专题01 选择压轴题（函数类）-2024年中考数学压轴题（安徽专用）

这是一份专题01 选择压轴题（函数类）-2024年中考数学压轴题（安徽专用），文件包含专题01选择压轴题函数类原卷版docx、专题01选择压轴题函数类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。


通用的解题思路：
第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看，二次函数看对称轴与区间的位置关系；
第二步：当时，；当时，；所以.
一、二次函数的图象与a、b、c的关系
1、确定a、b、c符号：
（1）a决定开口方向（a>0开口向上，a<0开口向下）；
（2）a、b决定对称轴与y轴位置（左同右异）；
（3）c决定与y轴交点（c=0经过原点，c>0与y轴正半轴相交，c<0与y轴负半轴相交）。
2、判断与a、b、c相关的常见代数式与0的大小关系：
（1）看抛物线与x轴交点；
（2）看对称轴的位置；
（3）代入特殊值。
二、二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。
若自变量的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处时，取到最值.
若，如图②，当时，；当时，.
若，如图③，当，；当，.
若，且，，如图④，当，；当，.

三、分析函数图象需要注意三点：
1、关注横、纵轴：从图像上判定函数与自变量的关系，弄清横、纵轴代表的意义；
2、关注特殊点：理解起点、终点；
3、关注每一截线段。
四、反比例函数中与k相关的求值分类方法
1、已知反比例函数求图形面积，关键是确定相关点的坐标：
（1）若坐标可求，图形面积易得；
（2）若坐标不可求，可利用k的几何意义；
（3）也可设出点的坐标用式子表示。
2、确定反比例函数的解析式时，若无法直接求出其图象上某点的坐标，则可以通过图像上某点向坐标轴作垂线，求出相应图形的面积，从而确定k的值，注意k的符号。
1．（2022·山东济南·中考真题）抛物线y=−x2+2mx−m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点Mm−1,y1，Nm+1,y2为图形G上两点，若y1A．m<−1或m>0B．−12【答案】D
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
【详解】抛物线解析式y=−x2+2mx−m2+2变形为：y=2−(x−m)2，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有y=2−(m−1−m)2=1，
当x=m+1时，有y=2−(m+1−m)2=1，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有y=2−(0−m)2=2−m2，
∴C点坐标为(0,2−m2)，
当x=m时，有y=2−(m−m)2=2，
∴抛物线顶点坐标为(m,2)，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为y=2−m2，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有y1=y2=1，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足y1=y2，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足y1＜y2，
∴此时符合题意；
此时由图可知：m−1＜0＜m+1，
解得−1＜m＜1，
综上所述：m的取值范围为：−1＜m＜1，
故选：D．
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．
2．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线y=x+1、y=x−1与双曲线y=kxk>0分别相交于点．若四边形ABCD的面积为4，则k的值是（ ）

A．34B．22C．45D．1
【答案】A
【分析】连接四边形ABCD的对角线AC、BD，过D作DE⊥x轴，过C作CF⊥x轴，直线y=x−1与x轴交于点M，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定S△COD=14S四边形ABCD=1=12OM⋅DE+CF，再求出直线y=x−1与x轴交于点M1,0，通过联立y=x−1y=kx求出C、D纵坐标，代入方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接四边形ABCD的对角线AC、BD，过D作DE⊥x轴，过C作CF⊥x轴，直线y=x−1与x轴交于点M，如图所示：

根据直线y=x+1、y=x−1与双曲线y=kxk>0交点的对称性可得四边形ABCD是平行四边形，
∴S△COD=14S四边形ABCD=1=12OM⋅DE+CF，
∵直线y=x−1与x轴交于点M，
∴当y=0时，x=1，即M1,0，
