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2023-2024学年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省郑州市高新区枫杨外国语学校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. (x−y)2=x2−y2B. x6÷x2=x3
C. (x2)3=x5D. x2⋅x3=x5
2.今年4月份，月季花在郑州环线、京广、中州大道、陇海等高架桥上盛开，绚丽满城，成为郑州一道亮丽的风景线.若月季花的花粉粒的直径约为0.000000035m，将0.000000035用科学记数法表示应为( )
A. 0.35×10−7B. 3.5×10−8C. 3.5×10−9D. 35×10−9
3.下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，AD为∠BAC的平分线，添加下列条件后，不能证明△ABD≌△ACD的是( )
A. ∠B=∠C
B. ∠BDA=∠CDA
C. BD=CD
D. AB=AC
5.一副三角板按如图放置，其中∠CAB=∠DAE=90°，∠B=45°，∠D=30°，若AC//ED，则下列角与∠4互余的是( )
A. ∠1B. ∠2C. ∠3D. ∠C
6.如图，已知△ABC，尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF，请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF的理论依据是( )
A. SASB. AASC. ASAD. SSS
7.等腰三角形的两边分别为3和6，则这个三角形的周长是( )
A. 9B. 12C. 15D. 12或15
8.请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如图，桌面和水平面平行，CD与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度∠BCD可能为以下哪个角度( )
A. 55°B. 60°C. 73°D. 86°
9.我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一一纳米气凝胶，该材料导热率K(W/m⋅K)与温度T(℃)的关系如表.根据表格中的数据对应关系，下列选项描述不正确的是( )
A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率
B. 在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高
C. 当温度为350℃时，该材料导热率为0.4W/m⋅K
D. 温度每升高增高10℃该材料导热率增加0.1Wm⋅K
10.如图1，在长方形ABCD中，动点P从点A出发，沿AB−BC−CD运动，至点D处停止.点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当y=8时，对应的x的值是( )
A. 4B. 4或12C. 4或16D. 5或12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−13)−2−(π−2024)0= ______．
12.一个角的补角比这个角的3倍小20°，则这个角的度数是 ．
13.已知多项式(x2+mx+8)和(x2−3x+n)的乘积中不含x2和x3的项，则m+n的值为______．
14.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图1的阴影部分面积为19.则图2的阴影部分面积为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm，AC=22cm，CD为AB边上的高，直线CD上一点F满足CF=AB，点E从点B出发在直线BC上以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，当t= ______秒时，能使△ABC与以点C、F、E为顶点的三角形全等．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
先化简，再求值：(2−a)(2+a)−2a(a+3)+3a2，其中a=−13．
17.(本小题7分)
如图，在△ABC中，BD是角平分线，点E是AC上一点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点E作BD的平行线EF，交AB于点F(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，若∠ABC=72°，求∠BFE的度数．
18.(本小题8分)
当k取何值时，100x2−kxy+49y2是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2的结构特征.因为，100x2−kxy+49y2是一个完全平方式，故将100x2−kxy+49y2写成(10x)2±140xy+(7y)2根据多项式对应项的系数相等，得到k=±140．
(1)若x2+2(m−3)x+25是完全平方式，则m的值为______；
若x2−6x+n(n为常数)是完全平方式，则n的值为______；
(2)已知：(2x−a)2=4x+bx+16，请求出b的值．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD、AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．
(1)若△ABD的面积是24，AF=8则BC的长是______；
(2)若∠BED=50°，∠BAD=30°，求∠DAF的度数．
20.(本小题8分)
下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是______；
A.②→③→①→④
B.③→④→①→②
C.①→②→④→③
D.②→④→③→①
(2)若∠ODC=20°，则∠ABO= ______；
(3)请你说明他们作法的正确性．
21.(本小题8分)
郑州被称为全国著名的“铁路心脏”，铁路为人们的出行提供了便利.五一期间，一列高铁从郑州开往上海，一列普通列车从上海开往郑州，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x(小时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象进行以下探究：
