2023-2024学年浙江省丽水市缙云县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省丽水市缙云县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，分别从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件的布袋是( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
2.若函数y=3x2的图象经过点P(1,n)，则n的值为( )
A. 3B. 6C. 13D. 33
3.⊙O的半径为5cm，点A在⊙O外，则AO的长可以是( )
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
4.已知c是a和b的比例中项，a=2，b=18，则c=( )
A. ±6B. 6C. 4D. ±3
5.在直角△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=2，则sinA的值为( )
A. 53B. 52C. 23D. 2 55
6.如图，已知AB/​/CD/​/EF，AE=9，AC=6，BD=4，则BF的长是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
7.将函数y=−x2的图象用下列方法平移后，所得的图象经过A(1,−4)的是( )
A. 向上平移1个单位B. 向下平移2个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移2个单位
8.如图，AC，BC是⊙O的两条弦，点M，N分别是AC，BC的中点，连结OM，ON.若⊙O的半径是6，∠C=100°，则ACB的长是( )
A. 263πB. 163πC. 133πD. 83π
9.如图，在▱ABCD中，BE/​/DF，ED=EB，连结AC交DF于点G.若BF=2CF=6，则FG的长是( )
A. 94B. 2C. 32D. 1
10.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根是−1，函数y=ax2+bx+1的图象顶点在第二象限，设t=5a−4b，则t的取值范围是( )
A. t<−4B. t<−5C. t>−4D. t>−5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知ab=23，则a+bb=______．
12.在“石头、剪刀、布”的游戏中，两人做同样手势的概率是______．
13.半径为3cm，圆心角为45°的扇形面积是______cm2．
14.飞机着陆后滑行的距离s(米)与滑行时间t(秒)的关系满足s=−32t2+bt.当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是______秒.
15.如图，已知线段AB=13.①分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在⊙O上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD.当tanB=512时，△ACD的周长是______．
16.如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF=x，EF=y．
(1)当BE⊥AC，x=9，y=3时，AD的长是______；
(2)当BD=BF，2x=7y时，△DEF与△ABD的面积之比是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象如图所示．
(1)写出c的值；
(2)求出函数的表达式．
18.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，D是BC边上的一点，∠C=90°，BC=8，AB=4 5，BD=5，在AB上找一点E，连结DE，使△BDE与△ABC相似．
(1)请画出一种符合题意的图形；
(2)根据你画出的图形，计算BE的长度．
19.(本小题6分)
如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成.图2是其侧面结构示意图，面板AB固定在支撑轴端点C处，CD⊥AB，量得面板长AB=20cm，支撑轴长CD=15cm，AC=17cm，支撑轴CD与底座DE所成的角∠CDE=30°．
(1)求端点C到底座DE的高度；
(2)为了阅读舒适，将CD绕点D旋转后，点B恰好落在直线DE上，问：端点C离底座DE的高度降低了多少cm？(结果保留2位小数)
(参考数据： 3≈1.732，sin11.3°≈0.196，cs11.3°≈0.981，tan11.3°≈0.200)
20.(本小题8分)
将形状、大小完全相同，分别标有数字−2，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上.先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y．
(1)计算x+y的结果为0的概率；
(2)甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足xy>0，则甲胜；若x，y满足xy<0，则乙胜.这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则．
21.(本小题8分)
如图1，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形(如图2)，请根据下列信息解决问题．
(1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数；
(2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是16cm，小吴同学制作的圆形托盘半径是22cm，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？(图3中边长的数据为近似值，供选用)
22.(本小题10分)
在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE.F是线段AE上一点，BF的延长线交CD于点G．
(1)如图1，若AB=BC，且AE⊥BG．
求证：点G是CD的中点；
(2)如图2，若AB≠BC，当AF=kEF时，求CGCD的值(用含k的代数式表示)．
23.(本小题10分)
已知，二次函数y=x2+4mx+2m−3(m为常数)．
(1)若m=1，判断点P(−1,−4)是否在此函数的图象上；
(2)若此函数图象经过点(m2,2m−3)，求m的值；
(3)若此函数图象经过点M(a,c)，N(2m−4+a,c)，求证：c≤43．
24.(本小题12分)
小施在复习浙教版教材九上第97页第2题后，进行变式与探究：
