2023-2024学年辽宁省沈阳市铁西区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市铁西区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2a3b÷2a2b=( )
A. aB. 2aC. abD. 2ab
2.某水库的水位高度y(米)与时间x(小时)满足关系式：y=0.3x+6(0≤x≤5)，则下列说法错误的是( )
A. 时间是自变量，水位高度是因变量B. y是变量，它的值与x有关
C. 当y=7.2时，x=4.5D. 当x=1时，y=6.3
3.将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a/​/b，则∠1的大小为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 105°
4.如图是广州市某一天内的气温变化图，根据图，下列说法中错误的是( )
A. 这一天中最高气温是24℃
B. 这一天中最高气温与最低气温的差为16℃
C. 这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高
D. 这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低
5.如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C=90°，∠BAC=30°.直尺的一边DE经过顶点A，若DE/​/CB，则∠DAB的度数为( )
A. 100°B. 120°C. 135°D. 150°
6.下列运算正确的是( )
A. x6÷x2=x3B. (2a+b)2=4a2+b2
C. (x2)3=x6D. (a+3)(a−3)=a2−6a+9
7.如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为( )
A. 30°
B. 25°
C. 35°
D. 65°
8.如图，△ABC≌△DEC，∠B=∠DEF=90°，点B，E，C，F在一条直线上.已知AB=10，DO=4，BF=20，BE=6，则△OEC的面积为( )
A. 24B. 26C. 32D. 48
9.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD=12(BC+AB2−AC2BC).若AB=7，BC=6，AC=5，则BD的值为( )
A. 5B. 6C. 15D. 30
10.A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地．
其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：a(b+3)= ______．
12.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE/​/BC，点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=30°，∠ACF=121°，则∠A的度数为______．
13.小雨画了一个边长为3cm的正方形，如果将正方形的边长增加xcm那么面积的增加值y(cm)与边长的增加值x(cm)之间的关系式为______．
14.如图，等边△ABC和Rt△DEF，其中∠DEF=90°，点D在AB上，点C在EF上.若∠BDE=45°，则∠ACE的度数为______°.
15.如图是一盏可调节台灯的示意图，固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可以绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD，CE组成的∠DCE始终保持不变.现调节台灯，使外侧光线CD/​/MN，CE/​/BA，若∠DCE=67°，则∠BAO= ______°.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)用平方差公式计算：108×112．
(2)3x2+(−32x+13y)(2x−23y)．
17.(本小题8分)
通过地理知识的学习，我们知道：“距离地面越远，温度越低”.某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示：
请根据上面表格，回答下列问题：
(1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t如何变化？
(2)当高空温度是2℃时，此时距离地面______千米；
(3)请你预测距离地面8千米的高空温度，并写出计算过程．
18.(本小题9分)
已知2a2−a−3=0，求(2a+3)(2a−3)+(2a−1)2的值．
19.(本小题8分)
如图，一个半径为18cm的圆，从中心挖去一个正方形，当挖去的正方形的边长由小变大时，剩下部分的面积也随之发生变化．
(1)若挖去的正方形边长为x(cm)，剩下部分的面积为y(cm2)，则y与x之间的关系式是什么？
(2)当挖去的正方形的边长由1cm变化到9cm时，剩下部分的面积由______cm2变化到______cm2．
20.(本小题8分)
如图，直线EA，DB交于点F，点C在AD的左侧，且满足∠BDC=∠ABF，∠BAD+∠DCE=180°．
(1)判断AD与EC是否平行？并说明理由；
(2)若DA平分∠BDC，CE⊥EA于点E，∠BAF=52°，求∠ABF的度数．
21.(本小题8分)
如图，有一块直角三角板DEF(足够大)，其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE，DF恰好分别经过点C，B，且点A在直线DF的右侧．
(1)若∠A=51°，∠ACD=10°，求∠ABD的度数；
(2)请直接写出∠ABD，∠ACD与∠A之间存在的数量关系．
