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2024年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2024年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−1的绝对值是( )
A. −1B. 1C. 12D. −12
2.下列运算正确的是( )
A. 4a−a=4B. a4⋅a2=a6C. (−3ab2)2=6a2b4D. (−2a2)3=8a6
3.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是( )
A.
B.
C.
D.
5.分式方程xx−3=x+1x−1的解是( )
A. x=3B. x=−3C. x=2D. x=0
6.如图，在⊙O中，∠BAC=55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数( )
A. 55°
B. 110°
C. 70°
D. 140°
7.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. 200(1+x)2=242B. 200(1−x)2=242
C. 200(1+2x)=242D. 200(1−2x)=242
8.有6片形状大小完全一样的正方形，其中每个上面标有数字1，2，2，3，4，6，从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
9.如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC//DG//EF，点H为AF与DG的交点.若AC=12，则DH的长为( )
A. 1
B. 32
C. 2
D. 3
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=−1.若点A的坐标为(−4,0)，则下列结论正确的是( )
A. 2a+b=0
B. −4a−2b+c>0
C. x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
D. 点(x1,y1)，(x2,y2)在抛物线上，当x1>x2>−1时，y1二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.计算： 2− 8=______．
12.溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下CaCO3的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为______．
13.函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是______．
14.因式分解：ma2−6ma+9m= ______．
15.不等式组3x−2≥15−2x>1的解集为______．
16.如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B′处，CD与EB′交于点F，如果AB=8cm，AD=4cm，AE=2cm，则EF的长为______．
17.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x(其中k1⋅k2≠0)相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，过点B作BP//x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是______．
18.已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为______度.
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当∠ADQ=90°时，AQ的长为______．
20.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
先化简，再求值(1−3x+2)÷x2−1x+2的值，其中x=4sin45°−2cs60°．
22.(本小题7分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以线段AB为一边且面积为12的平行四边形ABCD(点C和点D均在小正方形的顶点上，画出一个即可)．
(2)在图2中画出以线段AB为腰，底边长为2 5的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上.再画出该三角形向左平移4个单位后的△A′B′E′(画出一个即可)．
23.(本小题8分)
某校积极开展“学法、知法、守法”为主题的教育活动，全校1200名学生积极参与学习.为考查学生对法律知识的了解情况，学校组织全体学生参加了法律知识竞赛(笔试)，随机抽取了部分学生的笔试成绩进行分析，并绘制了如下统计图(不完整).请根据图中信息回答问题：
(1)填空：随机抽取的学生的总人数是______人，n= ______；
(2)求样本中法律知识竞赛成绩良好的学生人数，并补全条形统计图；
(3)试估计该校这次法律知识竞赛成绩达到良好或优秀的学生总共有多少人？
24.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，E为边DC的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于F．
(1)求证：AD=FC；
(2)连接BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与△ABE面积相等的三角形．
25.(本小题10分)
为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．
(1)跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？
26.(本小题10分)
如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，连接BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连接BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG=∠AFC．
(1)求∠BGC的度数．
(2)若AG=DF，求tan∠GBC的值．
(3)如图2，当点O恰好在BG上且OG=1时，求AC的长．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2−6x+8=0的两个根(OB>OC.请解答下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)若OD：OC=2：1，直线y=−x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由于负数的绝对值是其相反数，
所以|−1|=1，
故选：B．
根据绝对值的定义即可求解，即负数的绝对值是其相反数．
本题考查了绝对值的定义，关键是能对绝对值的性质和求法准确把握．
2.【答案】B
【解析】解：A、4a−a=3a，故不合题意；
B、a4⋅a2=a6，故符合题意；
C、(−3ab2)2=9a2b4，故不合题意；
D、(−2a2)3=−8a6，故不合题意；
