人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题20一次函数特殊图形的存在性问题-原卷版+解析

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◎考法类型1 直角三角形存在性问题
方法技巧：分类讨论哪个角为直角，一般分三种情况，简称“两垂线+一圆”
1．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，，是直线与两坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．
(1)求，，三点的坐标；
(2)点是折线上一动点．
①如图（1），当点是线段的中点时，在轴上找一点，使最小；用直尺和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点的坐标；
②是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点．
(1)求直线的解析式；
(2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：m＝______，b＝______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.
◎考法类型2 等腰三角形存在性问题
方法技巧：分类讨论哪两条边相等，一般分三种情况，简称“两圆+一中垂线”
5．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．
(1)求点A的坐标；
(2)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值．
(3)在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上一点，直接写出为等腰三角形时Q点的坐标．
6．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求线段的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．（2021秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接．
(1)求点、的坐标；
(2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标；
(3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点， 轴于点．
(1)求点和点的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
◎考法类型3 等腰直角三角形存在性问题
方法技巧：分类讨论哪个角为直角且哪两条边相等
9．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线相交于点C，过B作x轴的平行线l，点P为直线l上的动点．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若，求点P的坐标；
(3)在第一象限内是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（－1，0）、交y轴于点B（0，3）．
(1)求直线l对应的函数表达式；
(2)在直线l沿x轴正方向平移t个单位长度，得到直线m．若直线m上存在点C，使得△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求t的值．
11．（2022春·重庆·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线为交y轴于点，交x轴于点B，经过点且平行于y轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求点B的坐标；
(2)求的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当时，在第一象限找点C，使为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
12．（2021秋·山东济南·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．
（1）求出点、点的坐标；
（2）求的面积；
（3）在轴右侧有一动直线平行于轴，分别于、交于点、，且点在点的下方，轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
专题20 一次函数特殊图形的存在性问题
【考法导图】
◎考法类型1 直角三角形存在性问题
方法技巧：分类讨论哪个角为直角，一般分三种情况，简称“两垂线+一圆”
1．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，，是直线与两坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．
(1)求，，三点的坐标；
(2)点是折线上一动点．
①如图（1），当点是线段的中点时，在轴上找一点，使最小；用直尺和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点的坐标；
②是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)①作图见解析，；②点的坐标为或
【分析】（1）根据直线与坐标轴交点，解方程即可得到结论；
（2）①如图1，根据中点坐标公式得到，点关于轴的对称点的坐标为，设直线的解析式为，求得，于是得到结论；
②当点在上时，由得到，根据等腰直角三角形的性质得到；当点在上时，如图，设交轴于点，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】（1）解：在中，令，得；令，得，
，，
把代入，得，
直线为，
在中，令，得，
点的坐标为；
（2）解：①如图所示：
点是的中点，，，
，
点关于轴的对称点的坐标为，设直线的解析式为，
把，代入，得，解得，，
故直线解析式为，
点在轴上，
令，得点的坐标为；
②存在，
理由如下：当点在上时，设交轴于点，过作轴，如图1所示：
，
为等腰直角三角形，即，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
点的坐标为；
当点在上时，设交轴于点，如图2所示：
在与中，
，
，
点的坐标为，
，设直线的解析式为，则，解得，
直线的解析式为，
由图可知，点是直线与直线交点，
联立方程组，解得，
点的坐标为．
【点睛】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，联立方程组求解即可解决问题．
2．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点．
(1)求直线的解析式；
(2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在；或
【分析】（1）求出C点坐标，代入解析式可求解；
（2）先根据题意，求出，设点D，再根据即可求解；
（3）假设存在，设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，由直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
则有：时，；时，；
A，B，
，
点C是的中点，
，
C，
设直线的解析式为：，代入A，C可得：
，解得：，
直线的解析式为：；
（2）A，C，
，，
，
设点D，则，
，
解得：或，
点D的坐标为或；
