河北省保定市六校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份河北省保定市六校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．曲线在处的切线倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．某射手射击所得环数的分布列如下表.已知的数学期望,则x的值为( )
A.0.2B.0.5C.0.4D.0.3
3．某学校安排3名教师指导4个学生社团,每名教师至少指导一个社团,每个社团只需一位指导老师,则不同的安排方式共有( )
A.12种B.24种C.36种D.72种
4．在的展开式中,含项的系数为( )
A.25B.-5C.10D.-25
5．下列说法正确的是( )
A.若随机变量,,则
B.若随机变量,,其中,则
C.若随机变量,则越小,越大
D.若随机变量,且,则
6．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,经他研究,随机事件A,B存在如下关系:.对于一个电商平台,用户可以选择使用信用卡、支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的,使用支付宝支付的用户占总用户的,其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题,为了优化服务,进行数据统计发现:出现支付问题的概率是0.06,若一个遇到支付问题的用户,使用三种支付方式支付的概率均为,则使用微信支付遇到支付问题的概率是( )
A.0.1C.0.4
7．设,且随机变量X的分布列是：
则的最小值为( )
A.0B.C.D.
8．已知函数,若过可做两条直线与函数的图象相切,则t的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．保定某中学上午大课间跑操,为了提升班级跑操水平,某班在跑操后进行分组训练,现A,B,C,D,E,F六名同学一组进行队列训练,则下列说法正确的是( )
A.若A不在第一个,则不同的排序种数有480种
B.若A和C不相邻,则不同的站队方式共有480种
C.若A和B相邻,且A不在两端,则不同的站队方式共有120种
D.D排在E,F之前的概率为
10．若,则( )
A.
B.
C.
D.
11．甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第n次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为,,,,则下列结论正确的有( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知函数,则______.
13．在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3且外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将箱子关闭,也就是主持人知道奖品在哪个箱子里,当抽奖人选择了某个箱子后,在箱子打开之前,主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子,并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱,若用表示i号箱有奖品,用表示主持人打开i号箱子,则______.
四、双空题
14．若随机变量,且,则______,______.
五、解答题
15．已知在的展开式中,各项系数和为81.
(1)求n的值;
(2)求含的项的系数;
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
16．袋中有除颜色外其他都相同的7个小球,其中4个红色,3个黄色.
(1)甲、乙两人依次不放回各摸一个球,求甲摸出红球,乙摸出黄球的概率;
(2)甲从中随机且不放回地摸球,每次摸1个,当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球,记随机变量X为此时已摸球的次数,求:
(1)的值;
(2)随机变量X的分布列和数学期望.
17．已知函数.
(1)当时,求函数的图象在点处的切线方程;
(2)当时,若函数在上的最小值为0,求实数a的值.
18．学校组织一项竞赛,在初赛中有两轮答题:第一轮从A类的三个问题中随机选两题作答,每答对一题得30分,答错得0分;第二轮从B类的分值分别为40,70的2个问题中随机选1题作答,每答对一题得相应满分,答错得0分.若两轮总积分不低于100分,则晋级复赛.甲、乙同时参赛,在A类的三个问题中,甲每个问题答对的概率均为,乙只能答对其中两个问题;在B类的2个分值分别为40,70的问题中,甲答对的概率分别为,,乙答对的概率分别为,,甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲、乙在第一轮的得分分别为X,Y.
(1)分别求X,Y的概率分布列；
(2)分别计算甲、乙紧急复赛的概率.
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性
(2)当时，若满足,求证:;
(3)若函数,当时,恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：设曲线在处的切线倾斜角为,因为,则,.
2．答案：A
解析：由表格可知,解得
故选A.
3．答案：C
解析：4个学生社团,分为2,1,1的组,则有种分组情况,再分配给3位老师,则有种方法.
4．答案：C
解析：含项的系数为.
5．答案：C
解析：因为,则,故A错误;,故B错误;因为,所以越小,X的概率曲线越集中于对称轴处,,所以越大,故C正确;根据正态分布的对称性可知,故D错误.
6．答案：D
解析：设A,B,C分别表示事件使用信用卡支付、使用支付宝支付、使用微信支付,D表示事件出现支付问题,则,,,所以使用微信支付遇到支付问题的概率,.
7．答案：B
解析：由分布列得,则,当时,取得最小值.
8．答案：B
解析：设过点的直线与函数的图象相切时的切点为,则,因为,,所以切线方程为,又在切线上,所以,整理得,则过点的直线与函数的图象相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数,因为,令,得,所以,当时,,单调递减;当时,,单调递增;当时,,单调递减,因为,,所以,函数的图象大致如图:
所以当时,切线有两条.
