b= ______；
(3)已知代数式2x3+x2+kx−3有一个因式是2x−1，求另一个因式以及k的值．
四、解答题：本题共6小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
先化简，再求值：1−a−1a÷(aa+2−1a2+2a)，其中a= 3−1．
18.(本小题7分)
在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在“格点”处．
(1)在给定方格纸中，点B与点B′对应，请画出平移后的△A′B′C′；
(2)线段AA′与线段CC′的关系是______；
(3)求平移过程中，线段BC扫过的面积．
19.(本小题7分)
某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离.于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，______.(从记录表中再选一个条件填入横线)
求：线段AB的长(为减小结果的误差，若有需要， 2取1.41， 3取1.73， 6取2.45进行计算，最后结果保留整数.)
20.(本小题8分)
2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功.航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=3，BC=4，PA=1，求线段DE的长．
22.(本小题10分)
综合与实践--探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
(1)初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α= ______时，△AMC是等腰三角形；
(2)深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中.如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
(3)再探究：
在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
(4)拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、在不等式x
D、在不等式x
故选：C．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
3.【答案】C
【解析】解：A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解)是解此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：已知点P(3−m,m−1)在第二象限，
3−m<0且m−1>0，
解得m>3，m>1，
故选：A．
根据第二象限内点的坐标特点，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
本题考查了在数轴上不等式的解集，先求出不等式的解集，再把不等式的解集表示在数轴上．
5.【答案】B
【解析】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，
∴AB=BDcs30∘=2 3cm=AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE=12AB= 3cm
同理CF= 3cm，
∴BM=BEcs30∘=2cm，
同理CN=2cm，
∴MN=BC−BM−CN=2cm，
故选：B．
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN=BC−BM−CN求出即可．
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
6.【答案】B
【解析】解：设涨价后每个口罩x元，可列出方程为：
120x−3−120x=2．
故选：B．
根据题意表示出购买口罩的个数进而得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等式是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：过D作DF⊥AB于F，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD=3，
∴DF=CD=3，
∵点E为AB的中点，AB=12，
∴BE=6，
∴△DBE的面积=12BE⋅DF=12×6×3=9，
故选：C．
过D作DF⊥AB于F，由角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式即可求出△DBE的面积．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：因为不等式组无解，
即x<8与x>m无公共解集，
利用数轴可知m≥8．
故选：B．
根据不等式取解集的方法，大大小小无解，可知m和8之间的大小关系，求出m的范围即可．
本题考查不等式解集的表示方法，根据大大小小无解，也就是没有中间(公共部分)来确定m的范围．做题时注意m=8时也满足不等式无解的情况．
9.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．
连接B′B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】
解：连接B′B，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，
∴AC=A′C，AB=A′B′，∠A=∠CA′B′=60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴∠AA′C=60°，
∴∠B′A′B=180°−60°−60°=60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，
∴∠ACA′=∠BCB′=60°，BC=B′C，∠CB′A′=∠CBA=90°−60°=30°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴∠CB′B=60°，
∵∠CB′A′=30°，
∴∠A′B′B=30°，
∴∠B′BA′=180°−60°−30°=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，
∴AB=12=A′B′，
∴A′B=AB−AA′=AB−AC=6，
∴B′B= A′B′2−A′B2=6 3，
故选D．
10.【答案】B
【解析】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵点O是三边垂直平分线的交点，
∴OB=OC，
易得OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，
而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD和△COE中，∠BOD=∠COE BO=CO ∠OBD=∠OCE=30° ,