（3）假设存在，设点P的坐标为，
A，B，C，
，，，
因为确定，所以是直角三角形需分2种情况分析：
①，此时点P与原点O重合，坐标为；
②，，即，
解得：，
此时点P的坐标为，
综上所述，满足条件的P点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形性质，勾股定理等，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：m＝______，b＝______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．
【答案】(1)3，6
(2)的面积为50
(3)存在，点M的坐标为
(4)所有符合条件的点P坐标为或
【分析】（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出；
（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积；
（3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标；
（4）由是直角三角形、是锐角，分和两种情况讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵是一次函数与的图象的交点，
∴，解得，
∴，解得，
故答案为：3，6；
（2）一次函数中，当时，；当时，，
∴，
一次函数中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为50；
（3）如图：
在线段上存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为，
∵的面积与四边形的面积比为，
∴，
∴，即，
∴，
∵点M在线段上，
∴点M的坐标为；
（4）点P在线段上，是锐角，若是直角三角形，则或，
设点，
∵，
∴，，，
当时，，
∴，
整理得，，
解得或（舍去），
∴点P坐标为；
当时，，
∴，
解得，
∴点P坐标为；
综上所述，所有符合条件的点P坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或
【分析】(1)令，即可求解；
(2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解；
(3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
所以点的坐标为；
（2）解：代入A、两点可得：，，
解得：，，
故，，
，
，
设原点到直线的距离为，
则，
解得：，
故原点到直线的距离为；
（3）解：存在，
设点的坐标为，根据题意可知不为直角，
所以当是直角三角形分两种情况：
①当时，此时点的坐标为；
②当，，
故，
解得：，
此时点的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想．
◎考法类型2 等腰三角形存在性问题
方法技巧：分类讨论哪两条边相等，一般分三种情况，简称“两圆+一中垂线”
5．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．
(1)求点A的坐标；
(2)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值．
(3)在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上一点，直接写出为等腰三角形时Q点的坐标．
【答案】(1)
(2)或4；
(3)或或．
【分析】（1）联立两条直线的解析式即可得出点A的坐标；
（2）由点P的坐标可得出点D，E的坐标，根据，求解可得a的值；
（3）由（2）可得点D，E的坐标，再结合等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：联立两条直线的解析式得：
，
解得：
∴；
（2）解：由题意可知，，，
∴，
解得或，
∴a的值为或4；
（3）设点Q的横坐标为b，，
当时，，，
若是等腰三角形，分以下三种情况：
当时，，
解得或（不合题意，舍去）；
时，，
解得或（不合题意，舍去）；
，此时x轴上不存在符合题意的点D，舍去；
当时，，，
若是等腰三角形，分以下三种情况：
当时，，
解得或（不合题意，舍去）；
时，，
解得（不合题意，舍去）；
，此时x轴上不存在符合题意的点D，舍去；
故点Q的坐标为或或．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，主要考查待定系数法、函数图象的交点、等腰三角形的性质、方程思想等知识．分类思想的运用是解题的关键．
6．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将沿直线对折，使点A和点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求线段的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为，点的坐标为
(2)
(3)存在，点坐标为，，，
【分析】（1）令，求出，，求出，即可得出答案；
（2）设，则，，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得出的长，然后求出的长，最后根据勾股定理求出的值即可；
（3）分，，三种情况分别求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：令，则，解得：；
令，则，
故点A的坐标为，点的坐标为．
（2）解：设，则，，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
，
．
（3）解：当时，点与点重合，此时；
当时，或；
当时，
∵，
∴，
∴；
综上分析可知，点坐标为，，，．
【点睛】本题主要考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握勾股定理，利用数形结合的思想，进行分类讨论．
7．（2021秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接．
(1)求点、的坐标；
(2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标；
(3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）令和即可求得点的坐标
（2）由为的边上的高，利用的面积即可求得点的坐标
（3）分三种情况讨论，即可求得点的坐标
【详解】（1）在中，
令，得，所以点的坐标为；
令，得，所以点的坐标为．
（2）设点的坐标为，
易得，．
因为为的边上的高，
所以，
解得，
所以点的坐标为．
（3）因为，，
所以．
当为等腰三角形时，需分以下三种情况：
①当时，因为，
所以．
又因为，
所以此时点的坐标为或；
②当时，因为，
所以，
所以此时点的坐标为；
③当时，如图．
设，则，，
所以，，
所以
解得，
所以此时点的坐标为．
综上所述，存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，属于综合题，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得点的坐标
8．（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点， 轴于点．
(1)求点和点的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或或
【分析】（1）把代入可得点的坐标，把代入可得点的坐标；
（2）根据待定系数法可求得直线的函数表达式；