故选：B．
根据合并同类项，可判断A；根据单项式的乘法，可判断B；根据积的乘方与幂的乘方，可判断C；根据积的乘方与幂的乘方，可判断D．
本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式的乘法、合并同类项，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：从上面看得到的平面图形为：．
故选：B．
从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形．
本题考查从不同方向观察几何体，掌握几何体三种视图的空间想象能力是关键．
5.【答案】B
【解析】解：xx−3=x+1x−1，
方程两边同乘最简公分母(x−3)(x−1)，
去分母得x(x−1)=(x+1)(x−3)，
解得x=−3，
把x=−3代入(x−3)(x−1)=24≠0，
∴原分式方程的解是x=−3，
故选：B．
方程两边同乘最简公分母(x−3)(x−1)，化为整式方程求解，然后再进行检验可得出方程的解．
此题主要是考查了分式方程的解法，能够正确去分母化为整式方程是解答此题的关键，注意分式方程要检验．
6.【答案】C
【解析】解：连接OB、OC，
∵PB、PC分别与⊙O相切于点B、C，
∴PB⊥OB，PC⊥OC，
∴∠OBP=∠OCP=90°，
∵∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°，
∴∠BPC=360°−∠BOC−∠OBP−∠OCP=70°，
故选：C．
连接OB、OC，由切线的性质得∠OBP=∠OCP=90°，根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=110°，则∠BPC=360°−∠BOC−∠OBP−∠OCP=70°，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，可列方程：200(1+x)2=242，
故选：A．
设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数=第一天揽件数×(1+揽件日平均增长率)2，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
8.【答案】D
【解析】解：∵共6个数，有4个偶数，
∴从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为46=23，
故选：D．
利用概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，解题的关键是牢记概率的求法，难度不大．
9.【答案】C
【解析】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD=DE=EB，
∴AB=3BE，AE=2AD，
∵EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BE：AB，
∵AC=12，AB=3BE，
∴EF：12=BE：3BE，
∴EF=4，
∵DG//EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF=AD：AE，
∵EF=4，AE=2AD，
∴DH：4=AD：2AD，
∴DH=2．
故选C．
首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB=3BE，AE=2AD，再根据EF//AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出EF=4，然后根据DG//EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
10.【答案】C
【解析】解：∵对称轴为直线x=−1，
∴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴2a−b=0，故①错误，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴−4a−(2b−c)<0，
即−4a−2b+c<0，故②错误，
∵抛物线与x轴交于(−4,0)，对称轴为直线x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)，
∴x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，故③正确，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，
∴当x1>x2>−1时，y1>y2，故④错误，
故选：C．
根据对称轴判断①，根据图象特征判断②，根据对称轴及抛物线与x轴的交点判断③，根据抛物线的性质判断④．
本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与x轴的交点情况，熟练掌握上述知识点是解决本题的关键．
11.【答案】− 2
【解析】解：原式= 2−2 2=− 2．
故答案为：− 2
原式化简后，合并即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】2.8×10−9
【解析】解：0.0000000028=2.8×10−9．
故答案为：2.8×10−9．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分母不为0可得：x−2≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
14.【答案】m(a−3)2
【解析】解：原式=m(a2−6a+9)=m(a−3)2，
故答案为：m(a−3)2．
先提取公因式m，再利用完全平方公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
15.【答案】1≤x<2
【解析】解：3x−2≥1①5−2x>1②，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为：1≤x<2，
故答案为：1≤x<2．
根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】133cm
【解析】解：根据题意得：∠CEF=∠CEB，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB//CD，
∴∠CEB=∠ECD，
∴∠CEF=∠ECD，
∴EF=CF，
过点E作EG⊥CD于G，
∵AB=8cm，AD=4cm，AE=2cm，则AD=EG=4cm，AE=DG=2cm，
设EF=CF=x cm，则GF=AB−AE−EF=8−2−x=(6−x)cm，
在Rt△EFG中，EF2=GF2+EG2，
∴x2=(6−x)2+42，
∴x=133，
∴EF=133cm，
故答案为：133cm．
根据对折前后两图形全等可得∠CEF=∠CEB，又AB//CD，所以∠CEB=∠ECD，因此∠CEF=∠ECD，所以EF=CF，过点E作EG⊥CD于G，则GF=AB−AE−EF，然后根据勾股定理列式即可求解．
本题主要考查折叠的性质和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】152
【解析】解：∵直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x(其中k1⋅k2≠0)相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，
