福建省宁德市福宁古五校2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试卷(含答案)

这是一份福建省宁德市福宁古五校2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数，则复数( )
A.B.C.D.
2．已知m，n为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若，，则B.若，,则
C.若，则D.若，则
3．已知平面向量，，，若，，则( )
A.6B.-6C.2D.-2
4．在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若，则( )
A.B.C.D.1
5．在中，其内角A，B，C的对边分别是a，b，c根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A.，，B.，，
C.，，D.，，
6．设平面向量，，且，则( )
A.1B.14C.D.
7．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，下图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，的变化规律为边的正方形，依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的底面积为( )
A.B.C.D.
8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设向量，，则( )
A.B.C.D.与的夹角为
10．对于，有如下命题，其中正确的有( )
A.若，则为等腰三角形
B.若，则为直角三角形
C.若，则为钝角三角形
D.若A，B的对边分别是a，b，且，则
11．如图，BC，DE是半径为6的圆O的两条不同的直径，，则( )
A.
B.若，则在上的投影向量为
C.为定值
D.满足的实数与的和为定值4
12．如图所示，在棱长为2的正方体中，点M，N分别为棱，CD上的动点（包含端点），则下列说法正确的是( )
A.四面体的体积为定值
B.当M，N分别为棱的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行
C.正方体外接球的表面积为
D.当M，N分别为棱，CD的中点时，则过，M，N三点作正方体的截面，所得截面为五边形
三、填空题
13．如图是用斜二测画法画出的直观图,则的面积是________.
14．i是虚数单位，已知，写出一个满足条件的复数．______．
15．如图，某景区有三条道路AB，BC，AC，其中BA长为千米，是正北方向，BC长为千米，是正东方向，某游客在道路AC上相对B东偏北度的且距离B为千米的位置，则___________.
16．在直角中，，，，平面ABC内动点P满足，则的最小值为________．
四、解答题
17．已知复数，.
（1）若是实数，求m的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，且，求实数m的取值范围.
18．已知中,点D在线段上,且,延长到C,使,设,．
(1)用,表示向量,;
(2)若向量与共线,求k的值．
19．现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．（选出一种可行的条件解答，若两个都选则按第一个解答计分）
在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若________．
（1）求B；
（2）若的面积为，求外接圆半径的最小值．
20．如图，在直三棱柱中，D是BC的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求几何体的体积．
21．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为
（1）若在该坐标系下，，计算的大小
（2）若在该坐标系下，已知，，求的最大值．
22．如图，在四边形ABCD中，已知的面积为，记的面积为．
（1）求的大小；
（2）若，设，，求的值．
参考答案
1．答案：B
解析：由复数的运算可得.
故选：B
2．答案：B
解析：A：若，,则或m，n异面，故A错误；
B：因为，所以在平面内存在不同于n的直线l，使得，则，从而，故，故B正确；
C：若，则或,相交，故C错误；
D：若，则或，故D错误.
故选：B
3．答案：D
解析：因为，
所以，
又，
所以，
所以，
故选：D.
4．答案：A
解析：由题意可得
，
所以，
故选：A.
5．答案：D
解析：对于选项A：若，，，由正弦定理可得，
则，此时B不存在，三角形无解；故A错误；
对于选项B：若，，，由正弦定理可得，
则，
可知或，而时，，应舍去，
所以，即三角形有且仅有一解；故B错误；
对于选项C：若，，，可知为等边三角形，
所以三角形仅有一解；故C错误；
对于选项D：若，，，由正弦定理可得：，
则，所以或，
两种情况下，三角形都存在，即三角形有两解，故D错误.
故选：D.
6．答案：B
解析：由向量，，且，
可得，所以，
则.
故选：B.
7．答案：A
解析：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，
所以接下来的圆弧所在扇形的半径是，
对应的弧长，
设圆锥的底面半径为r，则，即，
所以该圆锥的底面积为.
故选：A.
8．答案：C
解析：因为，所以由正弦定理得：,
即，所以，即，又，所以.
因为锐角三角形ABC，所以，即，解得.
.
令，因为，所以，
则在单调递减，
所以.
故选：C.