∵y=x−1与双曲线y=kxk>0分别相交于点C、D，
∴联立y=x−1y=kx，即y=ky−1，则y2+y−k=0，由k>0，解得y=−1±1+4k2，
12×1×−1+1+4k2−−1−1+4k2=1，即4k+1=2，解得k=34，
故选：A．
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
3．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【详解】解：∵∠MAN=60°，AC=AB=6，
∴△ABC是边长为6的正三角形，
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD=30°，AD⊥BC，CD=DB=3，
①当矩形全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0
∵EG∥AC，
∴∠MAD=∠AGE=30°，
∴∠NAD=∠AGE=30°，
∴AE=EG=x，
在Rt△AEF中，∠EAF=60°，
∴EF=32AE=32x，
∴S=32x2；
②如图3时，当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC，
则x+12x=6，解得x=4，
由图2到图3，此时3
如图4，记BC，EG的交点为Q，则△EQB是正三角形，
∴EQ=EB=BQ=6−x，
∴GQ=x−6−x=2x−6， 而∠PQG=60°，
∴PG=3QG=32x−6，
∴S=S矩形EFHG−S△PQG
=32x2−12×2x−6×32x−6
=−332x2+123x−183，
③如图6时，x=6，由图3到图6，此时，

如图5，同理△EKB是正三角形，
∴EK=KB=EB=6−x，FC=AC−AF=6−12x，EF=32x，
∴S=S梯形EKCF
=126−x+6−12x×32x
=−338x2+33x，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，
故选：A．
【分析】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
1．（2024·安徽合肥·一模）对于二次函数y=ax2+bx+c，定义函数y=ax2+bx+cx≥0−ax2−bx−cx<0是它的相关函数．若一次函数y=x+1与二次函数y=x2−4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点，则c的值可能是（ ）
A．B．0C．12D．2
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，分两种情况解答：①一次函数y=x+1分别与y=x2−4x+cx≥0，y=−x2+4x−c(x<0)相交一点；②一次函数y=x+1与y=x2−4x+cx≥0有两个交点，与y=−x2+4x−c(x<0)不相交 ；求出c的取值范围，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：当x≥0时，二次函数y=x2−4x+c的相关函数为y=x2−4x+c
当x<0时，二次函数y=x2−4x+c的相关函数为y=−x2+4x−c，
∴二次函数y=x2−4x+c的相关函数为y=x2−4x+cx≥0−x2+4x−c(x<0)，
二次函数y=x2−4x+c的图象开口向上，与y轴的交点为0,c，对称轴为直线x=−b2a=2,
当0≤x<2时，y随x的增大而减小，当 x>2时，y随x的增大而增大；
二次函数y=−x2+4x−c的图象开口向下，与y轴的交点为0,−c，对称轴为直线x=−b2a=2，当x<0时，y随x的增大而增大；
一次函数y=x+1与y轴的交点为
一次函数y=x+1与二次函数y=x2−4x+c的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况：
①一次函数y=x+1分别与y=x2−4x+cx≥0，y=−x2+4x−c(x<0)相交一点，
则有c<1−c>1，
解得；
②一次函数y=x+1与y=x2−4x+cx≥0有两个交点，与y=−x2+4x−c(x<0)不相交 ，
则有c≥1−c<1，
解得c≥1，
且x+1=x2−4x+c，
即x2−5x+c−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=−52−4c−1>0，
解得c<294，
∴1≤c<294；
综上所述，或1≤c<294，
∴c的值可能是2，
故选：D．
2．（2024·山东济南·一模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点1，3与点12，2都是函数y=2x+1图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数y=(x−n)2+n2−6的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A．1≤n≤65B．65≤n≤2C．2≤n≤3D．1≤n≤3
【答案】D