∴k2=−2×3=−2m，
∴m=3，
∴B(3,−2)，
∵BP//x轴，
∴BP=3，
∴S△ABP=12×3×(3+2)=152．
故答案为：152．
把A(−2,3)，B(m,−2)代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
18.【答案】60
【解析】解：设扇形圆心角的度数为n°，
则nπ×62360=6π，
解得：n=60，
即扇形圆心角的度数为60°，
故答案为：60．
设扇形圆心角的度数为n°，根据扇形面积公式列方程并解方程即可．
本题考查扇形的面积公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
19.【答案】 5或 13
【解析】【分析】
分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
【解答】
解：如图：
∵∠ACB=90°，AC=BC=2 2，
∴AB= 2AC=4，
∵点D为AB的中点，
∴CD=AD=12AB=2，∠ADC=90°，
∵∠ADQ=90°，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ=CP=CQ′=1，
分两种情况：
①当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ=CD−CQ=1，
∴AQ= AD2+DQ2= 22+12= 5，
②当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′=CD+CQ′=3，
∴AQ′= AD2+DQ′2= 22+32= 13，
综上所述：当∠ADQ=90°时，AQ的长为 5或 13，
故答案为： 5或 13．
20.【答案】3+3 3
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=6，∠ABC=∠BCA=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCE=60°−∠ECA=∠ACF，
∵CE=CF，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，
∴∠CAF=∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠CBE=12∠ABC=30°，CD=12AC=3，
过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH=CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，
则∠ACG=60°，CG=GH=12AC=3，
∴CH=AC=6，
∴△ACH为等边三角形，
∴DH=CD⋅tan60°=3 3，
AG垂直平分CH，
∴CI=HI，CF=FH，
∴CI+DI=HI+DI=DH=3 3，
CF+DF=HF+DF≥DH，
∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF=DH=3 3，
∴△CDF的周长的最小值为3+3 3．
故答案为：3+3 3．
分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF=∠CBE=30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF=30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．
本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用，关键在于证明三角形全等确定E点运动轨迹．
21.【答案】解：原式=(x+2x+2−3x+2)⋅x+2x2−1
=x−1x+2⋅x+2(x+1)(x−1)
=1x+1，
x=4sin45°−2cs60°
=4× 22−2×12
=2 2−1，
∴当x=2 2−1时，原式=12 2−1+1=12 2= 22 2⋅ 2= 24．
【解析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再算出x的值，最后代入计算即可．
本题主要考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值，解题关键熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序，熟记特殊角的三角函数值．
22.【答案】解：(1)如图1，平行四边形ABCD即为所求(答案不唯一)．
(2)如图2，等腰三角形ABE和△A′B′E′即为所求(答案不唯一)．
【解析】(1)根据平行四边形的判定按要求画图即可．
(2)根据等腰三角形的判定、勾股定理、平移的性质分别画图即可．
本题考查作图−平移变换、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握平移的性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键．
23.【答案】40 30
【解析】解：(1)10÷25%=40(人)，
∴随机抽取的学生的总人数是40人；
12÷40×100%=30%，
∴n=30．
故答案为：40，30；
(2)40−12−10−2=16(人)，
∴法律知识竞赛成绩良好的学生人数为16人．
补全条形统计图如下：
(3)1200×12+1640=840(人)，
答：估计该校这次法律知识竞赛成绩达到良好或优秀的学生总共有840人．
(1)利用类别为C的人数除其所占百分比即得出总人数；利用类别为A的人数除总人数即可求出n的值；
(2)利用总人数减去其它已知类别的人数，即得出样本中法律知识竞赛成绩良好的学生人数，再补全统计图即可；
(3)用总人数乘良好或优秀的学生所占百分比即可．
本题考查条形统计图和扇形统计图相关联，用样本估计总体．由条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，AD=BC，
∴∠D=∠FCE；
∵E为DC中点，
∴ED=EC，
在△ADE与△FCE中，
∠D=∠FCEED=EC∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴AD=CF；
(2)解：与△ABE面积相等的三角形有：△ABC，△ACD，△BEF，△AFC．
理由：∵四边形CDEF是平行四边形，
∴AB//CD，
∴S△ABC=S△ABE；
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴S△ACD=S△ABC，
由(1)知．AD=CF．
∵AD=BC，
∴CF=BC．
∴S△ABC=△AFC．
∵S△AEC=S△BEC，
∴S△AEC+S△EFC=S△BEC+S△EFC．
∴SAFC=S△BEF．
∴S△ABC=S△ABE=S△ACD=S△AFC=S△BEF．
∴与△ABE面积相等的三角形有：△ABC，△ACD，△BEF，△AFC．
【解析】(1)由“ASA”可证△ADE≌△FCE，可得AD=CF；
(2)利用等高模型即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元．
由题意可得：3y+2x=652y+x=35，
∴x=25y=5，
