2024年辽宁省大连市沙河口区中考数学一模试卷+

这是一份2024年辽宁省大连市沙河口区中考数学一模试卷+，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，比小的数是( )
A. B. 0C. 1D. 2
2.如图所示放置茶杯，则它的俯视图为( )
A. B. C. D.
3.若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是( )
A. 1B. 5C. 7D. 9
4.
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
7.将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是( )
A. B. C. D.
8.一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为( )
A. B. C. D.
9.我们知道物理压力公式为如图，如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强P要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积的说法正确的是( )
A. S小于
B. S大于
C. S小于
D. S大于
10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为( )
A. B. C. 3D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：__________.
12.要使分式有意义，x的取值应满足______.
13.一个不透明的布袋里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为______.
14.如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形若，，则四边形EFGH的面积为______.
15.在中，，M为AB的中点，点N在边BC上，且当以点B，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，BC的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题9分
计算：；
下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解方程：
解：第一步，
第二步，
第三步，
第四步，
第五步，
检验：当时，第六步，
所以，是原方程的根第七步.
任务一：以上解方程步骤中，第______是错误的；
任务二：请直接写出该分式方程的正确结果.
17.本小题8分
某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加到万辆.
求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率；
若按此平均年增长率，请预估该品牌新能源汽车2024年销售量.
18.本小题9分
据统计，数学家群体是一个长寿群体，在《数学家传略辞典》书中收录约2200位数学家的年龄.某研究小组随机抽取了收录的部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表部分数据如下：
填空：m的值______；该小组共统计了______名数学家的年龄；
调查的数学家群体中，哪个年龄范围的长寿数学家最多；
请预估《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数.
19.本小题8分
某数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用元与该水果的质量千克之间的关系如图实线所示；在乙商店购买该水果的费用元与该水果的质量千克之间的函数解析式为
求与x之间的函数解析式；
现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
20.本小题8分
如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆，地面上三点D，E与C在一条直线上，，在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为此时点A、B与E在一条直线上，求太阳能电池板宽AB的长度结果精确到参考数据：，，，，
21.本小题9分
如图，已知内接于，CO的延长线交于点E，交的切线AD于点D，且点A是的中点.
求证：；
若，，求AC的长.
22.本小题12分
【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目.小明通过查阅得知，星海湾大桥是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上.大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥.主桥长820米，主桥主跨两个主塔间的距离米，边跨180米，跨径布置为
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比：约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中.
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系？
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题.
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点大桥主跨上悬索的最低点为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系如图
请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度；
某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为米.在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；
如图3，灯光秀中一个射灯光源，位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上？
23.本小题12分
【发现问题】在数学活动课上，同学们研究两个正三角形位置关系时，发现某些连线之间总存在某种特定的关系.
【问题探究】如图1，在正和正中，点A和点E重合，点C与点F重合，所以，，；
【类比分析】
如图2，点E在AB上，点C与点F重合，求证，；
【学以致用】
点E在AB上，连接EF，以EF为边向上作正，，
①如图3，点F在AC上，当点D、E在AC异侧，，求的值；
②点F在AC上，当点D、E在AC同侧，，请利用备用图，画出图形，求的值；
【拓展应用】
在的前提下，如图4，点F在BC上，直接写出AD的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、，故正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选
根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．
本题考查了有理数的大小比较，注意：正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】D
【解析】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是，
故选：
根据俯视图的定义，即可得出答案．
本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：根据三角形的三边关系定理得：，
解得：，
即符合题意的m值只有5，
故选：
根据三角形的三边关系定理得出，求出即可．
本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键．
4.【答案】