（3）分三种情况：①当点为等腰的顶点，即时；②当点为等腰的顶点，即时；③当点为等腰的顶点，即时，分别进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，
∴当时，，
解得：，
∴，
∵点在直线上，
∴当时，，
∴，
∴．
∴点的坐标为，点的坐标为．
（2）设直线的函数表达式为，
∵点和点在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为．
（3）∵，轴于点，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
①当点为等腰的顶点，即时，
则点与点重合，
∴此时点的坐标为；
②如图，当点为等腰的顶点，即时，
∵，，
∴此时点的坐标为或；
③当点为等腰的顶点，即时，
∵，，
∴为的中点，即．
∵，，
∴此时点的坐标为．
综上可知，在轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质．分类讨论是解题的关键．
◎考法类型3 等腰直角三角形存在性问题
方法技巧：分类讨论哪个角为直角且哪两条边相等
9．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线相交于点C，过B作x轴的平行线l，点P为直线l上的动点．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若，求点P的坐标；
(3)在第一象限内是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)点P的坐标为或；
(3)点E的坐标为或．
【分析】（1）对于直线，分别令x、y等于0，即可求得点A、B坐标，解方程组即可求得点C的坐标；
（2）根据三角形的面积公式列式，求解即可；
（3）分①当点B为直角顶点，②当点A为直角顶点时，过点E作y轴或x轴的垂线，构造全等三角形，分别求出相应的点E的坐标即可．
【详解】（1）解：对于，
当时，；
当时，，解得，
∴．
联立解得
∴点C的坐标为；
（2）解：∵；，，点P在直线l上，
∴，点P的纵坐标为6．
解得，
∴点P的坐标为或；
（3）解：①当点B为直角顶点时，如图1：
过点E作轴于点G，则．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时点E的坐标为；
②当点A为直角顶点时，如图2：
作轴于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时点E的坐标为．
综上可知，第一象限内存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，点E的坐标为或．
【点睛】此题考查一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，构造直角三角形、全等三角形，解题过程中还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用．
10．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A（－1，0）、交y轴于点B（0，3）．
(1)求直线l对应的函数表达式；
(2)在直线l沿x轴正方向平移t个单位长度，得到直线m．若直线m上存在点C，使得△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求t的值．
【答案】(1)y＝3x＋3；
(2)t＝．
【分析】（1）用待定系数法求解析式；
（2）过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG于点H，易证△BCH≌△CAG（AAS），设OG＝x，根据全等三角形的性质可得方程2−x＝x，解方程可得C点坐标，即可求出t的值．
（1）
解：设直线l的函数表达式：y＝kx＋b，
代入A（−1，0），B（0，3），
得，
解得，
∴直线l对应的函数表达式：y＝3x＋3；
（2）
过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG于点H，图象如下：
则∠BHC＝∠CGA＝90°，
∴∠HBC＋∠HCB＝90°，
∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BCA＝90°，BC＝AC，
∴∠BCH＋∠GCA＝90°，
∴∠HBC＝∠GCA，
∴△BCH≌△CAG（AAS），
∴BH＝CG，HC＝AG，
设OG＝x，则AG＝HC＝1＋x，
∴CG＝3−（1＋x）＝2−x，
∴2−x＝x，
解得x＝1，
∴C（1，1），
设直线l平移后的解析式为y＝3（x−t）＋3，
代入C点坐标，得3（1−t）＋3＝1，
解得t＝．
【点睛】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，熟练掌握一次函数的性质与等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键，本题综合性较强．
11．（2022春·重庆·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线为交y轴于点，交x轴于点B，经过点且平行于y轴的直线交于点D，P是直线上一动点，且在点D的上方，设．
(1)求点B的坐标；
(2)求的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当时，在第一象限找点C，使为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
【答案】(1)（4，0）
(2)
(3)或或，或，
【分析】（1）将代入得，即知，令得；
（2）根据题意得，，，可得的面积为；
（3）由，得，设，，而，可得，，，分三种情况：①若、为直角边，则，，即，可得，②若，为直角边，，得；③若，为直角边，，得，或，．
（1）解：将代入得：，，令得：，解得，；
（2），，，；即的面积为；
（3），，解得，，设，，而，，，，①若、为直角边，则，，，解得或（舍去），，②若，为直角边，则，，，解得（舍去）或，；③若，为直角边，则，，，解得或，，或，，综上所述，的坐标为：或或，或，．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
12．（2021秋·山东济南·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．
（1）求出点、点的坐标；
（2）求的面积；
（3）在轴右侧有一动直线平行于轴，分别于、交于点、，且点在点的下方，轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）3;（3），或
【分析】（1）分别令即可求得的坐标；
（2）根据直线与交于点，联立直线解析式求得点的坐标，进而根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据题意作出图形，分类讨论，根据等腰三角形的性质分别求得点的坐标即可
【详解】（1）直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，
令，则，令，则
（2）直线与交于点，则
解得
（3）存在，点的坐标为，或
依题意，分别于、交于点、，且点在点的下方，
设，则，
则，
①如图，当时，过作，
则
即为的中点，
，则
即
解得
②当时，
，则，
则，
即
解得
③当时，
，则，
则，
即
解得
综上所述，点的坐标为，或．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点，直线围成的三角形的面积，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．