22.(本小题12分)
【典例展示】
若关于x，y的代数式ax+3y−3x−2y+4的值与x无关，求a的值．
解：原式=ax−3x+3y−2y+4
=(a−3)x+y+4
∵代数式ax+3y−3x−2y+4的值与x无关，
∴a−3=0，
∴a=3．
【理解应用】
已知A=(4x+3)(x−2)−x(1−3m)，B=x2+mx−1，且A−4B的值与x无关，求m的值；
【拓展延伸】
用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为S1，右下角部分的面积为S2，当AD的长度发生变化时，5S2−2S1的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系．
23.(本小题12分)
已知直线PQ//MN，点C在直线PQ上，点B是平面内一点，连接BC交直线MN于点H，过点B作BA⊥BC交直线MN于点A．
(1)若点B在直线MN的右侧，
①如图1，已知∠BCQ=65°，求∠BAM的度数；
②如图2，过点B作BD⊥MN于点D，请判断∠ABD与∠BCQ是否相等，并说明理由；
(2)如图3，若点B在直线PQ和MN之间，过点B作BD⊥MN于点D，在点E，F直线MN上，BE，BF分别是∠ABD，∠CBD的角平分线.若∠ABF=3∠ABE，求∠EBC的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：2a3b÷2a2b
=(2÷2)⋅(a3÷a2)⋅(b÷b)
=a，
故选：A．
根据单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，再把除的商相乘，进行计算即可．
本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则．
2.【答案】C
【解析】解：∵在此问题中时间是自变量，水位高度是因变量，
∴选项A不符合题意；
∵y是因变量，它的值与x有关，
∴选项，B不符合题意；
∵当y=7.2时，x=4，
∴选项C符合题意；
∵当x=1时，y=0.3×1+6=0.3+6=6.3，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
根据实际问题和解析式进行辨别求解．
此题考查了函数概念的应用能力，关键是能准确理解函数的概念，并能和实际问题相结合．
3.【答案】C
【解析】解：由题意知，∠ABC=45°+60°=105°，
∵a/​/b，
∴∠1+∠ABC=180°，
∴∠1=180°−∠ABC=180°−105°=75°，
故选：C．
根据平行线的性质可得∠1+∠ABC=180°，进而可求出∠1．
本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：0时至2时之间和14时至24时之间的气温在逐渐降低，剩下时段气温逐渐上升，所以其中A、B、C的说法都是正确的，故选D．
根据广州市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
本题考查的是统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵DE/​/CB，∠C=90°，
∴∠DAC=∠C=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=120°，
故答案为：B．
先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得∠DAC．
6.【答案】C
【解析】解：A、x6÷x2=x4，故A不符合题意；
B、(2a+b)2=4a2+4ab+b2，故B不符合题意；
C、(x2)3=x6，故C符合题意；
D、(a+3)(a−3)=a2−9，故D不符合题意；
故选：C．
利用平方差公式，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠BCE=65°，
∴∠ACD=∠BCE=65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF+∠ACD=90°，
∴∠CAF=90°−65°=25°，
故选：B．
由全等三角形的性质可求得∠ACD=65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD=90°，进而可求解∠CAF的度数．
本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，AB=10，BE=6，
∴AB=DE=10，BC=EF，
∴BC−EC=EF−EC，
∴BE=CF=6，
∵DO=4，BF=20，
∴OE=DE−DO=6，EC=BF−BE−CF=8，
∵∠DEF=90°，
∴△OEC的面积为=12OE⋅EC=12×6×8=24．
故选：A．
根据全等三角形的性质求出OE，EC，由三角形的面积公式即可求出答案．
本题主要考查了全等三角形的性质和三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵BD=12(BC+AB2−AC2BC)，AB=7，BC=6，AC=5，
∴BD=12×(6+72−526)=5，
故选：A．
根据BD=12(BC+AB2−AC2BC)和AB=7，BC=6，AC=5，可以计算出BD的长．
本题考查新定义、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
10.【答案】C
【解析】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；
乙出发3−1=2小时后追上甲，故②错误；
甲的速度为：12÷3=4(千米/小时)，故③正确；
乙的速度为：12÷(3−1)=6(千米/小时)，
则甲到达B地用的时间为：20÷4=5(小时)，