【分析】本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线x=n上移动，当二次函数图象过点(−n，−n)和点(n，n)时为临界情况，求出此时n的值，进而可得n的取值范围．
【详解】解：由题意得：二次函数y=(x−n)2+n2−6的图象上的顶点坐标为：n，n2−6，
∵y关于x的二次函数y=(x−n)2+n2−6的图象存在“n阶方点”，
∴二次函数y=(x−n)2+n2−6的图象与以坐标为(−n,−n)，(n,−n)，(−n,n)，(n,n)的正方形有交点，
当二次函数y=(x−n)2+n2−6恰好经过(−n，−n)时，则5n2+n−6=0，
解得：n=1或n=−65（舍去）；
如当二次函数y=(x−n)2+n2−6恰好经过(n，n)时，则n2−n−6=0，
解得n=3或n=−2（舍去）；
∴当1≤n≤3时，二次函数y=(x−n)2+n2−6的图象存在“n阶方点”，
故选D．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：m=12a2−a−120≤a≤4，n=4b1≤b≤4，m+n=2，则下列说法中正确的是 （ ）
A．n有最大值4，最小值1B．n有最大值3，最小值−32
C．n有最大值3，最小值1D．n有最大值3，最小值52
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值；
【详解】由题意得，m=12a2−a−12=12(a−1)2−1，
∵12>0，
∴当a=1时，m 有最小值，当a=4时，m有最大值72，
∴−1≤m≤72，
∵n=4b，4>0，
∴当1≤b≤4时，n随着b的增大而减小，
∴当时，n 有最小值1，
当a=1时，n有最大值4，
∴1≤n≤4，
∵m+n=2，
∴m=2−n，
∵−1≤m≤72
∴−1≤2−n≤72，
解得：−32≤n≤3，
∵1≤n≤4，
∴1≤n≤3，
∴n有最大值3，最小值1；
故选：C．
4．（2024·江苏扬州·一模）平面直角坐标系xOy中，直线y=3x与双曲线y=kxk>0相交于A，B两点，其中点B在第三象限．设M−1,n为双曲线y=kxk>0上一点（点M异于点B），直线AM，BM分别交x轴于C，D两点，则C，D两点横坐标的和为（ ）
A．0B．C．−1.5D．−2
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，确定直线AM，BM的解析式是解题的关键．设A，M，B三点坐标，根据题意可得k=3a2=−n，易得n=−3a2，即M−1,−3a2，分别表示出直线AM，BM的解析式，令y=0可计算出点C和D的横坐标，相加即可得到结论．
【详解】解：∵直线y=3x与双曲线y=kxk>0相交于A，B两点，
设Aa,3a，则B−a,−3a，
∴k=a×3a=3a2，
∵M−1,n为双曲线y=kxk>0上一点，
∴k=−n，
∴n=−3a2，
∴M−1,−3a2，
设直线AM的解析式为y=k1x+b1k1≠0，
将点Aa,3a，M−1,−3a2代入，
可得3a=ak1+b1−3a2=−k1+b1，解得k1=3ab1=−3a2+3a，
∴直线AM的解析式为y=3ax+3a−3a2，
令y=0，可得3ax+3a−3a2=0，解得x=a−1，
∴Ca−1,0，
设直线BM的解析式为y=k2x+b2k2≠0，
将点B−a,−3a，M−1,−3a2代入，
可得−3a=−ak2+b2−3a2=−k2+b2，解得k2=−3ab2=−3a2−3a，
∴直线BM的解析式为y=−3ax−3a2−3a，
令y=0，可得−3ax−3a2−3a=0，解得，
∴D−a−1,0，
∵a−1+−a−1=−2，
∴C，D两点横坐标的和为−2．
故选：D．
5．（2023·辽宁辽阳·模拟预测）如图，等腰直角△ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，A点横坐标为1，两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=kxk≠0与△ABC有交点，则k的取值范围（ ）
A．1【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求出A、B两点坐标，再分别经过A、B两点时k的值即可得出k取值范围，求出A、B两点坐标是解题的关键．
【详解】解：∵点A在直线y=x上，A点的横坐标为1，
∴把x=1代入y=x得，y=1，
∴A的坐标是1,1，
∵AB=AC=2，
∴B点的坐标是3,1，C点的坐标是1,3，
∴BC的中点坐标为2,2，
当双曲线y=kx经过点1,1时，k=1；
当双曲线y=kx经过点2,2时，k=4；
∴1≤k≤4，
故选：C．
6．（2024·湖南常德·一模）将抛物线y=−x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线y=x+m有4个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤−5B．−214≤m<−5C．−214【答案】C
