2024年湖南省长沙一中高考数学适应性试卷（三）-普通用卷

这是一份2024年湖南省长沙一中高考数学适应性试卷（三）-普通用卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若全集U={−1,0,1,2}，P={x∈Z|x2<2}，则∁UP=( )
A. {2}B. {0,2}C. {−1,2}D. {−1,0,2}
2.已知z=1−i1+i，则z的实部是( )
A. −iB. iC. 0D. 1
3.若函数f(x)=4|x−a|+3在区间[1,+∞)上不单调，则a的取值范围是( )
A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,1]
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcsA−c<0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.如图，设向量OA=(3,1)，OB=(1,3)，若OC=λOA+μOB，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )
A. B.
C. D.
6.若正数a，b满足1a+1b=1，则1a−1+4b−1的最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.定义：在数列{an}中，an+2an+1−an+1an=d(n∈N*)，其中d为常数，则称数列{an}为“等比差”数列.已知“等比差”数列{an}中，a1=a2=1，a3=3，则a24a22=( )
A. 1763B. 1935C. 2125D. 2303
8.若关于x的不等式x2+xlna−aexlnx>0对∀x∈(0,1)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,1e]B. (0,1e]C. [1e,1)D. [1e,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论中正确的有( )
A. 若随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，则D(η)=2D(ξ)+1
B. 若随机变量ξ∼N(3,σ2)，且P(ξ<6)=0.84，则P(3<ξ<6)=0.34
C. 若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D. 数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则( )
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使PQ//平面MBN
C. 三棱锥P−MBN的体积为13
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π2
11.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意x，y∈R都满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，则下列说法正确的是( )
A. f(0)=0B. f(−1)=1
C. f(x)是奇函数D. 若 f(2)=12，则 f(−12)=18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)+ 3cs(ωx−π3)+ 3csωx(0<|ω|<1)的图象的一条对称轴为直线x=π4，则ω=______.
13.某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有______种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为______.
14.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为△PF1F2的内心，记直线OP，OI的斜率分别为k1，k2，若k1=54k2，则椭圆E的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=π2,AC=2CB=4.D，E分别为边AC，AB上的中点，现将△ABC以DE为折痕折起，使点A到达点A′的位置.
(1)连接AA′，证明：AA′⊥BA′；
(2)若平面A′BC与平面A′ED所成二面角的大小为π3，求直线A′B与平面A′ED所成角的正弦值.
16.(本小题15分)
随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野.ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手.尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业.现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：
(1)根据小概率α=0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？
(2)用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有X家，事件“X=k”的概率为P(X=k).求X的分布列并计算使P(X=k)取得最大值时k的值.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
17.(本小题15分)
已知数列{an}不为常数数列且各项均为正数，数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，满足an2=λSn+μan，其中λ，μ是不为零的常数，n∈N*.
(1)是否存在λ，μ使得数列{an}为等差数列？若存在，求出λ，μ的值；若不存在，请说明理由；
(2)若数列{Snan}是公比为λ(λ>2)的等比数列，证明：0<1a2−1+1a3−1+⋯+1an−1<1(n≥2且n∈N*).
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx+ax−x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在唯一的极值点x0，证明：x0f(x0)>x0+f(x0).
19.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为y= 33x，如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接AO并延长交双曲线左支于点P，连接PF1与PF2，其中l垂直于∠F1PF2的平分线m，垂足为D.
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程；
(Ⅱ)求证：直线m与直线OA的斜率之积为定值；
(Ⅲ)求S△APBS△APD的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵x2<2
∴− 2∴P={x∈Z|x2<2}={x|− 2又∵全集U={−1,0,1,2}，
∴∁UP={2}
故选：A.
先解出集合P，然后根据补集的定义得出答案．
此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．
2.【答案】C
【解析】解：因为z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，
所以z的实部是0.
故选：C.
根据复数除法运算化简，由实部定义可得．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)=4|x−a|+3在(−∞,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．
又函数f(x)在区间[1,+∞)上不单调，所以a>1.
故选：B.