答：跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元；
(2)设购买m根跳绳，则购买(100−m)个毽子．
由题意可得：25m+5(100−m)≤2100，
解得：m≤80，
∴m的最大值为80．
答：最多购买80根跳绳．
【解析】(1)设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，由购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．列出方程组，即可求解；
(2)设学校购买m根跳绳，则购买(100−m)个毽子．由购买这批体育用品的总费用不超过2100元，列出不等式，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC=∠CBG，
∵∠EBC=∠EAC，
∴∠CBG=∠EAC，
∵AC⊥FC，
∴∠AFC+∠EAC=90°，
∵∠BCG=∠AFC，
∴∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠BGC=90°；
(2)∵∠BGC=90°，D为BC中点，
∴GD=CD，
∴∠DGC=∠DCG，
∵∠BCG=∠AFC，
∴∠DGC=∠AFC，
∴CF=CG，
∵∠ACF=∠BGC=90°，
∴△ACF≌△BGC(ASA)，
∴AF=BC；
如图1，过点C作CH⊥EG于点H，
设AG=DF=2x，
∴AF=BC=2DG，
∴CD=DG=AG+DF=4x，
∵CF=CG，
∴HG=HF=3x，
∴DH=x，AH=5x，
∴CH= CD2−DH2= (4x)2−x2= 15x，
∴tan∠GBC=tan∠CAF=CHAH= 155，
∴tan∠GBC的值为 155；
(3)如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，
∵OB=OC，
∴∠CBE=∠OBC=∠OCB，
∴OC//BE，
∵BD=CD，∠BDE=∠CDN，
∴△EBD≌△NCD(ASA)，
∴BE=CN，
∵OC//BE，
∴∠GOC=∠MBO，
∵∠CGO=∠OMB=90°，OC=OB，
∴△COG≌△OBM(AAS)，
∴BM=OG=1，
∵OM⊥BE，
∴CN=BE=2BM=2，
设OB=OC=r，
∵OC//BE，
∴△GON∽△GBE，
∴GOGB=ONBE，
∴1r+1=r−22，
解得r=1+ 172或r=1− 172(舍去)，
由(2)知：△ACF≌△BGC，
∴AC=BG=BO+OG=r+1= 17+32．
∴AC的长为 17+32．
【解析】(1)根据同弧圆周角相等得∠EBC=∠EAC，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题；
(2)证明△ACF≌△BGC(ASA)，得到AF=BC；过点C作CH⊥EG于点H，设AG=DF=2x，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；
(3)过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，分别证明△EBD≌△NCD(ASA)，△COG≌△OBM(AAS)，得BM=OG=1，设OB=OC=r，然后由△GON∽△GBE，对应边成比例，求出r的值，进而可求AC的长．
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．
27.【答案】解：(1)由x2−6x+8=0，得x1=4，x2=2，
∵OB>0C，
∴OB=4，0C=2，
∴B(−4,0)；
(2)∵OD：OC=2：1，OC=2，
∴OD=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6，
∵M是AD中点，
∴MD=3，
∴M(−3,4)，
将M(−3,4)代入y=−x+b，得：3+b=4，
解得：b=1，
在y=−x+b中，令x=0得y=1，令y=0得x=1，
∴E(1,0)，F(0,1)，
∴∠FEO=45°，
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，
∵∠DOC=∠NKC=90°，∠DCO=∠NCK，
∴△DOC∽△NKC，
∴DO：OC=NK：CK=2：1，
∴NK=EK=2CK，
∵CE=OC−OE=2−1=1，
∴CK=1，NK=2，
∴N(3,−2)，
∴EN=2 2，EH=CE 2= 22=CH，
∴NH=EN−EH=3 22，
∴tan∠MND=CHNH= 223 22=13；
(3)存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形，理由如下：
由(2)知，N(3,−2)，
设P(0,m)，Q(t,−t+1)，
∴PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t−3)2，PQ2=t2+(m+t−1)2，
当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=−6；
当QN=5时，2(t−3)2，解得t=6±5 22；
①如图：
△P′NQ1，△PNQ2，△P′NQ2是腰长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q1(−4,5)，Q2(6−5 22,5 2−42)；
②如图：
△P′NQ3，△P′NQ4，△PNQ4是边长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q3(4,−3)，Q4(6+5 22,−4−5 22)；
③如图：
△PQ5N，△P′Q5N是腰长为5的等腰三角形，此时Q5(6−5 22,5 2−42)，
综上所述，腰长为5的等腰三角形NPQ共有8个，Q1(−4,5)，Q2(6−5 22,5 2−42)；Q3(4,−3)，Q4(6+5 22,−4−5 22)；Q5(6−5 22,5 2−42).
【解析】(1)解x2−6x+8=0，可得B(−4,0)；
(2)由OD：OC=2：1，OC=2，得OD=4，M是AD中点，可得M(−3,4)，代入y=−x+b，得：b=1，故E(1,0)，F(0,1)，∠FEO=45°，过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，由△DOC∽△NKC，可得NK=EK=2CK，从而N(3,−2)，求出EN=2 2，EH=CE 2= 22=CH，即可得tan∠MND=CHNH=13；
(3)由(2)知，N(3,−2)，设P(0,m)，Q(t,−t+1)，有PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t−3)2，PQ2=t2+(m+t−1)2，当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=−6；当QN=5时，2(t−3)2，解得t=6±5 22；分别画出图形，结合m，t的值可得答案．
本题考查一次函数综合应用，涉及锐角三角函数，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
1.−1的绝对值是( )
A. −1B. 1C. 12D. −12
2.下列运算正确的是( )
A. 4a−a=4B. a4⋅a2=a6C. (−3ab2)2=6a2b4D. (−2a2)3=8a6
3.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是( )
A.