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解方程−x2+2x+3=0得−1,0，3,0，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=x+1x−3，即y=x2−2x−3−1≤x≤3，然后求出直线y=x+m经过点3,0时m的值和当直线y=x+m与抛物线y=x2−2x−3−1≤x≤3有唯一公共点时m的值，即可得解．掌握抛物线与x轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换．
【详解】解：对抛物线y=−x2+2x+3，
当y=0时，得：−x2+2x+3=0，
解得：x=−1或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为−1,0、3,0，
∵将抛物线y=−x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，
∴新图像中当−1≤x≤3时，解析式为y=x+1x−3，即y=x2−2x−3，如图，
当直线y=x+m经过点3,0时，此时直线y=x+m与新函数图像有3个交点，
把3,0代入直线y=x+m，解得：m=−3，
将直线y=x+m向下平移时，有4个交点，
当y=x2−2x−3与直线y=x+m有一个交点时，此时直线y=x+m与新函数图像有3个交点，
整理得：x2−3x−3−m=0，
∴−32−4−3−m=0，
解得：m=−214，
综上所述，新图像与直线y=x+m有4个交点时，m的取值范围是−214故选：C．
7．（2023·安徽·二模）如图，A，B两点分别为⊙O与x轴，y轴的切点．AB=22，C为优弧AB的中点，反比例函数y=2kxx>0的图象经过点C，则k的值为（ ）

A．3+22B．8C．16D．32
【答案】A
【分析】连接OA,OB,OC，过点C作轴于点D，延长AO交CD于点E，根据切线的性质，等弧所对的圆心角相等，易得△AOB,△COE为等腰直角三角形，四边形OABF为正方形，四边形BDEO为矩形，求出点C的坐标即可．
【详解】解：连接OA,OB,OC，过点C作轴于点D，延长AO交CD于点E，

则：OA=OB=OC，
∵A，B两点分别为⊙O与x轴，y轴的切点，
∴OB⊥x轴，OA⊥y轴，
∴OA∥x轴，
∴OA⊥OB，
∴四边形AOBF为正方形；
∵AB=22，
∴OA=OB=2，
∴OC=2，BF=2；
∵轴，OB⊥x轴，OA⊥OB，
∴四边形BDEO为矩形，
∴∠OEC=90°,DE=OB=2,∠BOE=90°，OE=BD，
∵C为优弧AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=12360°−90°=135°，
∴∠COE=∠BOC−∠BOE=45°，
∴OE=CE=22OC=2，
∴CD=CE+DE=2+2,DF=BF+BD=2+2，
∴C2+2,2+2，
∴2k=2+22，
∴k=3+22，
故选A．
【分析】本题考查求反比例函数的k值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图形．本题的综合性较强，难度较大．
8．（2023·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，A6，0、B0，8，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为（ ）
A．3.6B．4.8C．32D．33
【答案】B
【分析】过CD的中点G作EF的垂线与AB交于点M，过点O作OH⊥AB于H，连接OG、FG，先求出OA=6，OB=8，进而求出AB=10，再根据等面积法求出OH=4.8，由直角三角形斜边中线的性质得到OG=FG=3，由垂径定理得到EF=2FM，由FM=9−GM2，可知当GM最小时，FM最大，即EF最大，再由OG+GM≥OH，得到GM最小值=1.8，则FM最大值=9−1.82=2.4，即可得到EF最大值=4.8．
【详解】解：过CD的中点G作EF的垂线与AB交于点M，过点O作OH⊥AB于H，连接OG、FG
∵A6,0，B0,8
∴OA=6，OB=8，
∴，
∵S△ABC=12OA⋅OB=12AB⋅OH，
∴OH=OA⋅OBAB=4.8；
∵CD=6，∠COD=90°，G为CD的中点，
∴OG=FG=12CD=3，
∵GM⊥EF，
∴∠GMF=90°，EF=2FM，
∴FM=GF2−GM2=9−GM2，
∴当GM最小时，FM最大，即EF最大，
∵OG+GM≥OH，
∴3+GM≥4.8，
∴GM≥1.8，即GM最小值=1.8，
∴FM最大值=9−1.82=2.4，
∴EF最大值=4.8．
故选B．
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
9．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=−1，与x轴分别交于A，B两点，交y轴于点C．现有下列结论：①a+b+c>0；②b2−4ac>0；③3a+c<0；④ax2+bx+a≥0．其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据x=1时y=a+b+c>0，可判断①；根据抛物线与x轴有两个交点，可判断②；根据对称轴为直线x=−1，可得−b2a=−1，结合①可判断③；根据y=ax2+bx+a与x轴的交点位置，可判断④．