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴BD=CE，OD=OE，①正确；
∴S△BOD=S△COE，
∴四边形ODBE的面积=S△OBC=13S△ABC=13× 34×62=3 3，③错误；
作OH⊥DE，如图，则DH=EH，
∵∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OEH=30°，
∴OH=12OE，HE= 3OH= 32OE，
∴DE= 3OE，
∴S△ODE=12⋅12OE⋅ 3OE= 34OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；②错误；
∵BD=CE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=6+DE=6+ 3OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE= 3，
∴△BDE周长的最小值=6+3=9，④正确．
故选：B．
连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=13S△ABC=3 3，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE= 34OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=6+DE=6+ 3OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：由题意得：x2−4=0，且x+2≠0，
解得：x=2，
故答案为：2．
根据分式值为零的条件可得x2−4=0，且x+2≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
12.【答案】16cm
【解析】【分析】
本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
利用勾股定理求出AB，再利用平移变换的性质，可得结论．【解答】
解：在Rt△ACB中，AB= AC2+BC2= 42+32=5(cm)，
∵AA′=BB′=5cm，
∴CB′=BB′−BC=5−3=2(cm)，
∴阴影部分的周长=AC+CB′+A′B′+AA′=4+2+5+5=16(cm)．
13.【答案】0≤x<3
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k<0)的图象与直线y=13x都经过点A(3,1)，
由图象可知，当kx+b>13x≥0时，x的取值范围是0≤x<3，
故答案为：0≤x<3．
结合图象即可确定x的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
14.【答案】50
【解析】解：设∠O=x°，
∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠CDO=x°，
∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠CDO=2x°，
∴∠BDE=∠O+∠DEC=x°+2x°=3x°=75°，
∴x°=25°，
∴∠DCE=2x°=50°，
故答案为：50．
根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
15.【答案】2或2 153
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4,AC= 3BC=2 3，
∵AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，
∴MN⊥AB,MA=MB=12AB=2，DB=DA，
在Rt△AMD中，MN⊥AB，∠A=30°，
∴DE=MA 3=2 33，DA=2DE=4 33，
∴DB=DA=4 33，DC=AC−DA=2 33，
∵DF由线段DC绕点D顺时针旋转得到，
∴DF=DF=DC=2 33，
在Rt△BDF中，DB=4 33，DF=2 33，
当BF为直角边时，BF= DB2−DF2=2，
当BF为斜边时，BF= DB2+DF2=2 153，
故答案为：2或2 153．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，则AB=2BC=4,AC= 3BC=2 3，根据垂直平分线的性质得出MN⊥AB,MA=MB=12AB=2，DB=DA，继而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出DE=MA 3=2 33，DA=2DE=4 33，根据旋转的中得出DF=DF=DC=2 33，进而在Rt△BDF中，DB=4 33，DF=2 33，分BF为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
16.【答案】−4 −1
【解析】解：(1)∵(x−3)(x+a)=x2−3x+ax−3a
=x2+(a−3)x−3a
=x2−7x+12．
∴a−3=−7，−3a=12，
解得：a=−4．
(2)∵(2x+3)(x−2)=2x2+3x−4x−6
=2x2−x−6
=2x2+bx−6．
∴b=−1．
(3)设另一个因式为(ax2+bx+c)，得2x3+x2+kx−3=(2x−1)(ax2+bx+c)．
对比左右两边三次项系数可得：a=1．
于是2x3+x2+kx−3=(2x−1)(x2+bx+c)．
则2x3+x2+kx−3=2x3−x2+2bx2−bx+2cx−c=2x3+(2b−1)x2+(2c−b)x−c．
∴−c=−3，2b−1=1，2c−b=k．
解得：c=3，b=1，k=5．
故另一个因式为x2+x+3，k的值为5．
(1)仿照题干中给出的方法计算即可；
(2)仿照题干中给出的方法计算即可；
(3)设出另一个因式为(ax2+bx+c)，对比两边三次项系数可得a=1，再参照题干给出的方法计算即可．
本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．
17.【答案】解：原式=1−a−1a÷a2−1a(a+2)
=1−a−1a⋅a(a+2)(a+1)(a−1)
=1−a+2a+1
=(a+1)−(a+2)a+1
=−1a+1，
当a= 3−1时，原式=−1 3−1+1=− 33．
【解析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，算减法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18.【答案】平行且相等
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)由平移可知：线段AA′与线段CC′的关系是平行且相等；
(3)由图可知：线段BC扫过的部分为平行四边形BCC′B′，
∴面积为5×3=15．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点A′，C′，再连接即可；
(2)根据平移的性质回答即可；
(3)根据图形得到扫过部分的图形，再根据面积公式计算．
本题考查作图−平移变换，平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，多结合图形解决问题．