【信息读取】：
(1)郑州到上海两地相距______千米，普通列车的速度是______千米/小时，高铁和普通列车行驶______小时后相遇；
【解决问题】：
(2)求高铁的速度；
(3)普通列车行驶t小时后，高铁到达终点上海，求此时普通列车还需行驶多少千米到达郑州？
22.(本小题10分)
【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
【初步把握】如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有△ABD≌______；线段BD和CE的数量关系是______；
【深入研究】如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图3，直线l1⊥l2，垂足为点O，l2上有一点M在点O右侧且OM=4，点N是l1上一个动点，连接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，连接OP.请直接写出线段OP的最小值及此时ON的长度．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、(x−y)2=x2−2xy+y2，故A不符合题意；
B、x6÷x2=x4，故B不符合题意；
C、(x2)3=x6，故C不符合题意；
D、x2⋅x3=x5，故D符合题意；
故选：D．
利用完全平方公式，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2.【答案】B
【解析】解：0.000000035=3.8×10−8．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】】解：A.AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
B.AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
C.AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D.AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
故选：A．
根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可．
本题考查了点到直线的距离的定义，熟知相关的定义是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、由∠B=∠C∠BAD=∠CADAD=AD，可得到△ABD≌△ACD，所以A选项不正确；
B、由∠BDA=∠CDAAD=AD∠BAD=∠CAD，可得到△ABD≌△ACD，所以B选项不正确；
C、由BD=CD，AD=AD，∠BAD=∠CAD，不能得到△ABD≌△ACD，所以C选项正确．
D、由AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，可得到△ABD≌△ACD，所以D选项不正确；
故选：C．
根据“AAS”对A进行判断；根据“ASA”对B进行判断；根据“SSA”对C进行判断；根据“SAS”对D进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠CAB=∠DAE=90°，∠B=45°，∠D=30°，
∴∠C=90°−45°=45°，∠E=90°−30°=60°，
∵AC//ED，
∴∠1=∠E=60°，∠4=∠C=45°，
∴∠2=90°−60°=30°，
∵∠3+∠2=∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠1=60°，
∴与∠4互余的角是∠C．
故选：D．
求出∠C=90°−45°=45°，∠E=90°−30°=60°，由平行线的性质推出∠1=∠E=60°，∠4=∠C=45°，得到∠2=90°−60°=30°，由余角的性质推出∠3=∠1=60°，即可得到与∠4互余的角．
本题考查平行线的性质，余角和补角，关键是由平行线的性质推出∠1=∠E=60°，∠4=∠C=45°．
6.【答案】A
【解析】解：由作图可知，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，故△ABC≌△DEF(SAS)．
故选：A．
根据SAS判定三角形全等．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息．
7.【答案】C
【解析】解：若3为腰长，6为底边长，
∵3+3=6，
∴腰长不能为3，底边长不能为6，
∴腰长为6，底边长为3，
∴周长=6+6+3=15．
故选：C．
首先根据三角形的三边关系推出腰长为6，底边长为3，即可推出周长．
本题主要考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，关键在于推出腰长和底边的长．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得AB//CD，∠ABC=40°，25°<∠EDC<40°，
∴∠BCF=∠ABC=40°，
过C作CF//AB，如图，
∴CF//ED，
∴∠DCF=∠EDC，
∴25°<∠DCF<40°，
∴25°+40°<∠DCF+∠BCF<40°+40°，
∴65°<∠BCD<80°．
故选：C．
过C作CF//AB，由平行线的性质得∠DCF=∠EDC，∠BCF=∠ABC=40°，由30°<∠DCF<45°，可得70°<∠BCD<85°，即可得到结论．
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵导热率随温度的变化而变化，
∴在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率，
∴A不合题意．
由表中数据知：在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高，
∴B不合题意．
由表中数据知，温度每增加100℃，导热率就增加0.1W/m⋅K，
∴当温度为350℃时，该材料导热率为0.3+0.1=0.4W/m⋅K，
∴C不符合题意．
由表中数据知，温度每增加100℃，导热率就增加0.1W/m⋅K，
∴D符合题意．
故选：D．
利用表中数据分析和判断即可．
本题考查列表法表示函数和常量与变量，认真分析表中数据，提取正确信息是求解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当点P运动到点B处时，x=6，y=12，即AB=6，S△ABC=12AD⋅AB=12，