9．答案：BD
解析：对于A,若甲不排第一个,则甲有5种排法,其余5个人全排,共有种;对于B,先排列除A与C外的4个人,有种方法,利用插空法将A和C插入5个空,有种方法,则共有种方法;对于C,若A和B相邻,利用㨄绑法不同站队方式有种,若A和B相邻且A在两端,则站队方式有种,故由间接法得站队方式共有192种;对于D,D排在E,F之前的概率为.
10．答案：ACD
解析：设,则,,,则,而,所以.
11．答案：ACD
解析：第一次传球后到乙或丙手里,故,第二次传球,乙或丙有的概率回到甲手里,故,故A正确;第一次甲将球传出后,3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙,甲乙甲丙,甲乙丙甲,甲乙丙乙,甲丙甲乙,甲丙甲丙,甲丙乙甲,甲丙乙丙,共8个结果,它们等可能,3次传球后球在乙手中的事件有:甲乙甲乙,甲乙丙乙,甲丙甲乙,3个结果,所以概率为,故B错误;第一次甲将球传出后,2次传球后的所有结果为:甲乙甲,甲乙丙,甲丙甲,甲丙乙共4个结果，它们等可能,2次传球后球在丙手中的事件有:甲乙丙,1个结果,所以概率是,故C正确;,即,故D正确.
12．答案：
解析：,所以,即,所以,.
13．答案：
解析：奖品在1号箱里,主持人可打开2,3号箱,故;奖品在2号箱里,主持人打开3号箱的概率为1,故;奖品在3号箱里,主持人只能打开2号箱,故;由全概率公式可得:.,.
14．答案：；
解析：因为随机变量,且,所以,解得,则.
15．答案：(1)
(2)-256
(3)
解析：(1)令,则,.
(2)第项为,
令,解得,的系数为.
(3)由得时二项式系数最大,即第三项.
16．答案：(1)
(2)①
②分布列见解析，
解析：(1)设事件A为“甲摸出红球”,事件B为“乙摸出黄球”,
.
(2)①由已知得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有种,
事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球,故事件包含种取法,
所以.
②X的可能取值为:2,3,4,5,
,
,
,
.
则X的概率分布为
所以X的数学期望为.
17．答案：(1)(或)
(2)
解析：(1)当时,,定义域为,
,,
又,
所以切线方程为(或写成).
(2),
.
,得.
①当,即时,,在上单调递增,
这时,不合题意,舍去.
②当,即时,
,,单调递减;,,单调递增,这时,解得.
③当,即时,，在上单调递减,
这时,解得(舍去),
综上:.
18．答案：(1)见解析
(2)甲晋级复赛概率为,乙晋级复赛概率为
解析：(1)根据题设可知:
,
,
,
所以X的分布列为
因为乙只能答对其中两道题,所以.,故Y的分布列为
(2)记事件A表示“甲晋级复赛”,事件B表示“乙晋级复赛”,
,
,故甲晋级复赛概率为,乙晋级复赛概率为.
19．答案：(1)当时,在R上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增
(2)证明见解析
(3)
解析：(1),
当时,,在R上单调递增,
当时,令,解保,
,,单调递减,,,单调递增,
综上:当时,在R上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:由题意,则,.
要证,只需证,
而,且函数在上单调递减,
故只需证,
又,所以只需证,
即证,
令,
即,
,
由均值不等式可得(当且仅当,即时,等号成立).所以函数在R上单调递增.
由,可得,即,
所以,
又函数在上单调递减,
所以,即得证.
(3)法一:,则,,当时,,
在上单调递增,且.
①当时,,在上单调递增,
,符合题意,.
②当时,又在上单调递增,且,,,
,使得,
,，在上单调递减,
，，在上单调递增,
而,所以不合题意.
综上:，实数a的取值范围为.
法二,
当时,恒成立,
当时,由得,
即,,
令,即,,
则,
令,,
则.
,,,在上单调递增,,
即,在上单调递增,而,所以符合洛必达法则.
由洛必达法则得
,,实数a的取值范围为.
法三:,
当时,恒成立,
当时,由得,
即.
设,又,
则由拉格朗日中值定理可知
令,,
即,
又,
在上单调递增,,
，实数a的取值范围为.
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
X
0
m
1
P
X
2
3
4
5
P
X
0
30
60
P
Y
30
60
P