人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题01二次根式的混合运算-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题01二次根式的混合运算-原卷版+解析，共25页。


◎类型1 二次根式的乘法
技巧：二次根式的乘法法则:
【注意】
1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。
:
3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：
1．（2023·陕西·交大附中分校校考模拟预测）计算：
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
3．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)．
(2)
(3)．
(4)．
◎类型2 二次根式的除法
技巧：次根式的除法法则：
【注意】
1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：
QUOTE ,,-a.-,-b..=,-,a-b..,a≥0，b>0.
1．（2022春·广东河源·八年级校考期中）化简：．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)（，）．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)÷
(2)÷
(3)
(4)．
◎类型3 二次根式的乘除混合运算
1．（2023春·全国·八年级专题练习）化简：．
2．（2023·全国·八年级专题练习）计算∶．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
4．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
◎类型4 二次根式的加减运算
技巧：二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
1．（2023春·广西防城港·八年级统考阶段练习）计算：
(1)．
(2)
2．（2023春·全国·八年级期中）计算：
(1)；
(2)．
3．（2023春·全国·八年级期中）计算：．
4．（2023春·四川自贡·八年级校联考阶段练习）
◎类型5二次根式的混合运算
技巧：二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
1．（2022春·广西梧州·八年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
2．（2023春·山东济南·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
3．（2023春·江苏·八年级期中）计算
(1)
(2)
4．（2023春·全国·八年级期中）计算：
(1)．
(2)．
◎类型6 化简求值
此类题型一点要注意是先化简再求值，根据题目要求做，否则扣分，另外，化简往往和完全平方式、平方差公式、因式分解以及这些公式的变形有关，掌握公式和变形至关重要。
1．（2023春·全国·八年级期中）已知 ， ．
(1)求的值．
(2)求的值．
2．（2023春·全国·八年级期中）已知 ，求的值．
3．（2023春·全国·八年级期中）已知：，，求的平方根．
4．（2023春·全国·八年级阶段练习）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
培优专题01 二次根式的运算
【考法导图】
◎类型1 二次根式的乘法
技巧：二次根式的乘法法则:
【注意】
1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。
:
3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：
1．（2023·陕西·交大附中分校校考模拟预测）计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，化简绝对值，负整数指数幂，正确的计算是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算即可得出答案；
（2）根据二次根式的乘法运算法则计算即可得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，化简二次根式，熟练运用运算法则是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)12
(2)
(3)
(4)6000
【分析】（1）根据，开方计算即可．
（2）根据，开方计算即可．
（3）根据，开方计算即可．
（4）根据，开方计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)．
(2)
(3)．
(4)．
【答案】(1)6
(2)10
(3)1
(4)
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；
（3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
（4）解：原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：．
◎类型2 二次根式的除法
技巧：次根式的除法法则：
【注意】
1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：
QUOTE ,,-a.-,-b..=,-,a-b..,a≥0，b>0.
1．（2022春·广东河源·八年级校考期中）化简：．
【答案】
【分析】先化简二次根式，再根据除法法则计算．
【详解】解：由题意可知，，，故，，
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)（，）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（3）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（4）根据二次根式的除法运算法则计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算：
(1)÷
(2)÷
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（3）利用二次根式的性质化简即可；
（4）利用二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】题目主要考查二次根式乘除法运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
◎类型3 二次根式的乘除混合运算
1．（2023春·全国·八年级专题练习）化简：．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计数法则是解题的关键．
2．（2023·全国·八年级专题练习）计算∶．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；
（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；
（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
◎类型4 二次根式的加减运算
技巧：二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
1．（2023春·广西防城港·八年级统考阶段练习）计算：
(1)．
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）根据二次根式的性质化简，负整数指数幂，化简绝对值，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式
=；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答；
（2）利用完全平方公式，负整数指数幂，零指数幂进行计算，即可解答．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级期中）计算：．
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质进行计算（同时去掉括号），再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，二次根式性质，能正确根据二次根式的加减法法则进行计算是解此题的关键．
4．（2023春·四川自贡·八年级校联考阶段练习）
【答案】
【分析】先根据二次根式性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式加减运算法则，准确计算．
◎类型5二次根式的混合运算
技巧：二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
1．（2022春·广西梧州·八年级校考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简，再利用二次根式的乘法运算法则化简，然后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
2．（2023春·山东济南·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再计算括号里面的，最后计算乘法即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简及乘法公式是解答本题的关键．
3．（2023春·江苏·八年级期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算二次根式的乘除，再算加减即可；
（2）先全部化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式
．
（2）原式．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟记二次根式运算顺序及运算规则是解题的关键．
4．（2023春·全国·八年级期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式先化简二次根式和进行二次根式的乘法，再进行合并即可；
（2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开后再合并即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
◎类型6 化简求值
此类题型一点要注意是先化简再求值，根据题目要求做，否则扣分，另外，化简往往和完全平方式、平方差公式、因式分解以及这些公式的变形有关，掌握公式和变形至关重要。
1．（2023春·全国·八年级期中）已知 ， ．
(1)求的值．
(2)求的值．
【答案】(1)47
(2)4
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据二次根式的性质、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵， ，
∴，，
则
；
（2）解：
•
．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级期中）已知 ，求的值．
【答案】2
【分析】先根据分式的运算法则和二次根式的性质进行化简，再代入求值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质，分母有理化，分式的化简．
3．（2023春·全国·八年级期中）已知：，，求的平方根．
【答案】
【分析】先将x、y化简，然后即可得到的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
．
∵的平方根为
∴的平方根为．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，求一个数的平方根，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
4．（2023春·全国·八年级阶段练习）已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算出a+b和a-b的值，再把原式分解为（a+b）（a-b），然后利用整体代入的方法计算；
（2）先计算出ab的值，再结合（1）计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．