等腰三角形ABC中，点O是底边BC上的动点，以O为圆心，OB为半径作圆，⊙O交AB于点D.已知sinB=45，BC=6．
(1)【基础变式】
如图1，当点O是BC中点时，⊙O交AC于点E，连结DE.求证：∠ADE=∠AED．
(2)【拓展探究】
如图2，作点C关于直线OD的对称点C′，射线OC′交⊙O于点F，连结BF，CC′，BC′．
①求OBBD的值；
②判断BF与OD的位置关系，并说明理由；
③当点O在什么位置时，点C′恰好落在AB的延长线上？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、①号布袋中的3个球全是白色的，所以从中随机摸出一个球，摸到红球属于不可能事件，故A不符合题意；
B、②号布袋中有1红色的和2个白色的球，所以从中随机摸出一个球，摸到红球属于随机事件，故B不符合题意；
C、③号布袋中有2红色的和1个白色的球，所以从中随机摸出一个球，摸到红球属于随机事件，故C不符合题意；
D、④号布袋中的3个球全是红色的，所以从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件，故D符合题意；
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由题意，∵函数y=3x2的图象经过点P(1,n)，
∴n=3×12=3．
故选：A．
依据题意，由函数y=3x2的图象经过点P(1,n)，从而可得n=3×12=3，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握能灵活运用是关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点A在⊙O外，
∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，
故选：D．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d4.【答案】A
【解析】解：根据比例中项的概念得：c2=ab=2×18，
即c2=36，
∴c=±6．
故选：A．
根据比例中项的概念可知c2=ab，将a和b的值代入即可求出答案．
本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b=b：c，即b2=ac，那么b叫做a与c的比例中项．
5.【答案】A
【解析】解：如图．
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC= AB2−AC2= 32−22= 5．
∴sinA=BCAB= 53．
故选：A．
如图，根据勾股定理，得BC= AB2−AC2= 32−22= 5.再根据锐角的正弦值的定义，求得sinA．
本题主要考查勾股定理、正弦值的定义，熟练掌握勾股定理、正弦值的定义是解决本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CD/​/EF，
∴AEAC=BFBD，
即96=BF4，
∴BF=6．
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理得到AEAC=BFBD，然后根据比例的性质求BF．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
7.【答案】C
【解析】解：A、平移后，得y=−x2+1，图象不经过(1,−4)点，故A不符合题意；
B、平移后，得y=−x2−2，图象不经过(1,−4)点，故B不符合题意；
C、平移后，得y=−(x+1)2，图象经过(1,−4)点，故C符合题意；
D、平移后，得y=(x−2)2图象不经过(1,−4)点，故D不符合题意；
故选：C．
根据平移规律，可得答案．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接OA，OC，OB，
∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴OM⊥AC，ON⊥BC，
∴∠AOM=∠COM，∠CON=∠BON，
∵∠C=100°，
∴∠MON=80°，
∴∠AOB=160°，
∴ACB的长是160π×6180=163π.
故选：B．
连接OA，OC，OB，根据垂径定理得OM⊥AC，ON⊥BC，所以∠AOM=∠COM，∠CON=∠BON，根据∠C=100°，求出∠MON=80°，所以∠AOB=160°，再根据弧长公式计算即可解决问题．
本题考查了垂径定理，弧长公式等知识，解决问题的关键是作辅助线，根据垂径定理求出圆心角的度数．
9.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD，
∴AD//BC，AD=BC，
又∵BE/​/DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵ED=EB，
∴四边形BEDF是菱形，
∴DF=BF=6，AD=BC=BF+CF=9，
∵AD/​/BC，
∴∠ADG=∠CFG，∠DAG=∠FCG，
∴△ADG∽△CFG，
∴DGFG=ADCF，即6−FGFG=93，
解得，FG=32，
故选：C．
证明四边形BEDF是菱形，则DF=BF=6，AD=BC=BF+CF=9，证明△ADG∽△CFG，则DGFG=ADCF，即6−FGFG=93，计算求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根是−1，
∴二次函数y=ax2+bx+1的图象过点(−1,0)，
∴a−b+1=0，
又∵t=5a−4b，
∴a=t+4，b=t+5．
∵函数y=ax2+bx+1的图象顶点在第二象限，且过点(−1,0)，
∴−b2a<0，图象开口向下，即a<0，
∴b<0，
∴t+4<0t+5<0，
解得t<−5．
故选：B．
由已知条件可得，二次函数y=ax2+bx+1的图象过点(−1,0)，即a−b+1=0，又t=5a−4b，可得a=t+4，b=t+5，结合图象可求得a<0，b<0，进而可求出t的取值范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
11.【答案】53
【解析】解：∵ab=23，
∴a+bb=2+33=53．
故答案为：53．
直接利用合比性质计算．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等)是解决问题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：两人做手势所有机会均等的结果有9种，其中的3个(石头，石头)、(剪刀，剪刀)，(布，布)是我们所关注的结果，所以P(同种手势)=39=13．
列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
13.【答案】98π
【解析】解：∵n=45°，r=3cm，
∴S=45π×32360=98π(cm2).
