备考2024年中考数学计算能力训练4 因式分解

这是一份备考2024年中考数学计算能力训练4 因式分解，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．对于①a2b−ab2=ab(a−b)，②(x+2)(x−3)=x2−x−6，从左到右的变形，下面的表述正确的是（ ）．
A．①②都是因式分解B．①②都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
2．对于①(x+1)(x−1)=x2−1，②x−2xy=x(1−2y)，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是乘法运算B．都是因式分解
C．①是乘法运算，②是因式分解D．①是因式分解，②是乘法运算
3．解方程（x-1）2-3（x-1）＝0的最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法
C．公式法D．因式分解法
4．对于①ab−b=b(a−1) ，②(a+2)(a−1)=a2+a−2 ．从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
5．对于①(x+3)(x−1)=x2+2x−3 ，②x−3xy=x(1−3y) 从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是整式的乘法
C．①是因式分解，②是整式的乘法
D．①是整式的乘法，②是因式分解
6．一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A．因式分解法B．配方法
C．公式法D．直接开平方法
7．解方程①x2−7=0；②9x2−7x−1=0；③(2−3x)+3(3x−2)2=0；④12x2+12=25x.较简便的方法是（ ）
A．依次为：直接开平方法、公式法、因式分解法
B．依次为：因式分解法、公式法、配方法
C．依次为：直接开平方法、因式分解法、因式分解法
D．依次为：公式法，公式法，因式分解法
8．对于①x−3xy=x(1−3y) ，②(x+3)(x−1)=x2+2x−3 ，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
9．下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2−4x=2x(x−4)B．a2−3a−4=(a−4)(a+1)
C．a2+b2−2ab=(a+b)2D．x3−81x=x(x2+9)(x2−9)
10．下列因式分解错误的是 （ ）
A．9−6x−y+x−y2=3−x+y2
B．4(a−b)2−12a(a−b)+9a2=(a+2b)2
C．(a+b)2−2(a+b)(a−c)+(a−c)2=(b+c)2
D．m−n2−2m−n+1=m−n+12
11．把多项式2x2+mx−5因式分解成(2x+5)(x−n)，则m的值为（ ）
A．−3B．3C．5D．7
12．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A．6x2+x−15B．3y2+7y+3C．x2−2x−4D．2x2−4xy+5y2
二、填空题
13．因式分解： m2−m= .
14．因式分解：a2(x−y)+(y−x)= ．
15．因式分解： x2−4= .
16．因式分解： 4a2−9= .
17．因式分解：3x3﹣12x= ．
18．因式分解：a²+2ab+b²-3a-3b-4= .
三、计算题
19．因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x+y）2﹣14（x+y）+49
20．因式分解：
（1）xy+3y；
（2）ax2−4a．
21．因式分解：
（1）3x2−12；
（2）2x2y−4xy+2y．
22．因式分解：
（1）x2−25x
（2）a3−4a2+4a
23．因式分解：
（1）ay2−3ay+2a
（2）3(x+y)(x−y)−(y−x)2
24．因式分解
（1）x3−4x；
（2）3x2y−12xy+12y；
（3）(x2+4)2−16x2．
25．因式分解：
（1）a2b−2ab；
（2）2x2−4x+2．
26．因式分解：
（1）ab2−4a；
（2）2a2+4ab+2b2．
27．因式分解．
（1）4a2x﹣12ax+9x；
（2）（2x+y）2﹣y2．
28．因式分解。
（1）−2x2−8y2+8xy；
（2）4(x+y)2−16(x−y)2．
29．因式分解
（1）4a2+12ab+9b2；
（2）16a2(a−b)+4b2(b−a)；
（3）25(m+n)2−9(m−n)2；
（4）4a2−b2−4a+1．
30．因式分解：
（1）3ax2−6ax+3a.
（2）(x2+y2)2−4x2y2.
四、实践探究题
31．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2+2ab+b2=(a+b)2，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
（1）【小试牛刀】
请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
（2）【自主探索】
请利用图1的卡片，将多项式2a2+5ab+3b2因式分解，并画出图形．
（3）【拓展迁移】
事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把a3+4a2b+3ab2进行因式分解并写出因式分解结果．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解： ①a2b−ab2=ab(a−b)属于因式分解，
，②(x+2)(x−3)=x2−x−6属于整式的乘法；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义、整式的乘法进行判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：①(x+1)(x−1)=x2−1属于整式乘法，是利用平方差公式进行计算；
②x−2xy=x(1−2y)属于因式分解，是利用提公因式法进行因式分解；
故答案为：C．
【分析】①是利用平方差公式进行计算属于整式乘法；②是利用提公因式法进行因式分解属于因式分解。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：(x- 1)2 - 3(x - 1) =0，
(x-1)(x-1-3)=0，
x-1=0或x-4=0，
解得x1 = 1，x2 =4.
所以此方程利用因式分解法最适当.故选：D.