∴AD=4，
∴BC=4，DC=6，
当点P在AB上运动时，S△ADP=12AD⋅AP=8，
∴AP=4，
∴x=4，
当点P在DC上运动时，S△ADP=12AD⋅DP=8，
∴DP=4，
∴x=6+4+6−4=12，
故选：B．
根据图象求出AB和AD，再分析当点P在AB上运动时，当点P在DC上运动时的S△ADP的高为4，据此求出x的值即可．
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
11.【答案】8
【解析】解：原式=9−1
=8．
故答案为：8．
根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则计算即可．
本题考查负整数指数幂和零指数幂，掌握其运算法则是本题的关键．
12.【答案】50°
【解析】解：设这个角的度数为x，则这个角的补角为3x−20，根据题意得：x+3x−20=180，
解得：x=50，
即这个角的度数为50°．
故答案为：50°．
设这个角的度数为x，则这个角的补角为3x−20，根据补角的定义列方程计算即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握补角的定义，是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：(x2+mx+8)(x2−3x+n)
=x4−3x3+nx2+mx3−3mx2+mnx+8x2−24x+8n
=x4+(m−3)x3+(n−3m+8)x2+(mn−24)x+8n，
∵乘积中不含x2和x3的项，
∴m−3=0，n−3m+8=0，
∴m=3，n=1，
∴m+n=3+1=4，
故答案为：4．
先根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据乘积中不含x2和x3的项，即可求出答案．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则以及多项式不含某一项的意义是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：设图1中正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，
由题意可知，a+b=8，
∵S阴影部分=S正方形ABCD+S正方形BEFG−S△ADH−S△EFH
=a2+b2−12×a+b2×(a+b)=19，而a+b=8，
∴a2+b2=35=(a+b)2−2ab，
∴ab=292，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab
=64−58
=6，
由于图2中阴影部分是边长为a−b的正方形，因此阴影部分的面积为(a−b)2，
因此阴影部分的面积为6．
故答案为：6．
设图1中正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，根据图1各个部分面积之间的关系可得a+b=8，a2+b2=19，进而求出(a−b)2即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
15.【答案】7或15
【解析】解：∵CD为AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵CF=AB，
∴当CE=AC时，△CFE≌△ABC(SAS)，
∴CE=AC=22cm，
∴BE=CE−BC=22−8=14(cm)或BE=CE+BC=22+8=30(cm)，
∴t=142=7(s)或t=302=15(s)，
即当t=7或15秒时，能使△ABC与以点C、F、E为顶点的三角形全等．
故答案为：7或15．
先证明∠A=∠BCD，由于CF=AB，再根据直角三角形的判定方法，当CE=AC时，△CFE≌△ABC，所以CE=AC=22cm，然后利用BE=CE−BC=14cm或BE=CE+BC=30cm可计算出对应的时间．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
16.【答案】解：(2−a)(2+a)−2a(a+3)+3a2
=4−a2−2a2−6a+3a2
=4−6a，
当a=−13时，原式=4−6×(−13)
=4+2
=6．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，直线EF即为所求；
(2)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC=36°，
∵EF//BD，
∴∠AFE=∠ABD=36°，
∴∠BFE=180°−36°=144°．
【解析】(1)作∠DEF=∠BDC即可；
(2)利用角平分线的定义，平行线的性质求解．
本题考查作图−复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】8或−2 9
【解析】解：(1)∵x2+2(m−3)x+25是完全平方式，
∴2(m−3)x=±2⋅x⋅5，
∴2(m−3)=±10，
∴m=8或−2；
x2−6x+n=x2−2⋅x⋅3+32，
∵x2−6x+n(n为常数)是完全平方式，
∴n=32=9．
故答案为：8或−2，9；
(2)(2x−a)2=4x2−4ax+a2，
∵(2x−a)2=4x+bx+16，
∴a2=16，b=−4a，
∴a=±4，
∴b=−16或16．
(1)根据完全平方式得出2(m−3)x=±2⋅x⋅5和n=32=9，再求出m和n即可；
(2)先根据完全平方公式展开得出(2x−a)2=4x2−4ax+a2，根据(2x−a)2=4x+bx+16得出a2=16，b=−4a，求出a的值，再求出b即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式(完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个)是解此题的关键．
19.【答案】12
【解析】解：(1)∵AF为△ABC的高，△ABD的面积是24，AF=8，
∴12BD×AF=24，
即12×BD×8=24，
∴BD=6，
∵AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD=12，
故答案为：12．
(2)∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠BAD+∠ABE，
∵∠BED=50°，∠BAD=30°，
∴∠ABE=∠BED−∠BAD=50°−30°=20°，
∵BE为△ABD的角平分线，