先分析f(x)的单调性，再列不等式即可求解
本题主要考查了函数单调性的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．
先化简bcsA−c<0，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：在△ABC中，bcsA−c<0，则sinBcsA−sinC<0，
所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB>sinBcsA，
则有sinAcsB>0，
因为sinA>0，
所以csB>0，故角B为锐角，
当B为锐角时，△ABC不一定是锐角三角形，
当△ABC为锐角三角形时，B为锐角，
故“bcsA−c<0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．
故选：B.
5.【答案】D
【解析】解：设C(x,y).
∵OC=λOA+μOB=λ(3,1)+μ(1,3)=(3λ+μ,λ+3μ)，
∴x=3λ+μy=λ+3μ，解得λ=3x−y8μ=3y−x8，
∵λ≥μ≥1，
∴x≥yx−3y+8≤0.
故选：D.
利用向量的坐标运算可得λ，μ用x，y表示．再根据λ≥μ≥1，即可得出x，y满足的约束条件，进而得出可行域．
本题考查了向量的线性运算和约束条件及其可行域，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的应用，注意等号成立的条件，属于中档题．
首先判断1a−1>0，4b−1>0，再由基本不等式确定最小值即可．
【解答】
解：∵a>0，b>0，1a+1b=1；
∴a>1，b>1，a+b=ab；
∴1a−1>0，4b−1>0，
∴1a−1+4b−1≥2 4(a−1)(b−1)
=2 4ab−(a+b)+1=4；
(当且仅当1a−1=4b−1，即a=32，b=3时，等号成立).
故选：B.
7.【答案】B
【解析】解：∵数列{an}是“等比差”数列，
∴an+2an+1−an+1an=d(n∈N*)，
∵a1=a2=1，a3=3，
∴d=a3a2−a2a1=2，
∴an+2an+1−an+1an=2,an+1an−anan−1=2,⋯,a3a2−a2a1=2，
由累加法得an+2an+1−a2a1=2n⇒an+2an+1=2n+1⇒anan−1=2n−3(n≥2,n∈N*)，
∴anan−1=2n−3,an−1an−2=2n−5,⋯,a2a1=1，
由累乘法得ana1=(2n−3)(2n−5)⋯1⇒an=1×3×5×⋯×(2n−3)，
∴a24a22=1×3×5×⋯41×43×451×3×5×⋯41=1935.
故选：B.
利用累加法和累乘法进行求解，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为关于x的不等式x2+xlna−aexlnx>0对∀x∈(0,1)恒成立，
所以xln(aex)−aexlnx>0，
即ln(aex)aex>lnxx，
不妨设f(x)=lnxx，
此时f(aex)>f(x)在(0,1)上恒成立，
可得f′(x)=1−lnxx2，
当00，f(x)单调递增；
当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
又f(1)=0，
所以当01时，f(x)>0，
又a>0，
所以aex>x在(0,1)上恒成立，
即a>xex恒成立，
不妨设g(x)=xex，
可得g′(x)=1−xex>0，
即g(x)在(0,1)上递增，
此时a≥g(1)=1e，
则a的取值范围为[1e,+∞).
故选：D.
由题意，设ln(aex)aex>lnxx，构造f(x)=lnxx，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为aex>x在(0,1)上恒成立，再构造g(x)=xex结合导数求参数范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，由方差的性质可得D(η)=22D(ξ)=4D(ξ)，故A错误；
对于B，由正态分布图象的对称性可得P(3<ξ<6)=P(ξ<6)−0.5=0.34，故B正确；
对于C，线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故C正确；
对于D，先将所有数从小到大进行排序27，30，31，32，38，40，50，54，由于8×50%=4为整数，
因此第50百分位数为第4个和第5个数的平均数，即为32+382=35，故D错误．
故选：BC.
由方差性质判断A，由正态分布对称性判断B，由相关系数性质判断C，由百分位计算判断D.
