2023-2024学年广东省潮州市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省潮州市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式是二次根式的是( )
A. −3B. 2C. 33D. 3−π
2.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是( )
A. 3、4、5B. 2、2、3C. 2、1、 2D. 6、12、13
3.下列计算正确的是( )
A. 2 3+3 2=5 5B. 8=4 2
C. 27÷ 3=3D. (−5)2=−5
4.如图，下面能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD，AD//BC
B. ∠A=∠B，∠C=∠D
C. AB=CD，AB/​/CD
D. AB=CD，AD=BC
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，若AC=1，AB=2，则BC的长是( )
A. 1
B. 3
C. 2
D. 5
6.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为( )
A. 3B. 4C. 4 3D. 5
7.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的面积分别是9、16、1、9，则最大的正方形E的面积是( )
A. 47B. 39C. 35D. 25
8.下列命题的逆命题不成立的是( )
A. 两条直线平行，内错角相等
B. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
C. 全等三角形的对应边相等
D. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
9.如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S= p(p−a)(p−b)(p−c).这个公式称为海伦−秦九韶公式，在△ABC中，AB=4，BC=9，AC=11，则△ABC的面积是( )
A. 12B. 12 2C. 24D. 24 2
10.如图，在长方形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，且AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上.以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为( )
A. 2B. 4C. 4或65D. 2或125
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若式子 2−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.菱形的两条对角线长分别是8cm和10cm，则菱形的面积是______cm2．
13.如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形ABC空地上围一个四边形花坛BCFE，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得BC=16米，则EF的长是______米.
14.当a= 2+1，b= 2−1时，代数式a2−2ab+b2a2−b2的值是______．
15.如图，已知△ABC的三边长为别为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积为______．
16.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，P、Q分别为AC、AD上的动点，连接DP、PQ，则DP+PQ的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.先化简，再求值：(1−1x+2)÷x2−1x+2，其中x= 3+1．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
计算： 12+ 3− 12× 12+ 18+ 3．
19.(本小题5分)
如图，学校有一块长方形花圃，且∠A=90°，极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”EF，为此也踩伤了嫩绿的小草.已知AE=5m，AF=12m，请问他们仅仅少走了多少米？
20.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是OB、OD的中点，
求证：AE/​/CF．
21.(本小题8分)
如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P、Q分别是BG，CG的中点．
(1)求证：四边形EFPQ是平行四边形；
(2)请写出BG与GE的数量关系，并说明理由．
22.(本小题8分)
在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2 2=2+2 2+1=( 2)2+2 2+1=( 2+1)2；
5+2 6=2+2 2×3+3=( 2)2+2× 2× 3+(ㅤㅤ)2=( 2+ 3)2；
(1)请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2 3；
②6+4 2；
(2)若a+4 3=(m+n 3)21且a，m，n都是正整数，试求a的值．
23.(本小题10分)
如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区.已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案．

甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区(接缝忽略不计)．
(1)请判断此平面图形△ABC的形状(要求写出推理过程)；
(2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明．
24.(本小题12分)
(1)【教材改编】如图1，四边形ABCD是正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF．