∴∠ABD=2∠ABE=40°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°−∠ABD=50°，
∴∠DAF=∠BAF−∠BAD=50°−30°=20°．
(1)根据△ABD的面积是24得1/2BD×AF=24，进而得BD=6，再根据AD为△ABC的中线可得BC的长；
(1)先根据三角形外角定理得∠ABE=∠BED−∠BAD=20°，进而根据角平分线定义得∠ABD=2∠ABE=40°，然后在Rt△ABF中可求出∠BAF=50°，继而可得∠DAF的度数．
此题主要考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角定理和外角定理，理解三角形的中线、高和角平分线，熟练掌握三角形的内角定理和外角定理是解决问题的关键．
20.【答案】D 70°
【解析】(1)解：正确的顺序应是：
②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；
④记下直杆与地面的夹角∠ABO；
③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO；
①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．
故答案为：D；
(2)解：在△ABO和△DCO中，
∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOAB=DC，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，
∴∠ABO=∠DCO，
∵∠ODC=20°，
∴∠DCO=70°，
∴∠ABO=70°；
故答案为：70°；
(3)证明：由(2)知，在△ABO和△DCO中，
∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOAB=DC，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，
∴OA=OD．
即测量OD的长度，就等于OA的长度，即点A的高度．
(1)根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO，标记直杆的底端点D，测量OD的长度”的顺序，从新排列“解决过程”，即得；
(2)根据AAS判定△ABO和△DCO全等，得到∠ABO=∠DCO，进一步解答即可；
(3)根据判定△ABO≌△DCO的合理性说明他们作法的正确性．
本题主要考查了实践操作题——利用全等三角形原理测长度，解决问题的关键是熟练掌握AAS判定三角形全等的方法．
21.【答案】1000 2503 3
【解析】解：(1)由x=0时，y=1000知，郑州到上海两地相距1000千米，
由x=3时，y=0知，两车出发后3小时相遇，
普通列车的速度是100012=2503(千米/时)，
故答案为：1000，2503，3；
(2)∵10003−2503=250(千米/时)，
∴高铁的速度为250千米/时；
(3)∵t=1000250=4(小时)，
∴4×2503=10003(千米)，
∴1000−10003=20003(千米)，
∴此时普通列车还需行驶20003千米到达郑州．
(1)由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案；
(2)由速度和减去普通列车的速度可得答案；
(3)先求出t小时普通列车行驶的路程，继而可得答案．
本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键．
22.【答案】△ACE BD=CE
【解析】解：(1)∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
故答案为：△ACE；BD=CE；
(2)解：BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是BD⊥CE；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，
∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ABC=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴BD⊥CE；
(3)∵△MNP是等腰直角三角形，
∴∠MNP=∠NPM=45°，
将△OPM绕M点顺时针旋转90°得△O′P′M(N与P′重合)，
连接OO′，
∴△PMO≌△P′MO′，
∴MO=MO′，OP=O′P′，
∴∠O′MO=45°，
当OP有最小，即O′P′最小，即垂线段最短，当O′P′⊥y轴时，O′P′最小，
由∠O′OP′=45°，∠O′P′O=90°，
∴O′P′=OM=4，ON=OP′=4，
∴ON=4，OP最小值为4．
(1)由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，根据SAS可得△ABD≌△ACE，则可得出结论；
(2)由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可证△ABD≌△ACE(SAS)，有BD=CE，∠ACE=∠ABC，而△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，知∠ABC=∠ACB=45°，故∠ACE=∠ABC=45°，即可得∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，BD⊥CE；
(3)证明∠O′MO=45°，当OP有最小，即O′P′最小，即垂线段最短，当O′P′⊥y轴时，O′P′最小，则可得出答案．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．读书、写字、看书姿势要端正.一般人正常的阅读角度约为俯角(如图视线BC与水平线BA的夹角∠ABC)40°.在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸.书本与课桌的角度要保持在25°至40°．
温度T℃)
…
100
150
200
250
…
导热率K(W/m⋅K)
…
0.15
0.2
0.25
0.3
…
项目课题
探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出
墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程