【分析】利用因式分解法很容易把方程转化为x-1=0或x-4=0.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：①ab−b=b(a−1) ，属于因式分解；②(a+2)(a−1)=a2+a−2 ，属于整式乘法；
故答案为：C．
【分析】根据乘法运算和因式分解的定义，逐项判断即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：①（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
②x-3xy=x（1-3y），从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②是因式分解．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解、整式乘法的定义判定即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵在方程5x2-2x=0中，常数项为0，
∴解该方程最适当的方法是“因式分解法”.
故答案为：A.
【分析】观察方程可得常数项为0，利用因式分解法可将方程化为两个一次方程，据此解答.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：①适用直接开方法；②适用公式法；③和④适用因式分解法；
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程的计算方法及优缺点逐项分析求解即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、2x2−4x=2x(x−2)，则本项不符合题意；
B、a2−3a−4=(a−4)(a+1)，则本项符合题意；
C、a2+b2−2ab=(a−b)2，则本项不符合题意；
D、x3−81x=x(x+9)(x−9)，则本项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解中的提公因式法可判断A选项；根据因式分解法中的十字相乘法可判断B选项；根据因式分解中的完全平方公式法克判断C选项；先提取公因式x，再利用平方差公式法进行分解可判断D选项.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 9−6x−y+x−y2=3−x+y2，则本项符合题意，
B、 4(a−b)2−12a(a−b)+9a2=(a+2b)2，则本项符合题意，
C、 (a+b)2−2(a+b)(a−c)+(a−c)2=(b+c)2，则本项符合题意，
D、 m−n2−2m−n+1=m−n−12，则本项不符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据分解因式中的提公因式法、平方差公式和完全平方公式逐项计算即可.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx−5可以因式分解为(2x+5)(x−n)
∴2x2+mx−5
=(2x+5)(x−n)
=2x2−2nx+5x−5n
=2x2+(5−2n)x−5n
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
12．【答案】D
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
13．【答案】m（m-1）
【解析】【解答】解：m2-m
=m（m-1）
故答案为：m（m-1）.
【分析】直接提取公因式m即可.
14．【答案】(x−y)(a−1)(a+1)
【解析】【解答】解：a2(x−y)+(y−x)=a2(x−y)−(x−y)=(x−y)(a2−1)=(x−y)(a−1)(a+1)，
故答案为：(x−y)(a−1)(a+1)．
【分析】先提取公因式（x-y），再利用平方差公式因式分解即可。
15．【答案】(x+2)(x−2)
【解析】【解答】解：x 2 − 4 =( x + 2 ) ( x − 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x − 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
16．【答案】（2a+3）（2a﹣3）
【解析】【解答】 4a2−9= (2a)2-32=(2a+3)(2a﹣3)，
故答案为(2a+3)(2a﹣3).
【分析】利用平方差公式进行分解即可.
17．【答案】3x（x+2）（x﹣2）
【解析】【解答】解：3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2）
故答案是：3x（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察此多项式的特点：有公因式3x，因此先提取公因式3x，再利用平方差公式分解因式。
18．【答案】(a+b-4)(a+b+1)
【解析】【解答】解：a²+2ab+b²-3a-3b-4
=(a²+2ab+b²)-(3a-3b)-4
=(a+b)2-3(a+b)-4
=(a+b-4)(a+b+1)
故答案为：(a+b-4)(a+b+1)
【分析】先把多项式分组为(a²+2ab+b²)-(3a-3b)-4=(a+b)2-3(a+b)-4，再把a+b看成整体用因式分解法进行分解.
19．【答案】（1）解：原式＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2）
（2）解：原式＝（x+y﹣7）2
【解析】【分析】（1）先提取公因式2x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）利用完全平方公式分解因式即可.
20．【答案】（1）解：xy+3y=y(x+3)；
（2）解：ax2−4a=a(x2−4)=a(x+2)(x−2)．
【解析】【分析】（1）直接提公因式即可得出结果；
（2）首先提公因式a，再利用平方差公式，即可得出因式分解的最后结果。
21．【答案】（1）解：原式=3(x2−4)，
=3(x+2)(x−2)；
（2）解：原式=2y(x2−2x+1)，
=2y(x−1)2．
【解析】【分析】（1）提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求出答案.
（2）提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
22．【答案】（1）x2−25x=x(x−25)；
（2）a3−4a2+4a=a(a2−4a+4)
=a(a−2)2
【解析】【分析】（1）提取公因式x求解即可；
（2）提取公因式a，再运用完全平方公式进行因式分解即可。
23．【答案】（1）解：a(y−2)(y−1)
（2）解：2(x−y)(x+2y)
【解析】【解答】（1）原式= a（y2−3y+2）=a(y−2)(y−1)；
(2)原式=(x-y)(3x+3y-x+y)
=(x-y)(2x+4y)
=2(x-y)(x+2y)
【分析】（1）先提取公因式，再利用十字相乘法因式分解即可得出结论；
（2）利用提公因式法进行两次提取公因式即可求解.