故答案为：98π.
根据扇形的面积S=nπr2360(n为圆心角度数，r是扇形所在圆的半径)，求解即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．
14.【答案】20
【解析】解：由题意，∵s=−32t2+bt，
又t=10s，s=450m，
∴450=−32×102+10b．
∴b=60．
∴函数关系式为s=−32t2+60t．
又s=−32t2+60t=−32(t2−40t+400)+600=−32(t−20)2+600，
∴当t=20时，飞机着陆后滑行600米停下．
故答案为：20．
依据题意，先求出b得出函数关系式，然后依据飞机停下时，此时飞机滑行距离最远，进而求解．
本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求得t=20时函数取得最大值，是本题解题的关键．
15.【答案】17
【解析】解：∵AB是直径；
∴∠C=90°；
∵tanB=512；
∴设AC=5x；
则BC=12x；
在Rt△ABC中，AB=13，由勾股定理得；
AC2+BC2=AB2；
即(5x)2+(12x)2=132；
解得：x=1；
∴AC=5，BC=12；
由题意得PQ是线段AB的线段垂直平分线；
∴AD=BD；
∴△ACD的周长=AC+AD+DC=AC+BD+DC=AC+BC=5+12=17；
故答案为：17．
根据直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，再由tanB=512结合勾股定理可求出AC和BC的长，再根据线段垂直平分线的性质得AD=BD即可求出△ACD的周长．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，圆周角定理，三角函数等知识，熟悉掌握相关的知识点是解题的关键．
16.【答案】5 14
【解析】解：(1)当BE⊥AC，x=9，y=3时，
得∠EFD=90°，AF=9，EF=3，
设AD=a，则DF=9−a，
由题意可得DE=AD=a，
∴在Rt△EFD中，由勾股定理可得，
DF2+EF2=DE2，
即(9−a)2+32=a2，
解得：a=5，
故AD=5；
(2)当BD=BF，2x=7y时；
∵BD=BF；
∴∠BDF=∠BFD，
又∵∠ADB=180°−∠BDF，
∠EFD=180°−∠BFD，
∴∠ADB=∠EFD，
由题意可得∠A=∠E，
∴△EDF∽△ABD，
∴ADEF=ABED=BDDF，
∵2x=7y，
∴xy=72，
∴AFEF=72，
∴设EF=2n，DF=mn，AF=7n，
则AD=ED=(7−m)n，
∴BF=BD=(7m−m2)n2，
∴AB=BE=(4+7m−m2)n2，
∴(7−m)n(4+7m−m2)n2=2n(7−m)n，
整理得：2m2−21m+45=0，
解得：m1=152(不符合题意，舍去)，
m2=3，
∴ED=4n，AB=8n，
∴S△DEFS△ABD=(EDAB)2=14，
故△DEF与△ABD的面积之比是：14．
(1)设AD=a，由勾股定理结合方程思想即可求出AD的长；
(2)证明△DEF∽△ABD，根据面积比等于相似比的平方即可求出面积之比．
本题主要考查勾股定理，相似三角形等知识，熟悉掌握相关的知识是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象经过点(0,3)；
∴将点(0,3)代入y=ax2+2x+c(a≠0)得；
c=3．
(2)设函数的表达式为y=ax2+2x+3(a≠0)；
∵函数图象经过点A(3,0)；
∴把点A(3,0)代入y=ax2+2x+3(a≠0)得；
a=−1；
∴函数的表达式为：y=−x2+2x+3．
【解析】(1)将点(0,3)代入y=ax2+2x+c(a≠0)即可求出c；
(2)把点A(3,0)代入y=ax2+2x+3(a≠0)即可求出函数表达式．
本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，△BDE与△ABC相似，

(2)∵DE⊥BC，∠C=90°，
∴∠BDE=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴BDBC=BEAB，
∴58=BE4 5，