①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度.②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO；④记下直杆与地面的夹角∠ABO；
项目数据
…
1.下列运算正确的是( )
A. (x−y)2=x2−y2B. x6÷x2=x3
C. (x2)3=x5D. x2⋅x3=x5
2.今年4月份，月季花在郑州环线、京广、中州大道、陇海等高架桥上盛开，绚丽满城，成为郑州一道亮丽的风景线.若月季花的花粉粒的直径约为0.000000035m，将0.000000035用科学记数法表示应为( )
A. 0.35×10−7B. 3.5×10−8C. 3.5×10−9D. 35×10−9
3.下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，AD为∠BAC的平分线，添加下列条件后，不能证明△ABD≌△ACD的是( )
A. ∠B=∠C
B. ∠BDA=∠CDA
C. BD=CD
D. AB=AC
5.一副三角板按如图放置，其中∠CAB=∠DAE=90°，∠B=45°，∠D=30°，若AC//ED，则下列角与∠4互余的是( )
A. ∠1B. ∠2C. ∠3D. ∠C
6.如图，已知△ABC，尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF，请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF的理论依据是( )
A. SASB. AASC. ASAD. SSS
7.等腰三角形的两边分别为3和6，则这个三角形的周长是( )
A. 9B. 12C. 15D. 12或15
8.请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如图，桌面和水平面平行，CD与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度∠BCD可能为以下哪个角度( )
A. 55°B. 60°C. 73°D. 86°
9.我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一一纳米气凝胶，该材料导热率K(W/m⋅K)与温度T(℃)的关系如表.根据表格中的数据对应关系，下列选项描述不正确的是( )
A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率
B. 在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高
C. 当温度为350℃时，该材料导热率为0.4W/m⋅K
D. 温度每升高增高10℃该材料导热率增加0.1Wm⋅K
10.如图1，在长方形ABCD中，动点P从点A出发，沿AB−BC−CD运动，至点D处停止.点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当y=8时，对应的x的值是( )
A. 4B. 4或12C. 4或16D. 5或12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−13)−2−(π−2024)0= ______．
12.一个角的补角比这个角的3倍小20°，则这个角的度数是 ．
13.已知多项式(x2+mx+8)和(x2−3x+n)的乘积中不含x2和x3的项，则m+n的值为______．
14.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图1的阴影部分面积为19.则图2的阴影部分面积为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm，AC=22cm，CD为AB边上的高，直线CD上一点F满足CF=AB，点E从点B出发在直线BC上以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，当t= ______秒时，能使△ABC与以点C、F、E为顶点的三角形全等．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
先化简，再求值：(2−a)(2+a)−2a(a+3)+3a2，其中a=−13．
17.(本小题7分)
如图，在△ABC中，BD是角平分线，点E是AC上一点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点E作BD的平行线EF，交AB于点F(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，若∠ABC=72°，求∠BFE的度数．
18.(本小题8分)
当k取何值时，100x2−kxy+49y2是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2的结构特征.因为，100x2−kxy+49y2是一个完全平方式，故将100x2−kxy+49y2写成(10x)2±140xy+(7y)2根据多项式对应项的系数相等，得到k=±140．
(1)若x2+2(m−3)x+25是完全平方式，则m的值为______；
若x2−6x+n(n为常数)是完全平方式，则n的值为______；
(2)已知：(2x−a)2=4x+bx+16，请求出b的值．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD、AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．
(1)若△ABD的面积是24，AF=8则BC的长是______；
(2)若∠BED=50°，∠BAD=30°，求∠DAF的度数．
20.(本小题8分)
下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是______；
A.②→③→①→④
B.③→④→①→②
C.①→②→④→③
D.②→④→③→①
(2)若∠ODC=20°，则∠ABO= ______；
(3)请你说明他们作法的正确性．
21.(本小题8分)
郑州被称为全国著名的“铁路心脏”，铁路为人们的出行提供了便利.五一期间，一列高铁从郑州开往上海，一列普通列车从上海开往郑州，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x(小时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象进行以下探究：
【信息读取】：
(1)郑州到上海两地相距______千米，普通列车的速度是______千米/小时，高铁和普通列车行驶______小时后相遇；
【解决问题】：
(2)求高铁的速度；
