2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=i2−i，则z对应的点Z在复平面的( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(2,1),b=(−1,4)，则2a−3b=( )
A. (7,−10)B. (1,14)C. (−7,10)D. (7,6)
3.下列命题中正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
4.在空间四边形ABCD中，AC=BD，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是( )
A. 梯形B. 矩形C. 正方形D. 菱形
5.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图)，则旗杆的高度为( )
A. 10 mB. 30 mC. 10 3 mD. 10 6 m
6.在△ABC中，若sinC=2sinBcsB，且B∈(π6,π4)，则cb的范围为( )
A. ( 2, 3)B. ( 3,2)C. (0,2)D. ( 2,2)
7.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN/​/平面ABC的是( )
A. B.
C. D.
8.已知AB⊥AC，|AB|=t，|AC|=1t.若点P是△ABC所在平面内一点，且AP=AB|AB|+2AC|AC|，则PB⋅PC的最大值为．( )
A. 13B. 5−2 2C. 5−2 6D. 10+2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=1+2i1+i，则( )
A. z的实部为32B. z−=32−12iC. z的虚部为12iD. |z|=1
10.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是( )
A. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC是钝角三角形
B. 若sinA>sinB，则a>b
C. 若AC⋅AB>0，则△ABC是锐角三角形
D. 若A=45°，a=2，b=2 2，则△ABC只有一解
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0.以下命题正确的有( )
A. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△AMC的重心
B. 若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0
C. 若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA：SB：SC= 3：2：1
D. 若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cs∠AMB=− 66
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为______．
13.将边长为2的正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为______．
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=c，sinAsinB=32,2≤a≤6，则2 2a−S△ABC的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB= 32b．
(1)若b=2，c=3，求a的值：
(2)若a2=bc，判断△ABC的形状．
16.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE=2EB，CF=2FB．
(1)若DE=xAB+yAD，求x，y的值；
(2)求AB⋅DE的值；
(3)求cs∠BEF．
17.(本小题15分)
如图所示，ABCD−A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点．
(1)求证：BD1//平面C1DE；
(2)求三棱锥D−D1BC的体积．
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3(sinA−sinB)sinC=3c−2ba+b．
(1)求sinA；
(2)若△ABC的面积为163 2；
①已知E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为z=i2−i=−1−i，
所以z对应的点Z(−1,−1)在复平面的第三象限．
故选：C．
根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限．
本题主要考查复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵a=(2,1),b=(−1,4)，
∴2a−3b=(4,2)−(−3,12)=(7,−10)，
故选：A．
利用平面向量的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确；
对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确；
对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确；
对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确．
故选：D．
根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解．
本题考查棱柱的定义，考查学生对概念的理解，比较基础．
4.【答案】D
【解析】解：如图所示，空间四边形ABCD中，
连接AC，BD可得一个三棱锥，
将四个中点连接，得到四边形EFGH，
由中位线的性质知，
EH/​/FG，EF/​/HG；
∴四边形EFGH是平行四边形，
又AC=BD，
∴HG=12AC=12BD=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：D．
作出空间四边形ABCD，连接AC，BD，
连接四边中点得到一个四边形，证明它是一个菱形．
本题考查了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查了线线平行、中位线的性质应用问题，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：如图，
依题意知∠ABC=30°+15°=45°，∠ACB=180°−60°−15°=105°，
∴∠BAC=180°−45°−105°=30°，
由正弦定理知BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，
∴AC=BCsin∠BAC⋅sin∠ABC=10 612× 22=20 3(m)，
在Rt△ACD中，AD= 32⋅AC= 32×20 3=30(m)
即旗杆的高度为30m．
故选：B．
作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．
本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．
6.【答案】A
【解析】解：因为sinC=2sinBcsB，由正弦定理得c=2bcsB，则cb=2csB，
又因为B∈(π6,π4)，可得 22b2R，解得a>b，故B正确；
对于C，因为AC⋅AB>0，所以AC⋅AB=|AC|⋅|AB|csA=bccsA>0，所以csA>0，所以A为锐角，但无法确定B和C是否为锐角，故C错误；
对于D，由正弦定理得2sin45∘=2 2sinB，解得sinB=1，因为0°0，x>0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2−2mx2cs2π3=(m2+m+1)x2，
|AC|2=x2+n2x2−2nx2cs2π3=(n2+n+1)x2，
|BC|2=m2x2+n2x2−2mnx2cs2π3=(m2+n2+mn)x2，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2，
即m+n+2=mn，而m>0，n>0，故m+n+2=mn≤(m+n2)2，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得m=n=1+ 3时，等号成立，
又m+n=t，即有t2−4t−8≥0，解得t≥2+2 3或t≤2−2 3(舍去)．
故实数t的最小值为2+2 3．
【解析】(1)根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cs2B+cs2C−cs2A=1可得a2=b2+c2，即可求得答案；
(2)利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
(3)由(1)结论可得∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，推出m+n=t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn，再结合基本不等式，即可求得答案．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．