(2)【类比探究】如图2，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的任意一点，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P.求证：AE=EP．
(3)【知识迁移】在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请在图3画出图形并给予证明：若不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，AB/​/OC，A(0,12)，B(a,c)，C(b,0)，并且a，b满足b= a−21+ 21−a+16.一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B移动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒)．
(1)a= ______，B的坐标______；C的坐标______(直接写出答案)；
(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
(3)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、−3<0，故 −3无意义，故选项不符合题意；
B、符合二次根式，符合题意；
C、是三次根式，故选项不符合题意；
D、3−π<0，故 3−π无意义，故选项不符合题意．
故选：B．
二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即可判断．
本题考查了二次根式的定义： a是二次根式，必须有a≥0．
2.【答案】A
【解析】解：A、32+42=52，是直角三角形，符合题意；
B、22+22≠32，不是直角三角形，不符合题意；
C、( 2)2+12≠22，不是直角三角形，不符合题意．
D、122+62≠132，不是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
直角三角形三边的数量关系：斜边的平方等于两直角边的平方和，据此性质逐项依次判断即可解题．
本题考查直角三角形三边关系、勾股定理及其逆定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题根据．
3.【答案】C
【解析】解：A、 3与 2不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、 8=2 2，原计算错误，不符合题意；
C、 27÷ 3=3，正确，符合题意；
D、 (−5)2=5，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、四边形ABCD有可能是梯形，不一定是平行四边形，故A不符合题意；
B、由∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠B，∠C=∠D，得到∠A+∠D=180°，判定AB/​/CD，但不能判定AD//BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D、四边形ABCD的两组邻边相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意．
故选：C．
由平行四边形的判定方法，即可判断．
本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，AC=1，AB=2，
∴BC= AB2−AC2= 22−12= 3，
即BC的长是 3，
故选：B．
直接根据勾股定理列式计算即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，且BD=8，
∴OA=OB=OC=OD=BD2=4，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，OA=AB=4，
故选：B．
先由矩形的性质得出OA=OB，结合题意证明△AOB是等边三角形即可．
本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图：
由图可知：正方形G的面积等于A与B的面积之和，正方形F面积等于C与D的面积之和，正方形E的面积等于G与F的面积之和，
所以正方形E的面积等于A，B，C，D的面积之和，
即：正方形E的面积=9+16+1+9=35，
故选：C．
根据勾股定理分析出正方形之间的关系，代入数据进行计算即可．
本题考查勾股定理，正确记忆勾股定理的计算公式是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两条直线平行，逆命题成立，故A不符合题意；
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题成不立，故B符合题意；
全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，逆命题成立，故C不符合题意；
在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题是在角的内部，角的平分线上的点到角的两边距离，逆命题成立，故D不符合题意；
故选：B．
写出各命题的逆命题，再判断真假即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题，并能判定其真假．
9.【答案】B
【解析】解：∵AB=4，BC=9，AC=11，
∴p=4+9+112=12，
∴S△ABC= 12(12−4)(12−9)(12−11)=12 2，
故选：B．
代入公式，进行二次根式的化简即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质等知识点，分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≌△BQP，②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【解答】
解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB，AP=BQ时，
△APE≌△BQP，
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2(s)，
∴v的值为：4÷2=2；
②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≌△BQP，