本题考查了随机变量方差之间的关系，正态分布的性质，线性相关系数与相关性强弱的应用及百分位数的应用，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1B，CD1
因为N，P分别是CC1，C1D1的中点，所以CD1//PN，
又因为CD1//A1B，所以A1B//PN，
所以A1，B，N，P四点共面，即当Q与A1重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；
连接PQ，A1C1，当Q是D1A1的中点时，因为PQ//A1C1，A1C1//MN，所以PQ//MN，
因为PQ⊄平面BMN，MN⊂平面BMN，所以PQ//平面BMN，故选项B正确；
连接DlM，DlN，DlB，
因为D1M|BN，
所以V三棱锥P−MBN=V三棱锥M−PBN=V三棱锥D1−PBN=V三棱锥B−PD1N=13×12×1×1×2=13，
故选项C正确；
分别取BB1，DD1的中点E，F，构造长方体MADF−EBCN，
则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF−EBCN的外接球，
设所求外接球的直径为2R，
则长方体MADF−EBCN的体对角线即为所求的球的直径，
即(2R)2=AB2+BC2+CN2=4+4+1=9，
所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为4πR2=9π，故选项D错误．
故选：ABC.
对于A，连接A1B，CD1，可证得A1B//PN，从而可得结论；对于B，连接PQ，A1C1，当Q是D1A1的中点时，由线面平行的判定可证得；对于C，利用V三棱锥P−MBN=V三棱锥M−PBN=V三棱锥D1−PBN=V三棱锥B−PD1N求解；对于D，分别取BB1，DD1的中点E，F，构造长方体MADF−EBCN，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积．
本题考查了线面平行，三棱锥体积和长方体外接球的表面积计算，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，f(0)=f(0×0)=0，A 正确；
对于B，f(−1)=f(−1×1)=−f(1)+f(−1)，f(1)=f[(−1)×(−1)]=−f(−1)−f(−1)=−2f(−1)，
所以f(−1)=−f(1)+f(−1)=3f(−1)，所以f(−1)=0，B错误；
对于C，f(−x)=f(−1×x)=−f(x)+xf(−1)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，C正确；
对于D，f(−1)=f(−12×2)=−12f(2)+2f(−12)=−14+2f(−12)=0，所以f(−12)=18，D正确．
故选：ACD.
利用代入法对选项进行分析．
本题主要考查抽象函数的代入计算，属中档题．
12.【答案】23
【解析】解：f(x)=sinωxcsπ3+csωxsinπ3+ 3csωxcsπ3+ 3sinωxsinπ3+ 3csωx
=2sinωx+2 3csωx=4sin(ωx+π3)，
由于f(x)的图象的一条对称轴为直线x=π4，
所以π4ω+π3=π2+kπ(k∈Z)，
解得ω=23+4k(k∈Z).
又因为0<|ω|<1，
所以ω=23.
故答案为：23.
先利用三角恒等变换将f(x)化简，再根据直线x=π4为f(x)的图象的一条对称轴，结合正弦函数的对称性即可求得ω.
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．
13.【答案】5414
【解析】解：由题意可得三个学年修完四门选修课程，每学年至多选2门，
则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2.
先将4门选修课程按1，1，2分成三组，有C42⋅C21⋅C11A22种方式，再分到三个学年，有A33种不同方式，
由分步计数原理得，不同的选修方式共有C42⋅C21⋅C11A22⋅A33=36种．
同理，将4门选修课程按0，2，2分成三组，再排列，有C42⋅C22A22⋅A33=18种，
所以共有36+18=54种不同的选修方式；
若将“某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程”记为事件A，将“高二学年结束后就修完所有选修课程”记为事件B.
根据题意，满足事件A的所有选课情况共4种情况，其中包含高二选修完或高三选修完其他2门，或是高二，高三各选1门，共4种情况，
其中同时满足事件B的仅有1种情况．根据条件概率公式P(B|A)=n(AB)n(A)，可知所求概率为14.
故答案为：54；14.
利用分组分配的方法，计算求值；利用样本空间的方法，求条件概率．
本题主要考查古典概型及其概率公式，属于中档题．
14.【答案】14
【解析】解：设P(x0,y0)，I(xt,yt)，设圆与PF1，PF2，x轴相切于点M，N，T，
所以|PM|=|PN|，|F1M|=|F1T|，|F2N|=|F2T|，
所以|F1T|+|PN|+|NF2|=a+c，
即|F1T|+|PF2|=a+c，所以|F1T|=xt+c.