(3)普通列车行驶t小时后，高铁到达终点上海，求此时普通列车还需行驶多少千米到达郑州？
22.(本小题10分)
【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
【初步把握】如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有△ABD≌______；线段BD和CE的数量关系是______；
【深入研究】如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图3，直线l1⊥l2，垂足为点O，l2上有一点M在点O右侧且OM=4，点N是l1上一个动点，连接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，连接OP.请直接写出线段OP的最小值及此时ON的长度．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、(x−y)2=x2−2xy+y2，故A不符合题意；
B、x6÷x2=x4，故B不符合题意；
C、(x2)3=x6，故C不符合题意；
D、x2⋅x3=x5，故D符合题意；
故选：D．
利用完全平方公式，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2.【答案】B
【解析】解：0.000000035=3.8×10−8．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】】解：A.AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
B.AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
C.AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D.AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
故选：A．
根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答即可．
本题考查了点到直线的距离的定义，熟知相关的定义是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、由∠B=∠C∠BAD=∠CADAD=AD，可得到△ABD≌△ACD，所以A选项不正确；
B、由∠BDA=∠CDAAD=AD∠BAD=∠CAD，可得到△ABD≌△ACD，所以B选项不正确；
C、由BD=CD，AD=AD，∠BAD=∠CAD，不能得到△ABD≌△ACD，所以C选项正确．
D、由AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，可得到△ABD≌△ACD，所以D选项不正确；
故选：C．
根据“AAS”对A进行判断；根据“ASA”对B进行判断；根据“SSA”对C进行判断；根据“SAS”对D进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠CAB=∠DAE=90°，∠B=45°，∠D=30°，
∴∠C=90°−45°=45°，∠E=90°−30°=60°，
∵AC//ED，
∴∠1=∠E=60°，∠4=∠C=45°，
∴∠2=90°−60°=30°，
∵∠3+∠2=∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠1=60°，
∴与∠4互余的角是∠C．
故选：D．
求出∠C=90°−45°=45°，∠E=90°−30°=60°，由平行线的性质推出∠1=∠E=60°，∠4=∠C=45°，得到∠2=90°−60°=30°，由余角的性质推出∠3=∠1=60°，即可得到与∠4互余的角．
本题考查平行线的性质，余角和补角，关键是由平行线的性质推出∠1=∠E=60°，∠4=∠C=45°．
6.【答案】A
【解析】解：由作图可知，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，故△ABC≌△DEF(SAS)．
故选：A．
根据SAS判定三角形全等．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息．
7.【答案】C
【解析】解：若3为腰长，6为底边长，
∵3+3=6，
∴腰长不能为3，底边长不能为6，
∴腰长为6，底边长为3，
∴周长=6+6+3=15．
故选：C．
首先根据三角形的三边关系推出腰长为6，底边长为3，即可推出周长．
本题主要考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，关键在于推出腰长和底边的长．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得AB//CD，∠ABC=40°，25°<∠EDC<40°，
∴∠BCF=∠ABC=40°，
过C作CF//AB，如图，
∴CF//ED，
∴∠DCF=∠EDC，
∴25°<∠DCF<40°，
∴25°+40°<∠DCF+∠BCF<40°+40°，
∴65°<∠BCD<80°．
故选：C．
过C作CF//AB，由平行线的性质得∠DCF=∠EDC，∠BCF=∠ABC=40°，由30°<∠DCF<45°，可得70°<∠BCD<85°，即可得到结论．
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵导热率随温度的变化而变化，
∴在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率，
∴A不合题意．
由表中数据知：在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高，
∴B不合题意．
由表中数据知，温度每增加100℃，导热率就增加0.1W/m⋅K，
∴当温度为350℃时，该材料导热率为0.3+0.1=0.4W/m⋅K，
∴C不符合题意．
由表中数据知，温度每增加100℃，导热率就增加0.1W/m⋅K，
∴D符合题意．
故选：D．
利用表中数据分析和判断即可．
本题考查列表法表示函数和常量与变量，认真分析表中数据，提取正确信息是求解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当点P运动到点B处时，x=6，y=12，即AB=6，S△ABC=12AD⋅AB=12，
∴AD=4，
∴BC=4，DC=6，
当点P在AB上运动时，S△ADP=12AD⋅AP=8，
∴AP=4，
∴x=4，
当点P在DC上运动时，S△ADP=12AD⋅DP=8，