【详解】解：由图可知，当x=1时，y=a+b+c>0，
故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个不相等的实数根，
∴，
故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，
∵a+b+c>0，
∴a+2a+c=3a+c>0，
故③错误；
由图可知，当x=−1时，y取最小值，最小值为，
y=ax2+bx+a的图象相当于y=ax2+bx+c的图象上向平移a−c个单位，
∵a−b+c+a−c=2a−b=0，
∴y=ax2+bx+a的图象与x轴有且只有一个交点，
又∵抛物线开口向上，
∴ax2+bx+a≥0，
故④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选C．
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
10．（2023·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=32x2−32x−3的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为（ ）
A．334B．32C．D．543
【答案】A
【分析】作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P'，可求得∠ABO=30°，从而得出PE=12PB，进而得出，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P'，
抛物线的对称轴为直线x=−−322×32=12，
∴OD=12，
当x=0时，y=−3，
∴OB=3，
当y=0时，32x2−32x−3=0，
∴x1=−1，x2=2，
∴，
∴OA=1，
∵tan∠ABO=OAOB=13=33，
∴∠ABO=30°，
∴PE=12PB，
∴，当点P在P'时，PD+PE最小，最大值等于DF，
在Rt△ADF中，∠DAF=90°−∠ABO=60°，，
∴DF=AD⋅sin∠DAE=32×32−334，
∴(12PB+PD)最小=DF=334，
故选：A．
【分析】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB．
11．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，边BC∥x轴，顶点A，B均落在反比例函数y=kx(x>0,y>0)的图象上，延长AB交x轴于点F，过点C作DE∥AF，分别交OA，OF于点D、E，若OD=2AD，则S△ACDS四边形BCEF为（ ）
A．1：4B．1：5C．1：6D．2：10
【答案】C
【分析】连接OC，延长AC交x轴于G，过B作BH⊥x轴于，过A作AP⊥y轴于P，延长BC交y轴于Q，依据反比例函数系数k的几何意义，即可得到S矩形APOG=S矩形BQOH，进而得出S矩形APQC=S矩形BCGH，再根据S△AOC=S矩形APQC，OD=2AD，即可得到S△ACD=S△AOC= S矩形APQC，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OC，延长AC交x轴于G，过B作BH⊥x轴于，过A作AP⊥y轴于P，延长BC交y轴于Q，
∵顶点A，B均落在反比例函数y=kx(x>0,y>0)的图象上，
∴S矩形APOG=S矩形BQOH=k，
∴S矩形APQC=S矩形BCGH，
∵BC∥GF
∴S平行四边形BCEF=S矩形BCGH，
∴S矩形APQC=S平行四边形BCEF，
∵AC∥PO，
∴S△AOC=S矩形APQC，
∵OD=2AD，
∴S△ACD=S△AOC= S矩形APQC，
∴S△ACDS四边形BCEF=16，
故选：C．
【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
12．（2023·浙江温州·一模）如图，△AOC的顶点A在第一象限内，边OC在x轴正半轴上，点O为原点，反比例函数y=kx(x>0)交AO于点E，交AC于点B，且点E为AO中点，，若△ABE的面积为14，则k的值为（ ）
A．143B．283C．403D．523
【答案】C
【分析】题目主要考查分比例函数与三角形面积综合问题，根据题意，过点E作EF⊥AC于点F，确定S△BEC=14S△ABE=72，设Ea,ka，设Cb,0，利用三角形面积及相似三角形的判定和性质求解即可，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键
【详解】解：由题意得：，OE=AE=12OA，，S△ABE=14，
过点E作EF⊥AC于点F，过点A作AH⊥x轴，过点B作BJ⊥x轴，如图所示：
∴AH∥BJ，
∴△BCJ∽△ACH，
∴S△ABES△BEC=12EF⋅AB12EF⋅BC=4，
∴S△BEC=14S△ABE=72，
设Ea,ka，
∴A2a,2ka，