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5(s)，
∴2.5v=6，
∴v=125．
故v的值为2或125．
故选D．
11.【答案】x≤2
【解析】解：∵式子 2−x在实数范围内有意义，
∴2−x≥0，解得x≤2，
故答案为：x≤2．
根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．
12.【答案】40
【解析】解：
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的面积为四个相等的三角形面积
即：4×12×82×102=40(cm2)，
故答案为40．
菱形性质知菱形的对角线互相垂直平分，再说明菱形的面积为四个相等的三角形面积而解得．
本题主要考查菱形的对角线互相垂直平分，从而说明对角线分成四个面积相等的直角三角形，而求得菱形面积．
13.【答案】8
【解析】解：∵点E、F分别是边AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12BC，
∵BC=16米，
∴EF=8米，
故答案为：8．
根据三角形的中位线定理计算即可．
本题考查了三角形的中位线定理，熟知：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14.【答案】 22
【解析】解：原式=(a−b)2(a+b)(a−b)
=a−ba+b
当a= 2+1，b= 2−1时，
原式= 2+1− 2+1 2+1+ 2−1=22 2= 22．
故答案为： 22．
先化简分式，然后将a、b的值代入计算．
本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
15.【答案】30
【解析】解：∵52+122=169=132，
∴△ABC是直角三角形，
由图可知，阴影部分的面积=12π(52)2+12π(122)2+12×5×12−12π(132)2，
=258π+1448π+30−1698π，
=30．
故答案为：30．
先利用勾股定理逆定理求出△ABC是直角三角形，再根据图形，阴影部分的面积等于两个小扇形的面积加上△ABC的面积减去大扇形的面积，然后列式计算即可得解．
本题考查了勾股定理，扇形的面积，观察图形，表示出阴影部分的面积是解题的关键．
16.【答案】245
【解析】解：如图作DM⊥AB于M．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=3，
∴AB= 32+42=5，
∵12⋅AB⋅DM=12⋅BD⋅AO，
∴DM=4×65=245，
作点Q关于直线AC的对称点Q′，则PQ=PQ′，
∴PD+PQ=PD+PQ′，
∴当D、P、Q′共线时，且垂直AB时，DP+PQ′的值最小，最小值=DM=245，
故答案为245．
如图作DM⊥AB于M.首先利用面积法求出DM的值，作点Q关于直线AC的对称点Q′，则PQ=PQ′，推出PD+PQ=PD+PQ′，推出当D、P、Q′共线时，且垂直AB时，DP+PQ′的值最小，最小值=DM；
本题考查轴对称−最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
17.【答案】解：原式=(x+2x+2−1x+2)×x+2(x−1)(x+1)
=x+1x+2×x+2(x−1)(x+1)
=1x−1，
当x= 3+1时，原式=1 3+1−1=1 3= 33．
【解析】首先计算括号里面的分式的减法，再计算括号外的除法，化简后，再代入x的值计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，关键是掌握分式的加、减、乘、除对应法则．
18.【答案】解： 12+ 3− 12× 12+ 18+ 3
=2 3+ 3− 6+3 2+ 3
=4 3− 6+3 2．
【解析】根据二次根式的混合计算顺序计算即可．
此题考查二次根式的混合计算，关键是根据二次根式的混合计算顺序计算．
19.【答案】解：在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2，AC=5，BC=12，
则EF= AE2+AF2=13(m)，
所以他们仅仅少走了AE+AF−EF=5+12−13=4(m)，
答：他们仅仅少走了4米．
【解析】根据勾股定理求得EF的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AE+AF)−EF．
本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题的关键．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE=12OB，OF=12OD，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE//CF．
【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，证得OA=OC，OB=OD，根据E，F分别是OB，OD的中点，证得OE=OF，证得四边形四边形AFCE是平行四边形得出结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键掌握平行四边形的性质．
21.【答案】(1)证明：∵P、Q分别是BG，CG的中点．
∴PQ为△GBC的中点，
∴PQ/​/BC，PQ=12BC，
∵BE、CF为△ABC的中线，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF/​/BC，EF=12BC
∴EF/​/PQ，EF=PQ，
∴四边形EFPQ是平行四边形；
(2)解：BG=2GE．
理由如下：
∵四边形EFPQ是平行四边形，
∴GP=GE，
而P为BG的中点，
∴BG=2PG，
∴BG=2GE．
【解析】(1)先根据三角形中位线性质得到PQ/​/BC，PQ=12BC，EF/​/BC，EF=12BC，所以EF//PQ，EF=PQ，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
(2)利用平行四边形的性质得GP=GE，再根据P为BG的中点得到BG=2PG，所以BG=2GE．
本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质．
22.【答案】解：(1)①4+2 3=3+2 3+1=( 3)2+2× 3+12=( 3+1)2；
②6+4 2=4+4 2+2=22+2×2× 2+( 2)2=(2+ 2)2；.
