专题09 解答题压轴题（几何综合训练02）-2024年中考数学压轴题（安徽专用）

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通用的解题思路：
解决矩形翻折问题：
利用折叠和矩形性质找出对应线段关系；
在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理构造方程求解。
2、十字架模型：

3、动态问题中的线段长度最值
通常利用三点共线解决，关键在于找到与这条线段两个端点之间恒为定长的点。
4、奔驰模型：
解题方法是旋转一边利用等边三角形构造“手拉手”模型证全等，结合勾股定理的逆定理得到结论。
5、线段长度、比值及最值问题：
（1）特殊图形、全等、相似、勾股定理；
（2）圆中垂径定理。
1．（2023·安徽·中考真题）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段绕点M旋转至位置，点D在直线AB外，连接．

(1)如图1，求∠ADB的大小；
(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．
（ⅰ）如图2，连接CD，求证：BD=CD；
（ⅱ）如图3，连接，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．
2．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
3．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE//CD，DE//AB，作CF//AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2，若AB=9，，∠ECF=∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC的值．
1．（2024·安徽·一模）问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD是边AB上的高，点E为AC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC于点F．
猜想与证明：
（1）如图1，当点E为边AC的中点时，试判断点F是否为边BC的中点；
（2）如图2，连接EF，试判断△DEF与△ABC是否相似；
问题解决：
（3）如图3，当CE=CF时，试求线段CF的长．
2．（2024·安徽六安·一模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，AB上的动点．
(1)已知∠A=90°，EG⊥EF交▱ABCD的一边于点G，．
①如图1，若点G在CD上，求证：．
②如图2，若点G在BC上，且FA=3，AE=8，求的长．
(2)如图3，∠A≠90°，点G在BC上，且∠FEG=∠BAD，若ABAD=45，AEAD=37，求EFEG的值．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，在正方形ABCD中，点F是CD的中点，连接并延长，与BC的延长线交于点E，作∠BAE的平分线交DC的延长线于点G，分别交BD，BC于点H，M．
(1)如图1，求的值；
(2)如图1，求证：△CGE≌△BMA；
(3)如图2，连接HF，FM，求证：FH=FM．
4．（2024·安徽合肥·一模）如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD=AF．
(1)求证：△ABF∽△CBD；
(2)求证：；
(3)若DF=2，求．
5．（2024·安徽合肥·一模）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为AC上一点，连接BD，点E是AB的中点，连接CE，交BD于点F，过点C作CG⊥BD于点G．
(1)求证：△CFG∽△BFE；
(2)如图②，连接，解决以下问题：
①求∠EGB的度数；
②求证：BG−CG=2EG．
6．（2024·安徽宿州·一模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AD=BC，OA=OB．
(1)如图1，若∠DAC=∠CBD；
①求证：AB∥CD；
②点E在边AB上，且CE平分，BE=DE，求证：四边形BCDE为菱形；
(2)如图2，AD与BC的延长线交于点E，若∠E=α，求∠AOB的度数．
7．（2023·安徽·模拟预测）在▱ABCD中，点E,F分别在射线AB和DA上，连接DE和CF相交于点．
(1)如图1，当AD=DC,∠ADC=90°时，求证：DE=CF．
(2)如图2，当AD=DC，但∠ADC≠90°时，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)如图3，，直接写出CF的长．
8．（2024·上海虹口·二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在射线DA上，点F在射线AB上，连接CE、DF相交于点P，∠EPF=∠ABC．
(1)如图①，如果AB=CD，点E、F分别在边AD、AB上．求证：AFDE=DFCE；
(2)如图②，如果AD⊥CD，AB=5，BC=10，cs∠ABC=35．在射线DA的下方，以DE为直径作半圆O，半圆O与CE的另一个交点为点G．设DF与弧EG的交点为Q．
①当DE=6时，求EG和的长；
②当点Q为弧EG的中点时，求的长．
9．（2024·云南·模拟预测）菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，0°<∠ABO≤60°，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE∥DC交射线OC于点E，以OE,OG为邻边作矩形EOGF．

(1)如图①，当点F在线段DC上时，求证：DF=FC；
(2)若延长AD与边GF交于点H，将△GDH沿直线AD翻折180°得到△MDH．
①如图②，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；
②如图③，当tan∠ABO为定值m时，设DG=k⋅DO，k为大于0的常数，当且仅当k>2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．
10．（2024·江苏苏州·一模）已知矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE于点F．
(1)如图1，若BE=2，求AE·AF的值；
(2)如图2，连接AC交DF于点G，若AGCG=23，求cs∠FCE的值；
(3)如图3，延长DF交AB于点G，若G点恰好为AB的中点，过A作AK∥FC交FD于K，设△ADK的面积为S1，△CDF的面积为，则S1S2的值为 ．
11．（2024·重庆·模拟预测）在等腰△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，D是AC边上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转135°得到DE，连接CE．
(1)如图1，当点E落在BA边的延长线上时，连接AE，BD=52，求S△BCD；
(2)如图2，取CE的中点F，连接DF，，求证：AF⊥DF；
(3)如图3，当BD⊥AC时，点G是直线CE上一动点，连接DG，将△CDG沿着DG翻折得到△C'DG，连接、BC'，若AB=2+2，请直接写出的最小值．
12．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，P是AB边上的动点，BE⊥DP交DP延长线于点E，交DP于点F，连接CF．
(1)求证：；
(2)当点P运动到AB的中点时，试探究线段EF与CF的关系，并说明理由；
(3)当△ABE的面积最大时，求PBPA的值．
13．（2024·江苏苏州·一模）（1）问题解决：如图1，点B、C、D在一条直线上，∠B=∠ACE=∠D，求证：△ABC∽△CDE；
（2）问题探究：在（1）的条件下，若点C为BD的中点，求证：AC​2=AB⋅AE；
（3）拓展运用：如图2，在△ABC中，∠BAC=90​∘，点O是△ABC的内心，若OA=2,OBOC=2，求BC的长．
14．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=t．G为AD边上的一个动点，沿BG翻折△ABG，点A落在点F处．
(1)如图1，若AD=8，且点G与点D重合时，DF交BC于点E．
①求的长；
②若点M在射线BA上，且AM=165，求tan∠BMF的值．
(2)连接CF，在AD边上存在两个不同位置的点G，使得S△BCF=12S△ABC，则t的取值范围是____．
15．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图1，在正方形ABCD中，∠CAB的角平分线交BC于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点G，CF与AB的延长线交于点F．

(1)求证：△ABE≌△CBF；
(2)如图2，连接BG，DG与AC相交于点，求证：①BG⊥DG；②；
(3)若AB=2，求的长．
16．（2023·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）综合运用
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ABC的平分线与边AC于点Q，过点Q作QD⊥AB，交AB于点D，过点Q作QN⊥BC，交BC于点N，点P在边AB上，过点Q作QM⊥PQ，交BC于点M．求证：△DPQ≌△NMQ．
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，过点Q作QN⊥BC，交BC于点N，点P在边AB的延长线上，连接PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC=8，AC=10，AD=2DB，求PQQM的值．
(3)如图3，在Rt△BDC中，∠BDC=90°，点P在边DB的延长线上，点Q在边CD上(不与点C，D重合)，连接PQ，以Q为顶点作∠PQM=∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若CD=mBD，CQ=nCD(m，n是常数)，求PQQM的值．(用含m，n的代数式表示)