B.
C.
D.
5.分式方程xx−3=x+1x−1的解是( )
A. x=3B. x=−3C. x=2D. x=0
6.如图，在⊙O中，∠BAC=55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数( )
A. 55°
B. 110°
C. 70°
D. 140°
7.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. 200(1+x)2=242B. 200(1−x)2=242
C. 200(1+2x)=242D. 200(1−2x)=242
8.有6片形状大小完全一样的正方形，其中每个上面标有数字1，2，2，3，4，6，从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
9.如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC//DG//EF，点H为AF与DG的交点.若AC=12，则DH的长为( )
A. 1
B. 32
C. 2
D. 3
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=−1.若点A的坐标为(−4,0)，则下列结论正确的是( )
A. 2a+b=0
B. −4a−2b+c>0
C. x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
D. 点(x1,y1)，(x2,y2)在抛物线上，当x1>x2>−1时，y1
11.计算： 2− 8=______．
12.溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下CaCO3的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为______．
13.函数y=1x−2中，自变量x的取值范围是______．
14.因式分解：ma2−6ma+9m= ______．
15.不等式组3x−2≥15−2x>1的解集为______．
16.如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B′处，CD与EB′交于点F，如果AB=8cm，AD=4cm，AE=2cm，则EF的长为______．
17.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x(其中k1⋅k2≠0)相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，过点B作BP//x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是______．
18.已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为______度.
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2 2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当∠ADQ=90°时，AQ的长为______．
20.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
先化简，再求值(1−3x+2)÷x2−1x+2的值，其中x=4sin45°−2cs60°．
22.(本小题7分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以线段AB为一边且面积为12的平行四边形ABCD(点C和点D均在小正方形的顶点上，画出一个即可)．
(2)在图2中画出以线段AB为腰，底边长为2 5的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上.再画出该三角形向左平移4个单位后的△A′B′E′(画出一个即可)．
23.(本小题8分)
某校积极开展“学法、知法、守法”为主题的教育活动，全校1200名学生积极参与学习.为考查学生对法律知识的了解情况，学校组织全体学生参加了法律知识竞赛(笔试)，随机抽取了部分学生的笔试成绩进行分析，并绘制了如下统计图(不完整).请根据图中信息回答问题：
(1)填空：随机抽取的学生的总人数是______人，n= ______；
(2)求样本中法律知识竞赛成绩良好的学生人数，并补全条形统计图；
(3)试估计该校这次法律知识竞赛成绩达到良好或优秀的学生总共有多少人？
24.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，E为边DC的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于F．
(1)求证：AD=FC；
(2)连接BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与△ABE面积相等的三角形．
25.(本小题10分)
为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．
(1)跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？
26.(本小题10分)
如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，连接BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连接BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG=∠AFC．
(1)求∠BGC的度数．
(2)若AG=DF，求tan∠GBC的值．
(3)如图2，当点O恰好在BG上且OG=1时，求AC的长．
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2−6x+8=0的两个根(OB>OC.请解答下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)若OD：OC=2：1，直线y=−x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由于负数的绝对值是其相反数，
所以|−1|=1，
故选：B．
根据绝对值的定义即可求解，即负数的绝对值是其相反数．
本题考查了绝对值的定义，关键是能对绝对值的性质和求法准确把握．
2.【答案】B
【解析】解：A、4a−a=3a，故不合题意；
B、a4⋅a2=a6，故符合题意；
C、(−3ab2)2=9a2b4，故不合题意；
D、(−2a2)3=−8a6，故不合题意；
故选：B．
根据合并同类项，可判断A；根据单项式的乘法，可判断B；根据积的乘方与幂的乘方，可判断C；根据积的乘方与幂的乘方，可判断D．
本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式的乘法、合并同类项，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：从上面看得到的平面图形为：．
故选：B．