由椭圆的第二定义可知|PF2|=a−ex0，
所以|F1T|=a+c−(a−ex0)，所以xt=ex0，
由等面积法得到12(2a+2c)yt=12×2cy0，
所以yt=cy0c+a.
因为k1=54k2，所以y0x0=54×cy0a+ccx0a，所以a=4c，即e=14.
故答案为：14.
由椭圆的性质结合题意得到|F1T|=xt+c，再由椭圆的第二定义得到|PF2|=a−ex0，解出xt=ex0，然后由等面积法得到yt=cy0c+a，最后利用k1=54k2解出即可．
本题考查椭圆的性质，解题的关键是能利用椭圆的第二定义得到|PF2|=a−ex0后再结合椭圆的性质和S△PF1F2=S△PIF1+S△PIF2+S△IF1F2求出yt=cy0c+a，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)证明：如图，取A′C的中点G，
因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE//BC.
因为∠C=π2，所以DE⊥AC.
又因为DE⊥A′D，A′D∩AC=D，A′D，AC⊂平面A′CD，
所以DE⊥平面A′CD，所以BC⊥平面A′CD.
因为BC⊂平面A′BC，所以平面A′BC⊥平面A′CD，交线为A′C.
因为G为A′C的中点，且CD=A′D，
所以DG⊥A′C，因为DG⊂平面A′CD，所以DG⊥平面A′BC.
又因为DG//A′A，所以A′A⊥平面A′BC.
因为BA′⊂平面A′BC，所以AA′⊥BA′.
(2如图，以D为原点，DE方向为x轴正方向，DA方向为y轴正方向，
在平面A′AC内过点D作z轴垂直于平面ABC，建立空间直角坐标系．
设∠A′DA=θ，则E(1,0,0)，B(2,−2,0)，C(0,−2,0)，A(0,2,0)，A′(0,2csθ,2sinθ)，
则CB=(2,0,0),CA′=(0,2csθ+2,2sinθ)，
设平面A′BC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
由m⋅CB=2x1=0m⋅CA′=(2csθ+2)y1+2sinθ⋅z1=0，故可取m=(0,−sinθ,csθ+1).
又因为DE=(1,0,0),DA′=(0,2csθ,2sinθ)，
设平面A′ED的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
由n⋅DE=x2=0n⋅DA′=2csθ⋅y2+2sinθ⋅z2=0，故可取n=(0,sinθ,−csθ).
根据|cs⟨m,n⟩|=|1+csθ| 2+2csθ=12，解得csθ=−12，
所以A′(0,−1, 3),BA′=(−2,1, 3)，
所以n=(0, 3,1)，设直线A′B与平面A′ED所成角为α，
则直线A′B与平面A′ED所成角的正弦值sinα=|cs(BA′,n)|=2 32×2 2= 64.
【解析】(1)先证明DE⊥平面A′CD，由DE//BC得BC⊥平面A′CD，再证平面A′BC⊥平面A′CD，由DG⊥A′C证DG⊥平面A′BC，由DG//A′A得A′A⊥平面A′BC即得；
(2)通过建系，设∠A′DA=θ，写出相关点和向量的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求得csθ=−12，再将其代入点的坐标计算即得．
本题考查线线垂直的判定方法，以及面面角，线面角的向量求法，属于中档题．
16.【答案】解：(1)零假设H0：IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关，
因为χ2=200×(60×50−40×50)2100×100×90×110=20099≈2.02<6.635，
所以根据α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关；
(2)由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用ChatGPT的概率为35，没有广泛应用ChatGPT的概率为25，
因为X∼B(30,35)，
所以X的分布列为P(X=k)=C30k(35)k(25)30−k,0≤k≤30且k∈N，
若P(X=k)是最大值，则P(X=k)≥P(X=k+1)且P(X=k)≥P(X=k−1)，
根据C30k(35)k(25)30−k≥C30k+1(35)k+1(25)29−kC30k(35)k(25)30−k≥C30k−1(35)k−1(25)31−k，
即25C30k≥35C30k+135C30k≥25C30k−1，整理得230−k≥3k+13k≥231−k，
解得885≤k≤935，
又0≤k≤30且k∈N，所以k=18，
即使P(X=k)取得最大值时k的值为18.