解得BE=52 5．
【解析】(1)过D作DE⊥BC交AB于点E，则△BDE与△ABC相似．
(2)证明△BDE∽△BCA，利用相似三角形的性质即可得解．
本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图设点C到底座DE的高度为h cm；

∵∠CDE=30°，CD=15cm；
∴h=12CD=152cm；
∴端点C到底座DE的高度为：152cm．
(2)如图为旋转后的图形；

∵AB=20cm，AC=17cm；
∴BC=AB−AC=3cm；
∵CD⊥AB，CD=15cm；
在Rt△DCB中；
tan∠CDB=BCCD=0.2；
∵tan11.3°≈0.200；
∴∠CDB=11.3°；
∴旋转后端点C离底座DE的高度=CDsin11.3°=15×0.196=2.94cm；
∴端点C离底座DE的高度降低了152−2.94=4.56cm．
【解析】(1)利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求得C到DE的高度；
(2)利用三角函数值求出旋转后点C离底座DE的高度，即可求出降低了多少．
本题主要考查含30°的直角三角形的性质，勾股定理，三角函数值求高等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)画树状图为：
，
共有12种等可能的结果，其中x+y的结果为0的结果数为2种，
所以x+y的结果为0的概率=212=16；
(2)由(1)得共有12种等可能的结果，其中xy>0的结果为0的结果数为2种，所以甲胜的概率=212=16；
xy<0的结果为0的结果数为4种，所以乙胜的概率=412=13，、
因为16<13，
所以这个游戏规则不公平．
公平的游戏规则可为：若x，y满足xy=0，则甲胜；若x，y满足xy≠0，则乙胜．
【解析】(1)画树状图展示所有12种等可能的结果，找出x+y的结果为0的结果数，然后根据概率公式求解；
(2)由(1)得共有12种等可能的结果，再值出xy>0的结果和xy<0的结果数为2种，则可计算出甲胜的概率=16，乙胜的概率=13，于是利用16<13可判断这个游戏规则不公平；若x，y满足xy=0，则甲胜；若x，y满足xy≠0，则乙胜，此时游戏规则公平．
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
21.【答案】解：(1)正八边形的外角=360°8=45°，
∴正八边形的内角=180°−45°=135°．
(2)如图2中，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H．

∵OA=OB，OH⊥AB，
∴AH=BH=8(cm)，∠AOH=∠BOH=22.5°，
由题意AHOH=，
∴OH≈19.6cm，
∵16<19.6，
∴这个托盘是否适用于此八角花盆．
【解析】(1)求出正八边形的外角，可得结论；
(2)求出正八边形的边心距，可得结论．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠CBG+∠ABF=∠C=90°，
∵AE⊥BG，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠BAE=∠CBG，
∴△ABE≌△CBG(ASA)，
∴BE=CG，
∵点E是BC的中点，
∴CG=BE=12BC=12CD，
∴点G是CD的中点；
(2)解：延长BG交AD的延长线于点H，

∵AF=kEF，
∴AFEF=k，
∵四边形ABCD是矩形，点E是BC的中点，
∴AD=BC=2BE，AD//BC，
∴∠H=∠EBF，∠HAF=∠BEF，
∴△HAF∽△BEF，
∴AHBE=AFEF=k即DH+2BEBE=AFEF=k，
∴DHBE=k−2，
∴DHBC=DH2BE=k−22，
同理可证：△HDG∽△BCG，
∴DGCG=DHBC=k−22，
∴CGCD=2k．
【解析】(1)证矩形ABCD是正方形，得AB=BC=CD，∠ABE=∠CBG+∠ABF=∠C=90°，再证△ABE≌△CBG，得BE=CG，结合中点及正方形的性质即可得证；
(2)延长BG交AD的延长线于点H，由AF=kEF，得AFEF=k，证明△HAF∽△BEF，得AHBE=AFEF=k即DH+2BEBE=AFEF=k，从而DHBC=DH2BE=k−22，同理△HDG∽△BCG，利用相似三角形的性质即可得解．