从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形．
本题考查从不同方向观察几何体，掌握几何体三种视图的空间想象能力是关键．
5.【答案】B
【解析】解：xx−3=x+1x−1，
方程两边同乘最简公分母(x−3)(x−1)，
去分母得x(x−1)=(x+1)(x−3)，
解得x=−3，
把x=−3代入(x−3)(x−1)=24≠0，
∴原分式方程的解是x=−3，
故选：B．
方程两边同乘最简公分母(x−3)(x−1)，化为整式方程求解，然后再进行检验可得出方程的解．
此题主要是考查了分式方程的解法，能够正确去分母化为整式方程是解答此题的关键，注意分式方程要检验．
6.【答案】C
【解析】解：连接OB、OC，
∵PB、PC分别与⊙O相切于点B、C，
∴PB⊥OB，PC⊥OC，
∴∠OBP=∠OCP=90°，
∵∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°，
∴∠BPC=360°−∠BOC−∠OBP−∠OCP=70°，
故选：C．
连接OB、OC，由切线的性质得∠OBP=∠OCP=90°，根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC=110°，则∠BPC=360°−∠BOC−∠OBP−∠OCP=70°，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，可列方程：200(1+x)2=242，
故选：A．
设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数=第一天揽件数×(1+揽件日平均增长率)2，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
8.【答案】D
【解析】解：∵共6个数，有4个偶数，
∴从中随机抽一张，抽出标有的数字是偶数的概率为46=23，
故选：D．
利用概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，解题的关键是牢记概率的求法，难度不大．
9.【答案】C
【解析】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD=DE=EB，
∴AB=3BE，AE=2AD，
∵EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BE：AB，
∵AC=12，AB=3BE，
∴EF：12=BE：3BE，
∴EF=4，
∵DG//EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF=AD：AE，
∵EF=4，AE=2AD，
∴DH：4=AD：2AD，
∴DH=2．
故选C．
首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB=3BE，AE=2AD，再根据EF//AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出EF=4，然后根据DG//EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
10.【答案】C
【解析】解：∵对称轴为直线x=−1，
∴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴2a−b=0，故①错误，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴−4a−(2b−c)<0，
即−4a−2b+c<0，故②错误，
∵抛物线与x轴交于(−4,0)，对称轴为直线x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2,0)，
∴x=2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，故③正确，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，
∴当x1>x2>−1时，y1>y2，故④错误，
故选：C．
根据对称轴判断①，根据图象特征判断②，根据对称轴及抛物线与x轴的交点判断③，根据抛物线的性质判断④．
本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与x轴的交点情况，熟练掌握上述知识点是解决本题的关键．
11.【答案】− 2
【解析】解：原式= 2−2 2=− 2．
故答案为：− 2
原式化简后，合并即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】2.8×10−9
【解析】解：0.0000000028=2.8×10−9．
故答案为：2.8×10−9．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分母不为0可得：x−2≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
14.【答案】m(a−3)2
【解析】解：原式=m(a2−6a+9)=m(a−3)2，
故答案为：m(a−3)2．
先提取公因式m，再利用完全平方公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
15.【答案】1≤x<2
【解析】解：3x−2≥1①5−2x>1②，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为：1≤x<2，
故答案为：1≤x<2．
根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】133cm
【解析】解：根据题意得：∠CEF=∠CEB，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB//CD，
∴∠CEB=∠ECD，
∴∠CEF=∠ECD，
∴EF=CF，
过点E作EG⊥CD于G，
∵AB=8cm，AD=4cm，AE=2cm，则AD=EG=4cm，AE=DG=2cm，
设EF=CF=x cm，则GF=AB−AE−EF=8−2−x=(6−x)cm，
在Rt△EFG中，EF2=GF2+EG2，
∴x2=(6−x)2+42，
∴x=133，
∴EF=133cm，
故答案为：133cm．
根据对折前后两图形全等可得∠CEF=∠CEB，又AB//CD，所以∠CEB=∠ECD，因此∠CEF=∠ECD，所以EF=CF，过点E作EG⊥CD于G，则GF=AB−AE−EF，然后根据勾股定理列式即可求解．
本题主要考查折叠的性质和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】152
【解析】解：∵直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x(其中k1⋅k2≠0)相交于A(−2,3)，B(m,−2)两点，
∴k2=−2×3=−2m，
∴m=3，
∴B(3,−2)，
∵BP//x轴，
∴BP=3，
∴S△ABP=12×3×(3+2)=152．
故答案为：152．