设Cb,0，
∴OC=b，且S△AOC=12yA⋅OC=b2×2ka=bka，
又S△AOC=2S△AEC=2S△ABE+S△BEC=35，
∴bka=35，
∵BCAC=5，
∴2kayB=5，
∴yB=2k5a，xB=k⋅5a2k=5a2，
∵b−2ab−5a2=5，
整理得：b=21a8，
代入bka=35得：k=403，
故选：C
13．（2024·四川达州·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y=13x2−2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为0,−4，连接PA，PB．有以下说法：①∠APO=∠BPO；②PO2=PA⋅PB；③△PAB面积的最小值为26．其中所有的正确说法是（ ）
A．①B．①②C．①③D．②③
【答案】A
【分析】设Am,km，Bn,nk，其中m<0，n>0，联立y=kxy=13x2−2得，从而得出m+n=3k，mn=−6，待定系数法得出直线PA的解析式为：y=km+4mx−4，从而得出直线PA与x轴的交点坐标为4mkm+4,0，同理可得：直线PB的解析式为：y=kn+4nx−4，直线PB与x轴的交点坐标为4nkn+4,0，由4mkm+4+4nkn+4=0得出直线PA、PB关于y轴对称，即可判断①；由直线PA、PB关于y轴对称，得出点A关于y轴的对称点A'落在PB上，连接OA'，则OA'=OA，∠POA=∠POA'，假设PO2=PA⋅PB，即PO2=PA'⋅PB，证明△POA'∽△PBO得出∠AOP=∠PBO，再由三角形外角的定义及性质即可判断②；表示出S△PAB=S△PAO+S△PBO=29k2+24，再由二次根式的性质即可得出答案，从而判断③．
【详解】解：设Am,km，Bn,nk，其中m<0，n>0，
联立y=kxy=13x2−2得：，
整理得：，
∴m+n=3k，mn=−6，
设直线PA的解析式为：，
将Am,km，P0,−4代入解析式得：ma+b=kmb=−4，
解得：a=km+4mb=−4，
∴直线PA的解析式为：y=km+4mx−4，
令y=0，则km+4mx−4=0，
解得x=4mkm+4，
∴直线PA与x轴的交点坐标为4mkm+4,0，
同理可得：直线PB的解析式为：y=kn+4nx−4，直线PB与x轴的交点坐标为4nkn+4,0，
∵4mkm+4+4nkn+4=0，
∴直线PA与x轴的交点与直线PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称，
∴∠APO=∠BPO，故①正确，符合题意；
∵直线PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A'落在PB上，
连接OA'，则OA'=OA，∠POA=∠POA'，
，
假设PO2=PA⋅PB，即PO2=PA'⋅PB，
∴POPA'=PBPO，
∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA'∽△PBO，
∴∠POA'=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO，
∵∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP>∠PBO，故假设不成立，故②错误，不符合题意；
S△PAB=S△PAO+S△PBO
=12OP⋅−m+12OP⋅n
=12OP⋅n−m
=2n−m
=2m+n2−4mn
=29k2+24，
当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为46，故③错误，不符合题意；
综上所述，正确的是①，
故选：A．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
14．（2024·安徽合肥·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC．AB与矩形DEFG的一边EF都在直线l上，其中AB=4、DE=1、EF=3，且点B位于点E处．将△ABC沿直线，向右平移，直到点A与点E重合为止．记点B平移的距离为x，△ABC与矩形DEFG重叠区域面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据CB经过点D和CA经过点D时计算出x=1和x=3，再分0≤x≤1，和3【详解】解：当BC经过点D时，如图所示：
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠DBE=45°，
∵DE=1，∠DEB=90°，
∴EB=DEtan45°=11=1；
当AC经过点D时，如图所示：
∵∠A=45°，DE=1，
∴AE=1，
∴EB=AB−AE=4−1=3；
①当0≤x≤1时，如图所示：
此时，∠HBE=45°，
∴HE=tan45°⋅EB=x，
∴y=12EB⋅HE=12x⋅x=12x2；
②当时，如图所示：
过M作MN⊥AB于N，
此时，MN=1，∠MBN=45°，
，
∵EB=x，
∴EN=EB−NB=x−1，
∵四边形DENM是矩形，