∴DP=4，
∴x=6+4+6−4=12，
故选：B．
根据图象求出AB和AD，再分析当点P在AB上运动时，当点P在DC上运动时的S△ADP的高为4，据此求出x的值即可．
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
11.【答案】8
【解析】解：原式=9−1
=8．
故答案为：8．
根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则计算即可．
本题考查负整数指数幂和零指数幂，掌握其运算法则是本题的关键．
12.【答案】50°
【解析】解：设这个角的度数为x，则这个角的补角为3x−20，根据题意得：x+3x−20=180，
解得：x=50，
即这个角的度数为50°．
故答案为：50°．
设这个角的度数为x，则这个角的补角为3x−20，根据补角的定义列方程计算即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握补角的定义，是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：(x2+mx+8)(x2−3x+n)
=x4−3x3+nx2+mx3−3mx2+mnx+8x2−24x+8n
=x4+(m−3)x3+(n−3m+8)x2+(mn−24)x+8n，
∵乘积中不含x2和x3的项，
∴m−3=0，n−3m+8=0，
∴m=3，n=1，
∴m+n=3+1=4，
故答案为：4．
先根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据乘积中不含x2和x3的项，即可求出答案．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则以及多项式不含某一项的意义是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：设图1中正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，
由题意可知，a+b=8，
∵S阴影部分=S正方形ABCD+S正方形BEFG−S△ADH−S△EFH
=a2+b2−12×a+b2×(a+b)=19，而a+b=8，
∴a2+b2=35=(a+b)2−2ab，
∴ab=292，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab
=64−58
=6，
由于图2中阴影部分是边长为a−b的正方形，因此阴影部分的面积为(a−b)2，
因此阴影部分的面积为6．
故答案为：6．
设图1中正方形ABCD的边长为a，正方形BEFG的边长为b，根据图1各个部分面积之间的关系可得a+b=8，a2+b2=19，进而求出(a−b)2即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
15.【答案】7或15
【解析】解：∵CD为AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，∠DBC+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵CF=AB，
∴当CE=AC时，△CFE≌△ABC(SAS)，
∴CE=AC=22cm，
∴BE=CE−BC=22−8=14(cm)或BE=CE+BC=22+8=30(cm)，
∴t=142=7(s)或t=302=15(s)，
即当t=7或15秒时，能使△ABC与以点C、F、E为顶点的三角形全等．
故答案为：7或15．
先证明∠A=∠BCD，由于CF=AB，再根据直角三角形的判定方法，当CE=AC时，△CFE≌△ABC，所以CE=AC=22cm，然后利用BE=CE−BC=14cm或BE=CE+BC=30cm可计算出对应的时间．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
16.【答案】解：(2−a)(2+a)−2a(a+3)+3a2
=4−a2−2a2−6a+3a2
=4−6a，
当a=−13时，原式=4−6×(−13)
=4+2
=6．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，直线EF即为所求；
(2)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC=36°，
∵EF//BD，
∴∠AFE=∠ABD=36°，
∴∠BFE=180°−36°=144°．
【解析】(1)作∠DEF=∠BDC即可；
(2)利用角平分线的定义，平行线的性质求解．
本题考查作图−复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】8或−2 9
【解析】解：(1)∵x2+2(m−3)x+25是完全平方式，
∴2(m−3)x=±2⋅x⋅5，
∴2(m−3)=±10，
∴m=8或−2；
x2−6x+n=x2−2⋅x⋅3+32，
∵x2−6x+n(n为常数)是完全平方式，
∴n=32=9．
故答案为：8或−2，9；
(2)(2x−a)2=4x2−4ax+a2，
∵(2x−a)2=4x+bx+16，
∴a2=16，b=−4a，
∴a=±4，
∴b=−16或16．
(1)根据完全平方式得出2(m−3)x=±2⋅x⋅5和n=32=9，再求出m和n即可；
(2)先根据完全平方公式展开得出(2x−a)2=4x2−4ax+a2，根据(2x−a)2=4x+bx+16得出a2=16，b=−4a，求出a的值，再求出b即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式(完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个)是解此题的关键．
19.【答案】12
【解析】解：(1)∵AF为△ABC的高，△ABD的面积是24，AF=8，
∴12BD×AF=24，
即12×BD×8=24，
∴BD=6，
∵AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD=12，
故答案为：12．
(2)∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠BAD+∠ABE，
∵∠BED=50°，∠BAD=30°，
∴∠ABE=∠BED−∠BAD=50°−30°=20°，
∵BE为△ABD的角平分线，
∴∠ABD=2∠ABE=40°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°−∠ABD=50°，