把A(−2,3)，B(m,−2)代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
18.【答案】60
【解析】解：设扇形圆心角的度数为n°，
则nπ×62360=6π，
解得：n=60，
即扇形圆心角的度数为60°，
故答案为：60．
设扇形圆心角的度数为n°，根据扇形面积公式列方程并解方程即可．
本题考查扇形的面积公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
19.【答案】 5或 13
【解析】【分析】
分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
【解答】
解：如图：
∵∠ACB=90°，AC=BC=2 2，
∴AB= 2AC=4，
∵点D为AB的中点，
∴CD=AD=12AB=2，∠ADC=90°，
∵∠ADQ=90°，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ=CP=CQ′=1，
分两种情况：
①当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ=CD−CQ=1，
∴AQ= AD2+DQ2= 22+12= 5，
②当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′=CD+CQ′=3，
∴AQ′= AD2+DQ′2= 22+32= 13，
综上所述：当∠ADQ=90°时，AQ的长为 5或 13，
故答案为： 5或 13．
20.【答案】3+3 3
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=6，∠ABC=∠BCA=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCE=60°−∠ECA=∠ACF，
∵CE=CF，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，
∴∠CAF=∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠CBE=12∠ABC=30°，CD=12AC=3，
过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH=CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，
则∠ACG=60°，CG=GH=12AC=3，
∴CH=AC=6，
∴△ACH为等边三角形，
∴DH=CD⋅tan60°=3 3，
AG垂直平分CH，
∴CI=HI，CF=FH，
∴CI+DI=HI+DI=DH=3 3，
CF+DF=HF+DF≥DH，
∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF=DH=3 3，
∴△CDF的周长的最小值为3+3 3．
故答案为：3+3 3．
分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF=∠CBE=30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF=30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．
本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用，关键在于证明三角形全等确定E点运动轨迹．
21.【答案】解：原式=(x+2x+2−3x+2)⋅x+2x2−1
=x−1x+2⋅x+2(x+1)(x−1)
=1x+1，
x=4sin45°−2cs60°
=4× 22−2×12
=2 2−1，
∴当x=2 2−1时，原式=12 2−1+1=12 2= 22 2⋅ 2= 24．
【解析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再算出x的值，最后代入计算即可．
本题主要考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值，解题关键熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序，熟记特殊角的三角函数值．
22.【答案】解：(1)如图1，平行四边形ABCD即为所求(答案不唯一)．
(2)如图2，等腰三角形ABE和△A′B′E′即为所求(答案不唯一)．
【解析】(1)根据平行四边形的判定按要求画图即可．
(2)根据等腰三角形的判定、勾股定理、平移的性质分别画图即可．
本题考查作图−平移变换、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握平移的性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键．
23.【答案】40 30
【解析】解：(1)10÷25%=40(人)，
∴随机抽取的学生的总人数是40人；
12÷40×100%=30%，
∴n=30．
故答案为：40，30；
(2)40−12−10−2=16(人)，
∴法律知识竞赛成绩良好的学生人数为16人．
补全条形统计图如下：
(3)1200×12+1640=840(人)，
答：估计该校这次法律知识竞赛成绩达到良好或优秀的学生总共有840人．
(1)利用类别为C的人数除其所占百分比即得出总人数；利用类别为A的人数除总人数即可求出n的值；
(2)利用总人数减去其它已知类别的人数，即得出样本中法律知识竞赛成绩良好的学生人数，再补全统计图即可；
(3)用总人数乘良好或优秀的学生所占百分比即可．
本题考查条形统计图和扇形统计图相关联，用样本估计总体．由条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，AD=BC，
∴∠D=∠FCE；
∵E为DC中点，
∴ED=EC，
在△ADE与△FCE中，
∠D=∠FCEED=EC∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴AD=CF；
(2)解：与△ABE面积相等的三角形有：△ABC，△ACD，△BEF，△AFC．
理由：∵四边形CDEF是平行四边形，
∴AB//CD，
∴S△ABC=S△ABE；
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴S△ACD=S△ABC，
由(1)知．AD=CF．
∵AD=BC，
∴CF=BC．
∴S△ABC=△AFC．
∵S△AEC=S△BEC，
∴S△AEC+S△EFC=S△BEC+S△EFC．
∴SAFC=S△BEF．
∴S△ABC=S△ABE=S△ACD=S△AFC=S△BEF．
∴与△ABE面积相等的三角形有：△ABC，△ACD，△BEF，△AFC．
【解析】(1)由“ASA”可证△ADE≌△FCE，可得AD=CF；
(2)利用等高模型即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元．
由题意可得：3y+2x=652y+x=35，
∴x=25y=5，
答：跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元；