乙到达B地用的时间为：20÷6=313(小时)，
1+313=413<5，
∴乙先到达B地，故④正确；
正确的有3个．
故选：C．
观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结果．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．
11.【答案】ab+3a
【解析】解：a(b+3)=ab+3a．
故答案为：ab+3a．
直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12.【答案】91°
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴∠B=∠ADE=30°，
∵∠ACF=121°，
∴∠A=∠ACF−∠B=121°−30°=91°．
故答案为：91°．
由平行线的性质推出∠B=∠ADE=30°，由三角形外角的性质得到∠A=∠ACF−∠B=91°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠B=∠ADE=30°，由三角形外角的性质即可求出∠A的度数．
13.【答案】y=x2+6x
【解析】解：由题意可得：y=(3+x)2−32=x2+6x．
故答案为：y=x2+6x．
直接利用新正方形面积减去原正方形面积进而得出答案．
此题主要考查了函数关系式，正确表示出正方形面积是解题关键．
14.【答案】75
【解析】解：设DE与BC交于点H，如下图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
在Rt△DBH中，∠BDE=45°，
∴∠DHB=180°−(∠BDE+∠B)=180°−(45°+60°)=75°，
∴∠CHE=∠DHB=75°，
∵∠DEF=90°，
∴∠ECH=90°−∠CHE=90°−75°=15°，
∴∠ACE=∠ACB+∠ECH=60°+15°=75°．
故答案为：75°．
设DE与BC交于点H，根据等边三角形性质得∠B=∠ACB=60°，利用三角形内角和定理可得∠DHB=75°=∠CHE，进而得∠ECH=15°，由此可得∠ACE的度数．
此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
15.【答案】157
【解析】解：延长CE交MN于L，延长BA交MN于K，
∵CD/​/MN，
∴∠KLC=∠DCE=67°，
∵CE//BA，
∴∠AKO=∠KLC=67°，
∵AO⊥MN，
∴∠AOK=90°，
∴∠OAK=90°−67°=23°，
∴∠BAO=180°−23°=157°．
搞答案为：157．
延长CE交MN于L，延长BA交MN于K，由平行线的性质推出∠KLC=∠DCE=67°，∠AKO=∠KLC=67°，由垂直的定义得到∠AOK=90°，求出∠OAK=90°−67°=23°，由邻补角的性质得到∠BAO=180°−23°=157°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠KLC=∠DCE，∠AKO=∠KLC．
16.【答案】(1)原式=(110−2)(110+2)
=1102−22
=12100−4
=12096．
(2)原式=3x2+(−3x2+xy+23xy−29y2)
=3x2−3x2+xy+23xy−29y2
=53xy−29y2．
【解析】(1)先将原式变为(110−2)(110+2)，再利用平方差公式进行计算即可作答；
(2)先利用平方差公式的运算法则进行计算，然后再合并同类项即可得出答案．
本题主要考查平方差公式及平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
17.【答案】3
【解析】解：(1)随着h的升高，t在降低．
(2)由表格可知，当高空温度是2℃时，此时距离地面3千米．
(3)由表格可知，距离地面的高度每增加1千米，温度下降6℃，则距离地面8千米的高空温度为20−6×8=−28(℃)．
(1)根据变量变化情况作答即可；
(2)根据表格直接作答即可；
(3)距离地面的高度每增加1千米，温度下降6℃，据此列式计算即可．
本题考查函数的表示方法，从表格中找到变量的变化规律是解题的关键．
18.【答案】解：(2a+3)(2a−3)+(2a−1)2
=4a2−9+4a2−4a+1
=8a2−4a−8，
∵2a2−a−3=0，
∴2a2−a=3，
∴原式=4(2a2−a)−8
=4×3−8
=12−8
=4．
【解析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，求出2a2−a=3，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
19.【答案】(1)∵圆的半径为18cm，
∴圆的面积=324π，
∵正方形边长为xcm，
∴正方形的面积为x2，
则剩下部分的面积为y=324π−x2；
(2)(324π−1) (324π−81)
【解析】解：(1)见答案
(2)正方形的边长为1cm时，剩下部分的面积为324π−1，
正方形的边长为9cm时，剩下部分的面积为324π−81，
∴剩下部分的面积由(324π−1)cm2变化到(324π−81)cm2，
故答案为：(324π−1)；(324π−1)．
【分析】
(1)分别求出圆的面积、正方形的面积，结合题意计算，得到答案；
(2)求出正方形的边长为1cm和9cm时正方形的面积，得到答案．
本题考查的是正方形的性质、圆的面积计算，掌握正方形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)AD/​/EC，理由如下：
∵∠BDC=∠ABF，
∴AB/​/CD，
∴∠BAD=∠CDA，
∵∠BAD+∠DCE=180°，
∴∠CDA+∠DCE=180°，
∴AD/​/EC；
(2)∵CE⊥EA于点E，