∴∠DAF=∠BAF−∠BAD=50°−30°=20°．
(1)根据△ABD的面积是24得1/2BD×AF=24，进而得BD=6，再根据AD为△ABC的中线可得BC的长；
(1)先根据三角形外角定理得∠ABE=∠BED−∠BAD=20°，进而根据角平分线定义得∠ABD=2∠ABE=40°，然后在Rt△ABF中可求出∠BAF=50°，继而可得∠DAF的度数．
此题主要考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角定理和外角定理，理解三角形的中线、高和角平分线，熟练掌握三角形的内角定理和外角定理是解决问题的关键．
20.【答案】D 70°
【解析】(1)解：正确的顺序应是：
②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；
④记下直杆与地面的夹角∠ABO；
③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO；
①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．
故答案为：D；
(2)解：在△ABO和△DCO中，
∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOAB=DC，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，
∴∠ABO=∠DCO，
∵∠ODC=20°，
∴∠DCO=70°，
∴∠ABO=70°；
故答案为：70°；
(3)证明：由(2)知，在△ABO和△DCO中，
∠AOB=∠DOC∠ABO=∠DCOAB=DC，
∴△ABO≌△DCO(AAS)，
∴OA=OD．
即测量OD的长度，就等于OA的长度，即点A的高度．
(1)根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO，标记直杆的底端点D，测量OD的长度”的顺序，从新排列“解决过程”，即得；
(2)根据AAS判定△ABO和△DCO全等，得到∠ABO=∠DCO，进一步解答即可；
(3)根据判定△ABO≌△DCO的合理性说明他们作法的正确性．
本题主要考查了实践操作题——利用全等三角形原理测长度，解决问题的关键是熟练掌握AAS判定三角形全等的方法．
21.【答案】1000 2503 3
【解析】解：(1)由x=0时，y=1000知，郑州到上海两地相距1000千米，
由x=3时，y=0知，两车出发后3小时相遇，
普通列车的速度是100012=2503(千米/时)，
故答案为：1000，2503，3；
(2)∵10003−2503=250(千米/时)，
∴高铁的速度为250千米/时；
(3)∵t=1000250=4(小时)，
∴4×2503=10003(千米)，
∴1000−10003=20003(千米)，
∴此时普通列车还需行驶20003千米到达郑州．
(1)由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案；
(2)由速度和减去普通列车的速度可得答案；
(3)先求出t小时普通列车行驶的路程，继而可得答案．
本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键．
22.【答案】△ACE BD=CE
【解析】解：(1)∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
故答案为：△ACE；BD=CE；
(2)解：BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是BD⊥CE；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，
∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ABC=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴BD⊥CE；
(3)∵△MNP是等腰直角三角形，
∴∠MNP=∠NPM=45°，
将△OPM绕M点顺时针旋转90°得△O′P′M(N与P′重合)，
连接OO′，
∴△PMO≌△P′MO′，
∴MO=MO′，OP=O′P′，
∴∠O′MO=45°，
当OP有最小，即O′P′最小，即垂线段最短，当O′P′⊥y轴时，O′P′最小，
由∠O′OP′=45°，∠O′P′O=90°，
∴O′P′=OM=4，ON=OP′=4，
∴ON=4，OP最小值为4．
(1)由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，根据SAS可得△ABD≌△ACE，则可得出结论；
(2)由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可证△ABD≌△ACE(SAS)，有BD=CE，∠ACE=∠ABC，而△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，知∠ABC=∠ACB=45°，故∠ACE=∠ABC=45°，即可得∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，BD⊥CE；
(3)证明∠O′MO=45°，当OP有最小，即O′P′最小，即垂线段最短，当O′P′⊥y轴时，O′P′最小，则可得出答案．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．读书、写字、看书姿势要端正.一般人正常的阅读角度约为俯角(如图视线BC与水平线BA的夹角∠ABC)40°.在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸.书本与课桌的角度要保持在25°至40°．
温度T℃)
…
100
150
200
250
…
导热率K(W/m⋅K)
…
0.15
0.2
0.25
0.3
…
项目课题
探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出
墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程
①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度.②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO；④记下直杆与地面的夹角∠ABO；
项目数据
…
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