本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
23.【答案】(1)解：若m=1，则二次函数为y=x2+4x−1，
当x=−1时，y=(−1)2+4×(−1)−1=−4，
∴点P(−1,−4)在此函数的图象上；
(2)解：∵此函数图象经过点(m2,2m−3)，
∴2m−3=m4+4m3+2m−3，
∴m4+4m3=0，
解得m=0或m=−4．
(3)证明：∵此函数图象经过点M(a,c)，N(2m−4+a,c)，
∴a+2m−4+a2=−4m2，即a+m−2=−2m，
∴a=2−3m，
∴N(−2−m,c)，
∴c=(−2−m)2+4m(−2−m)+2m−3=−3m2−2m+1=−3(m+13)2+43，
∴c≤43．
【解析】(1)求得x=−1时的函数值即可判断；
(2)把点(m2,2m−3)代入解析式，然后解方程即可；
(3)利用抛物线的对称性得出a+2m−4+a2=−4m2，即a+m−2=−2m，求得a=2−3m，则N(−2−m,c)，代入抛物线的解析式即可得出c=−3(m+13)2+43≤43．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的对称性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵O是BC的中点，
∴点C在⊙O上，
∴四边形BCED为圆内接四边形，
∴∠BDE+∠ACB=180°，∠DEC+∠ABC=180°，
∴∠BDE=∠DEC，
∵∠ADE+∠BDE=180°，∠DEC+∠AED=180°，
∴∠ADE=∠AED；
(2)解：①过O作OM⊥BD于M，如图：

∴BM=DM
∵sin∠ABC=45，
∴cs∠ABC=35，即BMOB=35，
∴OBBD=OB2BM=56；
②BF//OD，
理由：由轴对称的性质可知，∠COD=∠DOF，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠COD=2∠OBD，∠BOD=180°−2∠OBD，
∴∠BOF=∠DOF−∠BDO=2∠OBD−(180°−2∠OBD)=4∠OBD−180°，
∵OB=OF，
∴∠OBF=180°−∠BOF2=180°−2∠OBD=∠BOD，
∴BF//OD；
③连接CD，过D作DN⊥BC于N，如图：

设OB=OD=x，则OC=6−x，
由①知，BD=65x，BM=DM=35x，
∴OM=45x，
∵DN⊥BN，sin∠ABC=45，
∴BN=1825x，DN=2425x，
∴CN=BC−BN=6−1825x，
由对称的性质可知，△COD≌△C′OD，
∴△COD和△C′OD面积相等，
即OC⋅DN=C′D⋅OM，
∵C′D=CD，
∴OC⋅DN=CD⋅OM，
∴CD=OC⋅DNOM=65(6−x)，
在Rt△CDN中，CD2=DN2+CN2，
即3625(6−x)2=(2425x)2+(6−1825x)2，
解得：x=116，
∴O在距离B点116的位置．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，再根据内接四边形的性质求出∠BDE和∠CED的关系，从而求出∠ADE和∠AED的关系；
(2)①过O作BD垂线，根据垂径定理以及三角函数的定义求解即可；
②根据对称的性质得出∠COD和∠DOF的关系，再根据三角形外角的性质得出∠OBF和∠BOD的关系，最后根据平行线的判定求解即可；
③连接CD，过D作BC的垂线，设OB=OD=x，根据①表示出BD以及垂线的长度，在根据∠ABC的正弦值表示出D到BC垂线的长度，根据勾股定理表示出CD，根据对称的性质，CD=C′D，OC=OC′，根据勾股定理列出一元二次方程求解OB的长度即可．
本题主要考查了圆的综合题，合理运用等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理、锐角三角函数的定义、勾股定理以及轴对称的性质是本题解题的关键．小刚
小强
石头
剪刀
布
石头
(石，石)
(石，剪)
(石，布)
剪刀
(剪，石)
(剪，剪)
(剪布)
布
(布，石)
(布，剪)
(布，布)