【解析】
5.【答案】A
【解析】解：
，
则A符合题意；
B.，
则B不符合题意；
C.
，
则C不符合题意；
D.，
则D不符合题意；
故选：
根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】A
【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：
根据一元二次方程根的判别式解答即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
故选：
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．
本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：碳水化合物含量是蛋白质的倍，且蛋白质的含量为x g，
碳水化合物含量是
根据题意得：，
故选：
由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意，反比例函数解析式为：，
A、当时，，符合题意；
B、当时，，不符合题意；
C、当时，，不符合题意；
D、当时，，不符合题意；
故选：
根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，
过A作于M，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3，
故选：
过A作于M，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
故答案是：
【分析】利用平方差公式分解即可．
本题考查了运用公式法因式分解，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：
当分母不等于0时，分式有意义．
本题考查了分式有意义的条件，掌握解不等式的方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率由一个不透明的布袋里装有7个球，其中2个红球，5个白球，它们除颜色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是，
故答案为
14.【答案】4
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
由折叠可知，，，
≌≌≌，
，
四边形EFGH是菱形．
由题意，得，，
四边形EFGH的面积
故答案为：
根据矩形的性质，得出，，，，根据折叠可知，，，推出≌≌≌，则，推出四边形EFGH是菱形．由题意得，，则四边形EFGH的面积
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积，解题的关键是灵活运用相关知识．
15.【答案】2或
【解析】为AB的中点，
，
是锐角，
当以点B、M、N为顶点的三角形是直角三角时，，或，
若，
，
∽，
，
，
；
若，
，
∽，
，
设，，则，，
，
，
在中，由勾股定理，得，
即，
，
，
，
，
，
，
综上所述，BC的长为2或
故答案为：2或
由已知，分类讨论：若时、若时，根据“两角对应相等的两个三角形相似”证明与相似，从而分别求出BC的长，即可得出结论．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键．
16.【答案】二
【解析】解：
；
根据题意，解答第二步出现问题，2漏乘，
，
，
，
经检验是原方程的解．
故答案为：二．
根据实数的运算法则运算即可；
根据解分式方程的步骤解答即可．
本题考查了实数的运算和分式方程的解，熟练掌握解分式方程是关键．
17.【答案】解：设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为；
根据题意得：万元
答：预估该品牌新能源汽车2024年销售量为万元．
【解析】设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，利用该品牌新能源汽车2023年的销售量=该品牌新能源汽车2021年的销售量从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
利用预估该品牌新能源汽车2024年的销售量=该品牌新能源汽车2023年的销售量从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】5 100
【解析】解：名，
即该小组共统计了100名数学家的年龄；
故
故答案为：5；100；
由统计图可知，调查的数学家群体中，岁年龄范围的长寿数学家最多；
人
答：预估《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数大约为242人．
用“岁”的人数除以可得总人数，再用总人数乘可得m的值；
根据统计图数据可得答案；
用2200乘样本中年龄在岁的人数所占比例即可．
此题考查了统计表和用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
19.【答案】解：当时，设与x之间的函数解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
；
当时，设与x之间的函数解析式为，
把和代入解析式得，
解得，
，
综上所述，与x之间的函数解析式为；
，
，
，
，，
所以选甲商店购买更多水果．
【解析】用待定系数法，分段求出函数解析式即可；
把分别代入，解析式，解方程即可．
本题考查一次函数和一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据等量关系列出方程．
20.【答案】解：过B作于M，于N，
，，
，，，
，OBN是等腰直角三角形，
设，
，，
在中，，
，
，
，，
，
，
答：太阳能电池板宽AB的长度约为
【解析】过B作于M，于N，得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
21.【答案】证明：连接OA交BE于F，
是的切线，
，
，
点A是的中点，
，
，
，
；
解：连接AE，在中，，
，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
∽，
，
，
，
，

【解析】连接OA交BE于F，根据切线的性质得到，求得，根据垂径定理得到，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论；
连接AE，在中，，根据三角函数的定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：①如图，作轴于D点，
由题意得，
，
，
，
，
点B的坐标为；
②设，
把代入得，
解得，
与x的函数解析式为：；
③如图，设最长的吊杆为EF，
吊杆间距10m，
，
，
由得，时，，
，
最长的吊杆的长度约为
如图，作轴，交抛物线于M、N两点，
由题意知，代入抛物线解析式得，
解得，，
，，
，
游客在悬索上方能看到彩车的时间为：，
游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟．
设光源放在G点时，光线GH与悬索只有一个交点，
设直线CB的表达式为，则
，
解得，
直线CB的表达式为：
，
直线GH与直线CB的k相同，
设直线GH的表达式为，
联立，
得，
整理得，
直线GH与抛物线只有一个交点，
，
解得，
直线GH的表达式为
当时，，
解得，
，
光源应放在和之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上．
【解析】①作轴于D点，由题意得，根据求出S的值，即可得BD的长，由此可得B点的坐标；
②设，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式；
③设最长的吊杆为EF，由题意得，代入表达式中求出y的值，即可得EF的长，即吊杆的长．
作轴，交抛物线于M、N两点，则，求出M、N两点的横坐标，进而可得MN的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果．
设光源放在G点时，光线GH与悬索只有一个交点，先求出直线CB的表达式为，由可知直线GH与直线CB的k相同，设直线GH的表达式为，联立抛物线和直线的表达式可得，由，求出m的值为，由此可得GH直线的表达式为，求出G点的坐标即可得到答案．
本题考查了二次函数综合，二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．
23.【答案】证明：和是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
；
解：①过点F作，交AB于Q，
，
为等边三角形，
由得，，
，，
，
，
；
②如图所示，过点F作，
，
为等边三角形，
由得，，
，，
，
，
；
解：如图，在BC上截取，连接EH，DH，过点A作，交直线HD于G，设HG与AC的交点为N，
，，
，，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
，
点N在与BC成60度的直线HN上运动，
当AD垂直HN时，AD有最小值，即最小值是AG的长，
，
，
四边形AEHN是平行四边形，，
，
，
，
，，
的最小值为
【解析】由“SAS”可证≌，可得，，即可求解；
①可证为等边三角形，由的结论可得，可求，由平行线分线段成比例可求解；
②可证为等边三角形，由的结论可得，可求，由平行线分线段成比例可求解；
先证四边形AEHN是平行四边形，可得，，由直角三角形的性质可求解．
本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形或全等三角形是解题的关键．年龄范围岁
人数人
25
■
■
11
10
m