人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题18一次函数的动态问题-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题18一次函数的动态问题-原卷版+解析，共26页。

◎类型1 一次函数中折叠问题
方法技巧：找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身的特点借助勾股定理构造方程求解
1．（2023春·八年级课时练习）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在y轴上的点处，则点C的坐标是______.
3．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，．点在轴正半轴上，把沿折叠，点恰好落在轴负半轴上的点处．直线交直线于点．点是轴正半轴上的一动点，点是直线上的一动点．
(1)填空：点，，坐标分别为___________；___________；___________．
(2)求的面积．
(3)连结．与全等（点与点不重合），直接写出所有满足条件的点坐标．
◎类型2 一次函数中的平移问题
方法技巧：根据平移法则“左加右减，上加下减”得出新的函数，再运用一次函数中的性质进行求解。
4．（2023·河南新乡·统考一模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·广东广州·统考一模）已知直线向下平移个单位后经过点，则的值为________．
6．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．已知点，，．
(1)求直线的函数解析式；
(2)已知直线．
①当时，若将直线沿坐标轴经过一次平移后过点A，请你通过计算给出一种平移方案；
②若直线与线段、能围成封闭的三角形区域，请直接写出的取值范围．
◎类型3 动点图形问题
7．（2022秋·河南平顶山·八年级校联考期中）如图所示，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022春·甘肃武威·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D，设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，边长为2的正方形ABCD中，点P从点A出发沿路线A→B→C→D匀速运动至点D停止，已知点P的速度为1，运动时间为t，以P、A、B为顶点的三角形面积为S，则S与t之间的函数图像可能是（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·广东佛山·西南中学校考三模）如图1，在四边形中，，直线．当直线沿射线方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示．当时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
◎类型4一次函数中的旋转问题
方法技巧：找出旋转后出现的等角、等边并结合图形本身的特点，借助勾股定理构造方程求解
11．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．
(1)求证：；
(2)模型应用：已知直线：与轴交于点．将直线绕着点逆时针旋转至，如图2，求的函数解析式；
12．（2022秋·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：BOC≌CED；
（2）求经过 A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程）
13．（2022秋·八年级课时练习）如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
专题18 一次函数的动态问题
【考法导图】
◎类型1 一次函数中折叠问题
方法技巧：找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身的特点借助勾股定理构造方程求解
1．（2023春·八年级课时练习）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出点的坐标，从而得出的长度，运用勾股定理求出的长度，然后根据折叠的性质可知，，则，，运用勾股定理列方程得出的长度，即点的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．
【详解】解：当时，，即，
当时，，即，
所以，即，
设，则，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
又，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出的坐标是解本题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在y轴上的点处，则点C的坐标是______.
【答案】
【分析】先求出线段的长，再利用，得 ，求出的长，设为x，利用，求出x的长，即可得答案．
【详解】解：一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当时，，当时，，
，
，
将沿折叠，点A恰好落在y轴上的点处，
，
，
，
设为x，那么，
，即
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，解题的关键是证明．
3．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，．点在轴正半轴上，把沿折叠，点恰好落在轴负半轴上的点处．直线交直线于点．点是轴正半轴上的一动点，点是直线上的一动点．
(1)填空：点，，坐标分别为___________；___________；___________．
(2)求的面积．
(3)连结．与全等（点与点不重合），直接写出所有满足条件的点坐标．
【答案】(1)
(2)6
(3)
【分析】（1）利用一次函数的解析式分别代入求出点的坐标，再利用勾股定理求出的值，设利用翻折的性质结合勾股定理列方程求解即可；
（2）利用待定系数法，设，代入点的坐标求解直线的解析式，并与直线解析式联立求出点的坐标，然后求解面积即可；
（3）分类讨论：当在的延长线时或在线段上，根据，分类讨论①当时，②当时，③当时，利用全等三角形的性质通过添加辅助线计算出点的横坐标，再代入解析式中求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
设，得，
；
设，得，
；
在中，，
设，则，
由折叠可知，
，
在中，，
∴，
解得，
．
（2）设直线表达式为，
把代入得，
解得
∴直线表达式为
联立方程组，
解得，
．
．
（3）解：∵，
∵
∴
∵与全等；
当在的延长线时
①当时，过点作轴，过点作轴
∵
把代入时，
解得
∴
②当时，过点作轴
由题意得：
∴把代入，
解得：
∴
当点在上时，
∵点与点不重合
∴不存在
③当时，
∴把代入，
解得：
∴
【点睛】本题主要考查一次函数与三角形综合，熟练运用分类讨论，勾股定理以及全等的性质，并能够将线段长度转化为坐标计算是解决本题的关键．
◎类型2 一次函数中的平移问题
【方法点拨】根据平移法则“左加右减，上加下减”得出新的函数，再运用一次函数中的性质进行求解
4．（2023·河南新乡·统考一模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的平移规律，即可进行解答．
【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的平移，解题的关键是熟知“上加下减，左加右减”的平移规律．
5．（2023·广东广州·统考一模）已知直线向下平移个单位后经过点，则的值为________．
【答案】
【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点的坐标代入求值即可．
【详解】解：将一次函数的图象向下平移（）个单位后得到，
把代入，得，解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
6．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．已知点，，．
(1)求直线的函数解析式；
(2)已知直线．
①当时，若将直线沿坐标轴经过一次平移后过点A，请你通过计算给出一种平移方案；
②若直线与线段、能围成封闭的三角形区域，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①将直线向右平移2个单位长度；（或将直线向下平移1个单位长度后经过点A）②
