黑龙江省九校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省九校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若，则( )
A.0B.C.1D.2
2．已知数列满足，，，则( )
A.B.C.D.
3．函数的单调递增区间是( )
A.B.C.D.
4．已知等比数列的前n项和为，若，，则( )
A.16B.17C.18D.20
5．设函数，若，则实数m的值为( )
A.B.2C.D.
6．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求.必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展.某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为( ).
A.781万元，60万元B.525万元，200万元
C.781万元，200万元D.1122万元，270万元
7．已知定义在R上的函数，其导函数为，且，则( )
A.B.
C.D.
8．已知等差数列和等差数列的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数为( )
A.6B.7C.8D.9
二、多项选择题
9．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则( )
A.在上单调递减B.有极小值
C.有3个极值点D.在处取得最大值
10．已知等比数列的前n项积为,,公比,,则( )
A.B.
C.当时,最小D.当时,最大
11．已知，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知函数的图象在点处的切线为l,则l的倾斜角为______.
13．在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（，2，···）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，则_________.
四、双空题
14．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，且，则____，当取得最小值时，___.
五、解答题
15．已知函数，且.
（1）求a的值；
（2）求函数的图象在点处的切线方程.
16．已知数列是单调递增的等比数列,数列是等差数列,且,,.
（1）求数列与数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
17．已知函数处取得极值.
（1）求a，b的值；
（2）若存在，使得成立，求实数t的取值范围.
18．已知数列的首项,且满足.
（1）证明:是等比数列;
（2）数列满足,,记,求数列的前n项和.
19．给出定义:设是函数的导函数,是函数的导函数,若方程有实数解,则称为函数的“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”,且该“固点”也是函数图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题:已知函数.
(1)当时,试求的对称中心;
(2)讨论的单调性；
(3)当时,有三个不相等的实数根,当取得最大值时,求m的值.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可知，，.故选D.
2．答案：C
解析：，，，.
故选：C
3．答案：B
解析：由题意，函数的定义域为，则，
令，解得，
所以，函数的单调递增区间为.
故选：B.
4．答案：C
解析：因为为等比数列，所以，且，
所以，则.
故选：C.
5．答案：A
解析：因为，所以，
所以即，解得，
所以，由，得.
故选：A
6．答案：C
解析：由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是（万元）.
由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，
所以这五年的旅游收入总额是（万元）.
故选：C.
7．答案：B
解析：由题意得，则，且定义域为R，
所以可构造函数，则，
所以为增函数，则，
则，故B正确.
故选：B.
8．答案：C
解析：因为等差数列和等差数列的前n项和分别为和，所以，
又，所以，
因此要为整数，当且仅当是正整数，又，则是36的大于1的约数，又36的非1的正约数有2，3，4，6，9，12，18，36，共8个，
则n的值有1，2，3，5，8，11，17，35，共8个，
所以使得为整数的正整数n的个数为8.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：由的图象可知时，，则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；当时，，则单调递增，所以，在处不能取得最大值，故D错误.故选ABC.
10．答案：BC
解析：由题意知,由,得,
所以,且,所以,
且当时,最小,故A,D错误,B,C正确.
故选：BC.
11．答案：CD
解析：当时，，.
，，为增函数，，，为减函数,
且
其简图如下，
设，由图可知当时，方程有三个根，
因为方程恰好有6个不同的实数解，
所以在上有两个不等的实数根，
则，解得.
故选：CD
12．答案：
解析：由题意得,所以,设直线l的倾斜角为,则,所以.
13．答案：348
解析：设公差为,由题意得,
即,解得,
解得或（舍去）,
故,,
则,,,,
,,,
,,,
,,
故.
故答案为：348.
14．答案：① .② .6
解析：由题意知，因为，所以，
故为公比为的等比数列，
由得，，解得，
所以，
则，
当取得最小值时，则为奇数，且取得最小值，
所以或（舍）.
故答案为：；
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，
又，所以，解得.
（2）由，得，所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即.
16．答案：（1），，
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为q，等差数列的公差为d，
由，得，
即，即，
解得或.
当时，，不满足单调递增，
当时，，满足单调递增，
故，所以.
又，所以，
所以，
即数列与数列的通项公式为，，
（2）利用等比数列前n项和公式可得，数列的前n项和为，
数列的前n项和为，
所以数列的前n项和，
即
17．答案：（1），；（2）
解析：（1），
因为函数在处取到极值-26，
所以，即，解得.
经检验，当，时，在处取到极值，所以，.
（2）因为存在，使得成立，所以，
由（1）知，，
令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
所以.
又，所以，所以.
所以实数t的取值范围是.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:由题意,得,所以,
又,所以,所以,
所以是首项为3,公比为3的等比数列.
（2）由（1）,得,所以.
由,得,
所以,,…,
当时,;
当时,,满足上式,所以.
,
所以,①
,②
①-②,得,
所以.
19．答案：(1)
(2)当时,在R上单调递增;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,在上单调递减
(3)16
解析：(1),,,令,解得,,故的对称中心为.
(2),
令,则,,
当时,,恒成立,所以函数在R上单调递增;
当时,,在上,,函数在,上单调递增;在上,,函数在上单调递减;
当时,,在,上,,函数在,上单调递增;在上,,函数上单调递减
综上所述:
当时,在R上单调递增;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,在上单调递减.
(3),,
令,得,,所以对称中心为,
当和时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
；
.
要使得有三个解,故,且,,是方程的根,
由于对称性,为了简化研究,只研究的情况,
根据常数项知:,根据含项的系数知:,
且,所以,
故,即,
当时,取得最大值,此时.