19.【答案】解：：若选择的条件是：BC=40.0米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△BCD中，∠B=45°，BC=40米，
∴BD=BC⋅cs45°=40× 22=20 2(米)，
CD=BC⋅sin45°=40× 22=20 2(米)，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴AD= 3CD=20 6(米)，
∴AB=AD+BD=20 6+20 2≈77(米)，
∴线段AB的长约为77米；
若选择的条件是：AC=56.4米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=56.4米，
∴CD=12AC=28.2(米)，
AD= 3CD=( 3×28.2)米，
在Rt△BCD中，∠B=45°，
∴BD=CDtan45∘=28.2(米)，
∴AB=AD+BD=( 3×28.2)+28.2≈77(米)，
∴线段AB的长约为77米．
【解析】【分析】
若选择的条件是：BC=40.0米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
若选择的条件是：AC=56.4米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD和CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(1−20%)x=0.8x(元)，
根据题意得：320x=3200.8x−4，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合实际意义，
0.8x=16(元)，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
(2)①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型(100−a)个，
则w=(35−20)a+(25−16)(100−a)=6a+900，
∴w与a的函数关系式为w=6a+900；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
∴a≤12(100−a)，
解得a≤1003，
∵w=6a+900，4>0，a是正整数，
∴当x=33时，w最大，最大值为1098，
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
【解析】(1)设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(1−20%)x=0.8x(元)，根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根；
(2)①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型(100−a)个，根据总利润=两种模型利润之和列出函数解析式即可；
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
21.【答案】解：(1)DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°−90°=90°，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4−x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴22+(4−x)2=12+x2，
解得：x=198，
则DE=198．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=4−x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
22.【答案】60°或15°
【解析】解：(1)当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°−30°=60°，
当AC=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形，
故答案为：60°或15°；
(2)由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
∠B=∠FAB=AF∠BAM=∠FAN，
∴△ABM≌△AFN(ASA)，
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
∵∠E=∠C，∠MPE=∠NPC，
∴△MPE≌△NPC(AAS)，
∴PE=PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
(3)∵α=30°，∠B=60°，
∴∠AMB=90°，
∴△ABM是直角三角形，
∵AB=2，
∴BM=AB⋅sin30°=1，AM=AB⋅cs30°= 3，
∴S△ABM=12AM⋅MB=12×1× 3= 32，
∵AE=AC=AB⋅tan60°=2 3，AM= 3，
∴EM= 3，
∵∠BAE=α=∠E=30°，∠EMP=90°，
∴△AMB≌△EPM(ASA)，
由(2)可知△ABM≌△AFN，
∴S△AFN=S△EPM=S△ABM= 32，
∵S△AEF=12AF⋅AE=12×2×2 3=2 3，
∴△ABC与△AFE重叠的面积=S△AEF−S△AFN−S△EPM=2 3−2× 32= 3；
(4)如答题图1所示：当∠CNP=90°时．
∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180°−60°−90°=30°．
∴∠α=30°．
如答题图2所示：当∠CPN=90°时．
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°．
∴∠ANF=60°．
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°．
∴∠α=60°．
综上所述，∠α=30°或60°．
(1)根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
(2)由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据折叠的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
(3)根据已知条件得到△ABM是直角三角形，求得EM= 3，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
(4)当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键．实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图
说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据
角的度数
∠A=30°
∠B=45°
∠C=105°
边的长度
BC=40.0米
AC=56.4米
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