(2)a+4 3=(m+n 3)2，
∴a+4 3=m2+2 3mn+3n2，
∴a=m2+3n2，2 3mn=4 3，
∴mn=2，
∵m，n都是正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2；
当m=2，n=1时，a=22+3×12=7；
当m=1，n=2时，a=12+3×22=13，
即a的值是7或13．
【解析】(1)根据完全平方公式求出即可；
(2)先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．
本题考查了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，能熟记完全平方公式是解此题的关键，还培养了学生的阅读能力和计算能力．
23.【答案】解：(1)△ABC是直角三角形，理由如下：
由题意可知，BC=250m，AB=200m，AC=150m，
∵2002+1502=2502，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°；
(2)甲种方案所搭建的传送带较短，理由如下：
由(1)可知，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12AB⋅AC，
∴AD=AB⋅ACBC=200×150250=120(m)，
∴AD+DB+DC=AD+BC=120+250=370(m)，
∵AB+AC=200+150=350(m)<370m，
∴AB+AC∴甲种方案所搭建的传送带较短．
【解析】(1)证AB2+AC2=BC2，再由勾股定理的逆定理即可得出结论；
(2)由三角形面积求出AD=120m，再证AB+AC本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形形ABCD是正方形．
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC=AD，
∵点G、E分别为AB、BC的中点，

∴BE=CE=12BC，BG=AG=12AB，
∴AG=BG=BE=CE；
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∵CF是正方形外角的角平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
又∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FEC=∠BAE，
在△AGE和△ECP中，
∠EGA=∠PCEAG=EC∠BAE=∠FEC，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF；
(2)证明：如图，在AB上截取BN=BE，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
∴AN=EC，∠1−∠2=45°，
∴∠4=135°，
∵CP为正方形ABCD的外角平分线，
∴∠PCE=135°，
∴∠PCE=∠4，
∵∠AEP=90°，
∴∠BEA+∠3=90°．
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠3=∠BAE，
在△ANE和△ECP中，
∠ENA=∠PCEAN=CE∠NAE=∠3，
∴△ANE≌△ECP(ASA)．
∴AE=EP；
(3)解：存在点M使得四边形DMEP是平行四边形，理由如下：
过点D作DM//PE，交AE于点K，交AB于点M，连接ME、DP，

∴∠AKD=∠AEP=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADM+∠AMD=90°，∠MAK+∠AMD=90°，
∴∠ADM=∠MAK，
在△AMD和△BEA中，
∠MAD=∠BAD=AB∠ADM=∠BAE，
∴△AMD≌△BEA(ASA)，
∴DM=AE，
∴DM=PE，
∴四边形DMEP是平行四边形．
【解析】(1)证明△AGE≌△ECF，即可由全等三角形的性质得出结论；
(2)在AB上取BN=BE，连接EH，根据已知及正方形的性质利用SAS判定△HEM≌△ECP，即可由全等三角形的性质得出结论；
(3)先证△DAM≌△ABE，进而可得四边形DMEP是平行四边形．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形的判定等知识，此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．
25.【答案】解：(1)21，(21,12)，(16,0)；
(2)如图，
由题意得：AP=2t，QO=t，
则：PB=21−2t，QC=16−t，
∵当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形，
∴21−2t=16−t，
解得：t=5，
∴P(10,12)，Q(5,0)；
(3)当PQ=CQ时，过Q作QN⊥AB，则四边形AOQN是矩形，
∴AN=OQ=t，QN=OA=12，
∴PN=t，
由题意得：122+t2=(16−t)2，
解得：t=72；
当PQ=PC时，过P作PM⊥x轴，
由题意得：QM=2t−t=t，CM=16−2t，
则t=16−2t，
解得：t=163,
综上所述，当t为72或163时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形．
【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是注意分类讨论，不要漏解．
(1)根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；
(2)由题意得：QP=2t，QO=t，PB=21−2t，QC=16−t，根据平行四边形的性质可得21−2t=16−t，再解方程即可；
(3)①当PQ=CQ时，122+t2=(16−t)2，解方程得到t的值，再求P点坐标；②当PQ=PC时，由题意得：QM=t，CM=16−2t，进而得到方程t=16−2t，再解方程即可．
【解答】
解：(1)由b= a−21+ 21−a+16，
则a−21≥021−a≥0，
∴a=21b=16，
∵AB/​/OC，A(0,12)，B(a,c)，
∴c=12，
∴B(21,12)，C(16,0)；
(2)见答案；
(3)见答案．