∴DM=EN=x−1，
∴y=12(DM+EB)⋅DE=12(x−1+x)×1=x−12；
③当3此时IR=1，∠IBR=45°
∴BR=1，
∵EB=x，
∴ER=DI=x−1，AE=AB−EB=4−x，
，
∴TE=AE⋅tan45°=4−x，
∵DE=1，
∴DT=DE−TE=1−(4−x)=x−3，
∵DG∥AB，
∴∠DKT=45°，
∴DK=DTtan45°=x−31=x−3，
∴y=S四边形DERI+SΔIRB−SΔDTK=1×x−1+12×1×1−12×(x−3)2=−12x2+4x−5．
故选：D．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解三角形等知识，关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算．
15．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，CD⊥AD，∠BCD=90°,AB=BC=4，动点P，Q同时从A点出发，点Q以每秒2个单位长度沿折线A−B−C向终点C运动；点P以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△APQ的面积为y个平方单位，则y随x变化的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分当0≤x<2时，点Q在AB上和当2≤x≤4时，点Q在BC上，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：过Q作QN⊥AD于N，当0≤x<2时，点Q在AB上，

∵∠A=60°，
∴∠AQN=90°−60°=30°,
∴12AQ=12×2x=x，
∴QN=AQ2−AN2=3x，
∴y=12×AP×NQ=12×x×3x=32x2，
当2≤x≤4时，点Q在BC上，过点B作BM⊥AD于点M，

∵BM⊥AD，∠A=60°,
∴∠ABM=30°,
∴12AB=12×4=2，
∴，
∵CD⊥AD，QN⊥AD，
∴QN∥CD,
∴∠BQN=∠BCD=90°,
∵BM⊥AD,CD⊥AD，
∴四边形BMNQ是矩形，
∴QN=BM=23,
y=12AP⋅QN=12x×23=3x，
综上所述，当0≤x<2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分，
故选：D．
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
16．（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC为等腰直角三角形，，正方形DEFG的边长为1，且AB与DE在同一条直线上，△ABC从点B与点D重合开始，沿直线DE向右平移，直至点A与点E完全重合时停止．设BD的长为与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，抛物线的解析式及其图像，分割法计算面积，分类思想，图像信息的获取与处理，利用分类思想，表示不同阶段的图形面积，再画出大致图像即可．
【详解】解：①当0≤x≤1时，∵△ABC为等腰直角三角形，，正方形DEFG的边长为1，
∴∠GDE=90°,∠DBC=45°
∵设BD的长为x,
∴y=12BD2=12x2；
②当1∵设BD的长为x,
∴BE=BD−DE=x−1,AD=AB−BD=2−x,
∵,
∴y=12ABGD−12AD2−12BE2
=12×2×1−12(2−x)2−12(x−1)2
=−x2+3x−32=−x−322+34；
③当2AE=DE−AD=1−x−2=3−x，
∴y=12AE2
=12(3−x)2．
∴．观察图像，知B项正确，
故选：B．
17．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC中，∠B=60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为1cm/s．点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D．点D运动2s时，点P与点A重合．△PBD的面积Scm2与运动时间ts的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当Scm2取最大值时，PD的长为（ ）
A．23cmB．1+3cmC．1+23cmD．2+23cm
【答案】B
【分析】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．
先根据点D运动2s时，点P与点A重合．从而求得PD=PB2−BD2=23cm，再由函数图象求得BC=2+23×1=2+23cm，从而求得DC=BC−BD=2+23−2=23cm，得出PD=DC，然后根据由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．所以当2≤t≤2+23时，点P在AC边上，此时BD=t×1=tcm，PD=DC=2+23−tcm，根据三角形面积公式求得S△PBD=−12t−1+32+2+3，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由题意知，点D运动2s时，点P，D的位置如图1所示．