【解析】(1)计算出χ2，对照临界值表即可作出判断；
(2)根据二项分布概率公式即可得分布列，由P(X=k)≥P(X=k+1)和P(X=k)≥P(X=k−1)，列不等式组求解可得k.
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了二项分布的概率公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可知an2=λSn+μan，①
an−12=λSn−1+μan−1，②
①-②得：an2−an−12=(λ+μ)an−μan−1(n≥2,n∈N*)，
∵a12=(λ+μ)a1，且a1=1，∴λ+μ=1.
∴an2−an−12=an−μan−1，③
若存在λ，μ使得数列{an}为等差数列，则an−an−1=k(k是不为0的常数，n≥2，n∈N*)，
代入③化简得到(2k−1+μ)an−1=k−k2.
由于{an}不为常数数列且各项均为正数，
∴2k−1+μ=0k−k2=0，解得k=1μ=−1.
∴λ=2，μ=−1.
此时an=n，满足an2=λSn+μan，且{an}为等差数列；
(2)由于{Snan}是公比为λ(λ>2)的等比数列，S1a1=a1a1=1，∴Snan=λn−1，
又an2=λSn+μan，∴an=λn+μ.
令n=1，可知λ+μ=1，∴an=λn+1−λ.
∵λ>2且a1=1，∴an>1，得1an−1>0，
∴1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋯+1an−1>0，
又∵1an−1=1λn−λ，
∴0<1an−1<1λn−λn−1=1(λ−1)λn−1.
由于1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋯+1an−1<1λ−1(1λ+1λ2+⋯+1λn−1)
=(1λ−1)2(1−1λn−1)<(1λ−1)2，
且当λ>2时，(λ−1)2>1，
∴1a2−1+1a3−1+1a4−1+⋯+1an−1<1，原不等式成立．
【解析】(1)由Sn与an的关系和等差数列的性质求出λ，μ的值；
(2)由已知求出数列{an}的通项an=λn+1−λ，得0<1an−1<1(λ−1)λn−1，结合等比数列前n项和公式证明结论．
本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=alnx+ax−x，x>0
∴f′(x)=ax−ax2−1=−x2+ax−ax2(x>0)，
令f′(x)=0，
即−x2+ax−a=0，Δ=a2−4a，
当0≤a≤4时，−x2+ax−a≤0，此时f′(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a<0时，y=−x2+ax−a的对称轴为x=a2<0，
∴y=−x2+ax−a在(0,+∞)上单调递减，
∴f′(x)在(0,+∞)上有唯一零点x=a+ a2−4a2，
当x∈(0,a+ a2−4a2)时，f′(x)>0，f(x)在(0,a+ a2−4a2)上单调递增，
当x∈(a+ a2−4a2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)在(a+ a2−4a2,+∞)上单调递减；
当a>4时，Δ=a2−4a>0，
∴f′(x)在(0,+∞)上有零点x1=a− a2−4a2,x2=a+ a2−4a2，
当x∈(0,a− a2−4a2)和x∈(a+ a2−4a2,+∞)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0,a− a2−4a2)和(a+ a2−4a2,+∞)上单调递减，
当x∈(a− a2−4a2,a+ a2−4a2)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(a− a2−4a2,a+ a2−4a2)上单调递增．
综上，当0≤a≤4时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(0,a+ a2−4a2)上单调递增，在(a+ a2−4a2,+∞)上单调递减；
当a>4时，f(x)在(0,a− a2−4a2)和(a+ a2−4a2,+∞)上单调递减，在(a− a2−4a2,a+ a2−4a2)上单调递增．
(2)证明：由题意可知f′(x)=−x2+ax−ax2(x>0)，
若f(x)存在唯一的极值点x0，
由(1)可知a<0,−x02+ax0−a=0且x0=a+ a2−4a2.
∵f(x0)=alnx0+ax0−x0，
要证x0f(x0)>x0+f(x0)，
⇔ax0lnx0+a−x02>alnx0+ax0(*).
∵a=x02x0−1<0，所以x0∈(0,1).
将a=x02x0−1代入(*)整理可得，只需证lnx0>1−1x0,x0∈(0,1).