(2)设购买m根跳绳，则购买(100−m)个毽子．
由题意可得：25m+5(100−m)≤2100，
解得：m≤80，
∴m的最大值为80．
答：最多购买80根跳绳．
【解析】(1)设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，由购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．列出方程组，即可求解；
(2)设学校购买m根跳绳，则购买(100−m)个毽子．由购买这批体育用品的总费用不超过2100元，列出不等式，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC=∠CBG，
∵∠EBC=∠EAC，
∴∠CBG=∠EAC，
∵AC⊥FC，
∴∠AFC+∠EAC=90°，
∵∠BCG=∠AFC，
∴∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠BGC=90°；
(2)∵∠BGC=90°，D为BC中点，
∴GD=CD，
∴∠DGC=∠DCG，
∵∠BCG=∠AFC，
∴∠DGC=∠AFC，
∴CF=CG，
∵∠ACF=∠BGC=90°，
∴△ACF≌△BGC(ASA)，
∴AF=BC；
如图1，过点C作CH⊥EG于点H，
设AG=DF=2x，
∴AF=BC=2DG，
∴CD=DG=AG+DF=4x，
∵CF=CG，
∴HG=HF=3x，
∴DH=x，AH=5x，
∴CH= CD2−DH2= (4x)2−x2= 15x，
∴tan∠GBC=tan∠CAF=CHAH= 155，
∴tan∠GBC的值为 155；
(3)如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，
∵OB=OC，
∴∠CBE=∠OBC=∠OCB，
∴OC//BE，
∵BD=CD，∠BDE=∠CDN，
∴△EBD≌△NCD(ASA)，
∴BE=CN，
∵OC//BE，
∴∠GOC=∠MBO，
∵∠CGO=∠OMB=90°，OC=OB，
∴△COG≌△OBM(AAS)，
∴BM=OG=1，
∵OM⊥BE，
∴CN=BE=2BM=2，
设OB=OC=r，
∵OC//BE，
∴△GON∽△GBE，
∴GOGB=ONBE，
∴1r+1=r−22，
解得r=1+ 172或r=1− 172(舍去)，
由(2)知：△ACF≌△BGC，
∴AC=BG=BO+OG=r+1= 17+32．
∴AC的长为 17+32．
【解析】(1)根据同弧圆周角相等得∠EBC=∠EAC，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题；
(2)证明△ACF≌△BGC(ASA)，得到AF=BC；过点C作CH⊥EG于点H，设AG=DF=2x，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；
(3)过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，分别证明△EBD≌△NCD(ASA)，△COG≌△OBM(AAS)，得BM=OG=1，设OB=OC=r，然后由△GON∽△GBE，对应边成比例，求出r的值，进而可求AC的长．
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．
27.【答案】解：(1)由x2−6x+8=0，得x1=4，x2=2，
∵OB>0C，
∴OB=4，0C=2，
∴B(−4,0)；
(2)∵OD：OC=2：1，OC=2，
∴OD=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6，
∵M是AD中点，
∴MD=3，
∴M(−3,4)，
将M(−3,4)代入y=−x+b，得：3+b=4，
解得：b=1，
在y=−x+b中，令x=0得y=1，令y=0得x=1，
∴E(1,0)，F(0,1)，
∴∠FEO=45°，
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，
∵∠DOC=∠NKC=90°，∠DCO=∠NCK，
∴△DOC∽△NKC，
∴DO：OC=NK：CK=2：1，
∴NK=EK=2CK，
∵CE=OC−OE=2−1=1，
∴CK=1，NK=2，
∴N(3,−2)，
∴EN=2 2，EH=CE 2= 22=CH，
∴NH=EN−EH=3 22，
∴tan∠MND=CHNH= 223 22=13；
(3)存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形，理由如下：
由(2)知，N(3,−2)，
设P(0,m)，Q(t,−t+1)，
∴PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t−3)2，PQ2=t2+(m+t−1)2，
当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=−6；
当QN=5时，2(t−3)2，解得t=6±5 22；
①如图：
△P′NQ1，△PNQ2，△P′NQ2是腰长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q1(−4,5)，Q2(6−5 22,5 2−42)；
②如图：
△P′NQ3，△P′NQ4，△PNQ4是边长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q3(4,−3)，Q4(6+5 22,−4−5 22)；
③如图：
△PQ5N，△P′Q5N是腰长为5的等腰三角形，此时Q5(6−5 22,5 2−42)，
综上所述，腰长为5的等腰三角形NPQ共有8个，Q1(−4,5)，Q2(6−5 22,5 2−42)；Q3(4,−3)，Q4(6+5 22,−4−5 22)；Q5(6−5 22,5 2−42).
【解析】(1)解x2−6x+8=0，可得B(−4,0)；
(2)由OD：OC=2：1，OC=2，得OD=4，M是AD中点，可得M(−3,4)，代入y=−x+b，得：b=1，故E(1,0)，F(0,1)，∠FEO=45°，过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，由△DOC∽△NKC，可得NK=EK=2CK，从而N(3,−2)，求出EN=2 2，EH=CE 2= 22=CH，即可得tan∠MND=CHNH=13；
(3)由(2)知，N(3,−2)，设P(0,m)，Q(t,−t+1)，有PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t−3)2，PQ2=t2+(m+t−1)2，当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=−6；当QN=5时，2(t−3)2，解得t=6±5 22；分别画出图形，结合m，t的值可得答案．
本题考查一次函数综合应用，涉及锐角三角函数，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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