此时，在中，BD=2cm，∠B=60°，PD⊥BC，
∴PB=2BD=4cm，
∴PD=PB2−BD2=23cm．
由函数图象得BC=2+23×1=2+23cm，
∴DC=BC−BD=2+23−2=23cm，
∴PD=DC．
由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．
当2≤t≤2+23时，点P在AC边上，如图2，
此时BD=t×1=tcm，PD=DC=2+23−tcm，
∴S△PBD=12×BD×PD=12×t×2+23−t=−12t2+1+3t．
∵S△PBD=−12t−1+32+2+3，
又∵，
∴当t=1+3时，S△PBD的值最大，
此时PD=CD=2+23−1+3=1+3cm．
故选：B．
18．（2023·广西·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=43cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设运动时间为ts，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=43，
∴∠B=60°，BC=12AB=23，，
∵CD⊥AB，
∴CD=12AC=3，AD=3CD=33，BD=12BC=3，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
MD=AM−AD=33−3t，DN=DC＋CN=3+t，
∴S=12MDDN=1233−3t3+t=−32t2+932，
当M在BD上时，3＜t≤4，
MD=AD−AM=3t−33，
∴S=12MDDN=123t−333+t=32t2−932，
故选：B．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
19．（2023·山东聊城·模拟预测）如图，在 Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=35，∠ACB=90°，过点 C向AB作垂线，垂足为D．直线m,n垂直于AB，直线m分别与AB,AC相交于点M,N，直线n分别与AB,BC相交于点P、Q．直线m从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点D运动，到达点D时停止运动；同时，直线n从点B出发，沿BA方向以相同的速度向点D运动，到达点D时停止运动．若运动过程中直线m、n及△ABC围成的多边形MNCQP的面积是ycm2 ，直线m的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．分别求出当0【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点 C向AB作垂线，
∴，
∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
同理∠B=∠ACD
∵AB=10cm，sinA=35，
∴BC=AB⋅sinA=6，
在Rt△ABC中，运用勾股定理得AC=8，
∵12AB⋅CD=12AC⋅BC，∴CD=245，
由sinA=35得：csA=45,tanA=43，
当0由tanA=43，tanB=34得：MN=34x,QP=43x，AD=325,BD=185，
∴MD=325−x,DP=185−x，
∴y=S五边形MNCQP12MN+CD⋅MD+12QP+CD⋅DP
=12245+34x325−x+12245+43x185−x=−2524x2+24；
当185≤x<325时，
y=S四边形MND=12MN+CD⋅MD=1234x+245325−x
=−38x2+38425．
∴y=−2524x2+240故选：A．
20．（2024·浙江嘉兴·一模）如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．设AE=x，DF=y，已知x，y满足反比例函数y=kxk>0，x>0，其图像如图2所示，则矩形ABCD的面积为（ ）．
A．45B．9C．10D．55
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的动点问题、勾股定理等知识点，正确从函数图像上获取信息成为解题的关键．
由图可知，当E与点B重合时，AE最小，DF与AD重合，此时x=5=AB，y=a=AD；当E与点C重合时，AE最大，AE与AC重合，根据AB2+BC2=AC2，矩形ABCD的面积=AB⋅AD=AC⋅DH，据此列方程求解即可．
【详解】解：如图：连接AC．
由函数图像可知：AB=5，AD=a，AC=b，D到AC的距离等于2．
∵AB2+BC2=AC2，矩形ABCD的面积=AB⋅AD=AC⋅DH，
∴52+a2=b25a=2b，解得：a=25b=5（负数已经舍去）
∴矩形ABCD的面积为=AB⋅AD=5×25=10，
故选C．