【分析】（1）设直线的解析式为，将点，代入解析式，利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）①方案一：求出直线与轴的交点坐标，再利用平移的规律即可得到答案；方案二：设将直线向下平移个单位长度后经过点A，则点在上，求出值即可得到答案；
②分别求出直线经过点B、C时的斜率，即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
点，，
，
解得：，
直线的函数解析式为；
（2）解：①方案一：
，
直线，
令，解得：，即直线与轴的交点为，
若平移后经过点，则将直线向右平移2个单位长度；
方案二：
设将直线向下平移个单位长度后经过点A，
则点在上，
，
解得，
即将直线向下平移1个单位长度后经过点A；
②当直线经过点时，
则，解得：，
当直线经过点时，
则，解得：，
如图，直线恒过点，绕点旋转发现，当直线处于阴影区域时，直线与线段、能围成封闭的三角形区域，
的取值范围是．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，平移的规律，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
◎类型3 动点图形问题
7．（2022秋·河南平顶山·八年级校联考期中）如图所示，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在上运动时，y不变，据此作出选择即可．
【详解】解：当点P由点A向点D运动，即时，y的值为0；
当点P在上运动，即时，y随着x的增大而增大；
当点P在上运动，即时，y不变；
当点P在上运动，即时，y随x的增大而减小．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
8．（2022春·甘肃武威·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D，设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线的运动路径找到长度变化的几个关键点，在B点时，EF的长为0，然后逐渐增大，经过A点时长度最大，一直保持到经过C点时长度不变，然后逐渐减小，直到经过D点时长为0，据此可以得到函数的图像．
【详解】解：如图，
∵直线l从点B开始沿着线段BD匀速平移到D，
∴在B点时，EF的长为0，经过A点时长度最大，一直保持到经过C点时长度不变，然后逐渐减小，直到经过D点时长为0，
∴观察四个选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，边长为2的正方形ABCD中，点P从点A出发沿路线A→B→C→D匀速运动至点D停止，已知点P的速度为1，运动时间为t，以P、A、B为顶点的三角形面积为S，则S与t之间的函数图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动三种情况，逐次求出函数表达式，即可求解．
【详解】解：①当点P在AB上运动时（0≤t≤2），
∵点P、A、B在一条直线上，故S=0；
②当点P在BC上运动时（2＜t≤4），
S=AB×PB=×2×（t-2）=t-2，为一次函数，
当t=4时，S=2；
③当点P在CD上运动时（4＜t≤6），
同理可得：S=×AB×BC=×2×2=2，为常数；
观察四个选项，只有C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图像，分类求出函数表达式是本题解题的关键．
10．（2021·广东佛山·西南中学校考三模）如图1，在四边形中，，直线．当直线沿射线方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、．设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示．当时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图中的数据，得到∠ABC=30°，求出AB的长，过点A作AH⊥BC，垂足为H，求出AH，得到△BE″F″的高，从而求出△BE″F″的面积．
【详解】解：∵直线l⊥AB，令BE=x，EF=y，
由图可知：当0≤x≤4时，满足y=x，
当l经过点A时，BE=x=4，AE′=y=2，
∴∠ABC=30°，
∴AB=，
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∴AH=AB=，
在平移过程中，直线l经过点A和经过点C之间时，
点F到BC的距离不变，
则△BE″F″中F″到BE″的距离不变，且为AH=，
∴当x=时，BE″=，
△BE″F″的面积为，
故选C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
◎类型4一次函数中的旋转问题
【方法点拨】找出旋转后出现的等角、等边并结合图形本身的特点，借助勾股定理构造方程求解
11．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．
(1)求证：；
(2)模型应用：已知直线：与轴交于点．将直线绕着点逆时针旋转至，如图2，求的函数解析式；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质推出，再由等腰三角形的性质，即可推出；
（2）过点作于点，交直线于点，过点作轴于点，由旋转的性质得，易知为等腰直角三角形，由（1）可知：，由全等的性质得到点的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
，
又，
，
，
在和中
，
．
（2）解：如图2，过点作于点，交直线于点，过点作轴于点，
由条件知，
为等腰直角三角形，
由（1）可知：，
，，
∵直线：，
，，
，，，
，
设：，
，
，，
：．
【点睛】此题考查一次函数综合题，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，解题的关键在于正确作出辅助线．
12．（2022秋·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：BOC≌CED；
（2）求经过 A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程）
【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或或
【分析】（1）由“AAS”即可证明；
（2）设直线的解析式为，待定系数法即可求得解析式，设，即可得的坐标，代入解析式即可求得，进而求得的坐标；
（3）设，分别表示出的长，分三种情况讨论，根据平面直角坐标系中的点的坐标，利用勾股定理求得两点距离，分别求解即可．
【详解】（1），
，
，
，
在与中，
，
（AAS），
（2）设直线的解析式为，
将代入，得：
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
设，
，
，
点在直线上，将代入，
即，
解得，
，
（3）存在，理由如下：
设，
，
，
①当时，
，
解得，
②当时，
，
解得：，
③当时，
，
解得或（与C点重合，舍），
综上所述，的坐标为： 或或或
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，一次函数的性质，等腰三角相对性状，三角形全等的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．
13．（2022秋·八年级课时练习）如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据待定系数法求得直线AB的解析式，进而即可求得A、B的坐标，根据三角形面积公式求得即可；
（2）过点C作CD⊥y轴于D，通过证得△AOB≌△BDC，即可求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的解析式．
【详解】（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），
∴3＝2+b，
解得b＝1，
∴y＝2x+1，
令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝1，
∴A ，B（0，1），
∴OA＝，OB＝1
∴△AOB的面积＝＝；
（2）过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，
∴OD＝OB﹣BD＝ ，
∴C ，
设直线l的解析式为y＝mx+n，
把A ，C 代入得，
解得，
∴直线l的解析式为．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，图形的面积等知识，本题的关键是过点C作y轴的垂线，得到两个全等的三角形．