24．【答案】（1）解：x3−4x
=x(x2−4)
=x(x+2)(x−2)；
（2）解：3x2y−12xy+12y
=3y(x2−4x+4)
=3y(x−2)2；
（3）解：(x2+4)2−16x2
=[(x2+4)+4x][(x2+4)−4x]
=(x+2)2(x−2)2
【解析】【分析】（1）先提取公因式x，进而运用平方差公式即可求解；
（2）先提取公因式3y，进而运用完全平方公式即可求解；
（3）运用平方差公式结合完全平方公式即可求解。
25．【答案】（1）解：原式=ab（a-2）
（2）解：原式=2（x﹣1）2
【解析】【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可求解；
（2）根据公式法因式分解即可求解。
26．【答案】（1）解：ab2−4a
=a(b2−4)
=a(b+2)(b−2)；
（2）解：2a2+4ab+2b2
=2(a2+2ab+b2)
=2(a+b)2
【解析】【分析】（1）先提公因式a、再利用平方差公式进行分解即可求解；
（2）先提取公因式2、再利用完全平方公式进行分解即可求解.
27．【答案】（1）解：原式＝x（4a2﹣12a+9）
＝x（2a﹣3）2
（2）解：原式＝（2x+y+y）（2x+y﹣y）
＝2x（2x+2y）
＝4x（x+y）
【解析】【分析】（1）先提取公因式x，进而运用完全平方公式进行因式分解即可求解；
（2）先运用平方差公式进行展开，进而化简，再提取公因式2即可求解。
28．【答案】（1）解：−2x2−8y2+8xy
=−2(x2−4xy+4y2)
=−2(x−2y)2；
（2）4(x+y)2−16(x−y)2
=4[(x+y)2−4(x−y)2]
=4[(x+y)+2(x−y)][(x+y)−2(x−y)]
=4(3x−y)(3y−x).
【解析】【分析】（1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解，即可得解；
（2）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解，化简即可．
29．【答案】（1）解：4a2+12ab+9b2=(2a+3b)2
（2）解：原式=16a2(a−b)−4b2(a−b)
=4(a−b)(4a2−b2)
=4(a−b)(2a−b)(2a+b)
（3）解：原式=[5(m+n)]2−[3(m−n)]2
=[5(m+n)+3(m−n)][5(m+n)−3(m−n)]
=(5m+5n+3m−3n)(5m+5n−3m+3n)
=4(4m+n)(m+4n)；
（4）解：原式=(4a2−4a+1)−b2
=(2a−1)2−b2
=(2a−1+b)(2a−1−b)．
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式展开式，分别找到对应的“a2”=（2a）2，“b2”=（3b）2，
“2ab”=2x2ax3b，反推得到最终结果；
（2）先提取公因式4（a-b），剩余部分用平方差公式展开即可；
（3）将25（m+n）2作为整体，看做是[5（m+n）]2，把9（m-n）2作为整体，看做是[3（m-n）]2，然后利用平方差公式展开，合并同类项进行计算即可；
（4）根据完全平方公式展开式，把4a2-4a+1放到一起组成完全平方（2a-1）2，在利用平方差公式，展开即可。
30．【答案】（1）解：3ax2−6ax+3a
=3a(x2−2x+1)
=3a(x−1)2；
（2）解：(x2+y2)2−4x2y2
=(x2+y2)2−(2xy)2
=(x2+y2+2xy)(x2+y2−2xy)
=(x+y)2(x−y)2．
【解析】【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式及平方差公式因式分解；
（2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解。
31．【答案】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的，
∴图3的面积为 a2+3ab+2b2 ，
又∵图3的面积又等于一个长为 (a+2b) ，宽为 (a+b) 的长方形面积，
∴a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b) ；
（2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的，
∴同理可得 2a2+5ab+3b2=(2a+3b)(a+b) ；
（3）解：观察可知 a3+4a2b+3ab2=a(a2+4ab+3b2) ，
∴我们可以把 a3+4a2b+3ab2 看做是一个高为a，底面积为 a2+4ab+3b2 的长方体的体积，
如下图所示，是由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成的，
∴a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b) ，
∴a3+4a2b+3ab2=a(a+b)(a+3b) ．
【解析】【分析】（1）图3的面积有两种表示方法，第一种看成由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成；第二种看成一个长为(a+2b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到一个等式；
（2）多项式2a2+5ab+3b2可以看成一个图形的面积，有两种表示方法，第一种看成由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成，把图形画出来就得到了长为(2a+3b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到答案；
（3）先对多项式a3+4a2b+3ab2进行因式分解，提取公因式a，多项式a3+4a2b+3ab2就可以看成一个高为a，底面积为a2+4ab+3b2的长方体的体积，然后把底面积用两种方法表示，第一种看成由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成，把图形画出来就得到了长为(a+3b)，宽为(a+b)的长方形，从而得到答案.