∴∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∵∠BAF=52°，
∴∠BAD=38°，
∴∠CDA=∠BAD=38°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠BDC=2∠CDA=76°，
∴∠ABF=∠BDC=76°．
【解析】(1)根据平行线的性质与判定求解即可；
(2)根据垂直的定义及角的和差求出∠BAD=38°，结合(1)得出∠CDA=∠BAD=38°，再根据角平分线定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)连接AD，延长AD交BC于点M，如图所示．
∵∠BDM是△ABD的外角，∠CDM是△ACD的外角，
∴∠BDM=∠BAD+∠ABD，∠CDM=∠CAD+∠ACD，
∴∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠ABD+∠CAD+∠ACD，
即∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，
∴∠ABD=∠BDC−∠BAC−∠ACD=90°−51°−10°=29°；
(2)由(1)可知：∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，
即90°=∠A+∠ABD+∠ACD，
∴∠ABD+∠ACD=90°−∠A(或其变形)．
【解析】(1)连接AD，延长AD交BC于点M，由∠BDM是△ABD的外角，∠CDM是△ACD的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠BDM=∠BAD+∠ABD，∠CDM=∠CAD+∠ACD，将其相加，可得出∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，再代入∠BDC=90°，∠BAC=51°，∠ACD=10°，即可求出结论；
(2)由(1)可得出∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，代入∠BDC=90°，变形后即可得出结论．
本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
22.【答案】解：【理解应用】∵A=(4x+3)(x−2)−x(1−3m)=4x2−6x+3mx−6，B=x2+mx−1，
∴A−4B=(4x2−6x+3mx−6)−4(x2+mx−1)
=4x2−6x+3mx−6−4x2−4mx+4
=(−6−m)x−2，
∵A−4B的值与x无关，
∴−6−m=0，
∴m=−6；
(2)设AD=x，
由图可知S1=b(x−4a)=bx−4ab，S2=2a(x−b)=2ax−2ab，
则5S2−2S1=5(2ax−2ab)−2(bx−4ab)
=10ax−10ab−2bx+8ab
=(−2b+10a)x−2ab，
∵当AD的长度发生变化时，5S2−2S1的值始终保持不变，
∴5S2−2S1的值与x的值无关，
∴−2b+10a=0，
∴b=5a．
【解析】【理解应用】先计算A−4B可得到A−4B=(−6−m)x−2，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答；
【拓展延伸】设AD=x，由图可知S1=b(x−4a)=bx−4ab，S2=2a(x−b)=2ax−2ab，则5S2−2S1=(−2b+10a)x−2ab，根据当AD的长度发生变化时，5S2−2S1的值始终保持不变，所以5S2−2S1的值与x的值无关，即−2b+10a=0，则问题得解．
本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
23.【答案】解：(1)①∵PQ//MN，
∴∠BHA=∠BCQ=65°，
∵BA⊥BC，即∠CBA=90°，
∴∠BAM=25°；
②∠ABD=∠BCQ，
∵PQ/​/MN，
∴∠BHA=∠BCQ，
∵BA⊥BC，即∠CBA=90°，
∴∠BHA+∠BAM=90°，
∵BD⊥MN，即∠BDN=90°，
∴∠ABD+∠BAM=90°，
∴∠ABD=∠BHA，
∴∠ABD=∠BCQ；
(2)∵BE，BF分别是∠ABD，∠CBD的角平分线，
∴∠ABE=∠EBD，∠CBF=∠DBF，
∵∠ABF=3∠ABE，即∠ABE=13∠ABF，
∴∠EBD=13∠ABF，
∴∠CBF=∠DBF=∠EBD+∠ABE+∠ABF=53∠ABF，
∵BA⊥BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，即83∠ABF=90°，
解得：∠ABF=1354°，
∴∠ABE=454°，∠CBF=2254°，
∴∠EBC=∠CBF+∠ABF+∠ABE=(4054)°．
【解析】(1)①因为PQ//MN，所以∠BHA=∠BCQ=65°，因为BA⊥BC，即∠CBA=90°，可得∠BAM的度数；
②因为PQ//MN，所以∠BHA=∠BCQ，因为BA⊥BC，即∠CBA=90°，所以∠BHA+∠BAM=90°，因为BD⊥MN，即∠BDN=90°，所以∠ABD+∠BAM=90°，可得∠ABD=∠BHA，即∠ABD=∠BCQ；
(2)因为BE，BF分别是∠ABD，∠CBD的角平分线，所以∠ABE=∠EBD，∠CBF=∠DBF，因为∠ABF=3∠ABE，即∠ABE=13∠ABF，所以∠EBD=13∠ABF，可得∠CBF=∠DBF=∠EBD+∠ABE+∠ABF=53∠ABF，因为BA⊥BC，所以∠ABF+∠CBF=90°，即83∠ABF=90°，解得∠ABF的度数，可得∠ABE、∠CBF的度数，因为∠EBC=∠CBF+∠ABF+∠ABE，可得∠EBC的度数．
本题考查了平行线、垂线的性质，关键是掌握平行线、垂线的性质．距离地面高度(千米)
0
1
2
3
4
5
温度(℃)
20
14
8
2
−4
−10