9．答案：CD
解析：，，
则，，故A错误；
易知，由，
所以与不平行，故B错误；
又，即，故C正确；
因为，
又，所以与的夹角为，故D正确．
故选：CD．
10．答案：AC
解析：对于A，在中，由得或，
因为，所以，所以为等腰三角形，故A正确；
对于B，在中，由得或，
所以不一定是直角三角形，故B不正确；
对于C，由得，
所以，即，
所以，所以角C为钝角，为钝角三角形，故C正确；
对于D，由得，所以角B为锐角，，
，故D不正确.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对于A中，由，可得，即，
整理得，所以A正确；
对于B中，由圆O的半径为，因为，则，
且，,
可得，
所以在上的投影向量为，所以B不正确；
对于C中，因为中，FO是DE边上的中线，所以，
由圆O的半径为，则等于为定值，所以C正确；
对于D中，由，可得，
因为，可得，所以，所以D正确.
故选：ACD.
12．答案：ACD
解析：点M，N在棱，CD上运动时，M到距离始终为2，N到平面的距离始终为2，
所以四面体的体积恒为定值，A正确；
在正方体中，棱可分为三类，分别是，，及分别与它们平行的棱，又，，不与平面平行，则在正方体中，不存在棱与平面平行，B错误；
正方体棱长为2，则其外接球的直径为正方体体对角线，
所以，即，
则外接球的表面积为，故C正确；
如图，取BC中点，连接，，有，
且，则四边形是平行四边形，
有，过N作的平行线交AD于点E，
此时，则，
即EN为过，M，N三点的平面与平面ABCD的交线，
连接，在BC上取点F，使得，同证的方法得，
在棱上取点G，使，连接MG并延长交直线BC于H，则，
即，而，于是四边形是平行四边形，
有，则MG为过，M，N三点的平面与平面的交线，
连接NG，则可得五边形即为正方体中过，M，N三点的截面，D正确．
故选：ACD
13．答案：16.
解析：由斜二测法画图原则:横等纵半,
的高为8,即,
故答案为:16.
14．答案：（答案不唯一，满足（）均可）
解析：设，（），
则，，
因为，
所以，解得：，
所以，（）
所以可以取.
故答案为：（答案不唯一，满足（）均可）.
15．答案：
解析：千米,千米,
三角形ABC的面积，由面积和法得：，
，两边平方可得：
，，
，,
解得：，由，
解得：.
法二：由题意可知,以B为坐标原点，BC，AB为x，y轴建立坐标系，则有，，，，
因为，所以，
化简可得：
两边平方可得：
， ，
，,
解得：，由，解得：.
故答案为：.
16．答案：0
解析：如图：
由于动点P满足，所以点P在以C为圆心，半径为的圆上，
建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
设P点坐标为，，
则，，
所以
所以当，有最小值为0.
故答案为：0
17．答案：（1）
（2）
解析：（1），它是实数，则，；
（2）由（1）对应点坐标为，它在第三象限，
则，解得，
又，或，
综上，．
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
为的中点,
,
可得,
而．
（2）由(1),得,与共线,
设,
即,
根据平面向量基本定理,得,
解得．
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）若选①：因为，
由正弦定理可得，
由，则，，
可得，所以得；
若选②：因为，即，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
因为，所以.
（2）由题意可得：，则，
由余弦定理可知，
当且仅当时，等号成立，即，
所以外接圆半径最小值为.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）．
解析：（1）证明：连接，交于点E，
则点E是及的中点，而D是BC的中点，
连接DE，则，
因为平面，平面，所以平面．
（2），，，
几何体的体积：
．
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，，，
由，，得，
所以，
即；
（2）由题意可知，
所以，
，
所以，
令，
，
又因为，
且，所以，所以，
即，
又因为函数在单调递增，
即时，函数取到最大值3，
即，则有，
所以当时，的最大值为.
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）在中，由余弦定理，，
故，
因为，，
所以，
即，又因为，所以．
（2）设，则，，，
在中，由正弦定理，，即，
在中，由正弦定理，，即，
又，两式作商，得，
即，故，
即，即，
所以，即，
因为，所以，
故，解得，
则，
，
假设，所以，
又，则，解得．