令g(x)=lnx+1x−1,x∈(0,1)，
则g′(x)=x−1x2<0，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，
∴g(x)>g(1)=0，
∴lnx>1−1x，
∴原不等式成立．
【解析】(1)求导，分0≤a≤4，a<0，a>4三种情况讨论，综合可得；
(2)由(1)得a<0,−x02+ax0−a=0，表示出a=x02x0−1得x0的范围，并代入所证不等式，消去a得关于x0的不等式，构造函数判单调性得最值即可证明．
本题考查了导数的综合运用、分类讨论思想及转化思想，属中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)因为双曲线C的虚轴长为2，
所以2b=2，
解得b=1，
因为双曲线C一条渐近线方程为y= 33x，
所以a= 3，
则双曲线C的标准方程为x23−y2=1；
(Ⅱ)证明：不妨设A(x0,y0)，
因为点A与点P关于原点对称，
所以P(−x0,−y0)，
易知直线m的斜率存在，
不妨设直线m的斜率为k，
记a=(1,k)，
因为直线m为∠F1PF2的平分线，
所以PF1⋅a|PF1|=PF2⋅a|PF2|，
因为A，P两点均在双曲线上，
所以x023−y02=1，
此时x0> 3，
则|PF1|= (−2+x0)2+y02= (−2+x0)2+x023−1=2 33x0− 3，
同理得|PF2|=2 33x0+ 3，
因为PF1=(x0−2,y0)，PF2=(x0+2,y0)，
又PF1⋅a|PF1|=PF2⋅a|PF2|，
所以(x0−2,y0)⋅(1,k)2 33x0− 3=(x0+2,y0)⋅(1,k)2 33x0+ 3，
整理得x0=3ky0，
则kOA⋅k=y0x0⋅k=13，
故直线OA与直线m的斜率之积为定值；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知x0=3ky0，
因为x0>0，y0>0，
所以k>0，
联立x0=3ky0x023−y02=1，
又x0> 3，
解得x0=3k 3k2−1,y0=1 3k2−1，
所以A(3k 3k2−1,1 3k2−1),P(−3k 2k2−1,−1 3k2−1),k> 33，k> 33，
不妨设直线m的方程为y=kx+n，
因为点P在直线m上，
解得n= 3k2−1，
所以直线m的方程为y=kx+ 3k2−1,k> 33，
易知|AD|=|3k2−1 3k2−1+ 3k2−1| k2+1=2 3k2−1 k2+1，
因为直线AB的斜率为−1k，
不妨设直线AB的方程为x=−ky+t，
因为点A在直线AB上，
解得t=4k 3k2−1，
所以直线AB的方程为x=−ky+4k 3k2−1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=−ky+4k 3k2−1x23−y2=1，消去x并整理得(k2−3)y2−8k2 3k2−1y+7k2+33k2−1=0，
由韦达定理得y1+y2=8k2(k2−3) 3k2−1,y1y2=7k2+3(k2−3)(3k2−1)，
因为y1y2<0，
所以k2∈(13,3)，
此时|AB|= 1+k2|y1−y2|= 1+k2 (y1+y2)2−4y1y2=6(k2+1)32(3−k2) 3k2−1，
所以S△APBS△APD=|AB||AD|=3(k2+1)2(3−k2)(3k2−1)≥3(k2+1)2(k2+1)2=3，
当且仅当3−k2=3k2−1，即k2=1时，等号成立，
故当k=1时，S△APBS△APD取得最小值，最小值为3.
【解析】(Ⅰ)由题意，根据题目所给信息列出等式求出a和b的值，进而可得双曲线的方程；
(Ⅱ)设出A，P两点的坐标，设直线m的斜率为k，记a=(1,k)，根据直线m为∠F1PF2的平分线，得到PF1⋅a|PF1|=PF2⋅a|PF2|，结合弦长公式以及斜率公式进行求证即可；
(Ⅲ)先求出点A，P的坐标，推出直线AB的方程，将直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于难题．ChatGPT应用广泛性
招聘人数减少
招聘人数增加
合计
广泛应用
60
50
110
没有广泛应用
40
50
90
合计
100
100
200
α
0.1
0.05
0.01
xa
2.706
3.841
6.635