黑龙江省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A.零向量没有方向
B.共线向量一定是相等向量
C.若向量，同向，且，则
D.单位向量的模都相等
2．化简( )
A.B.C.D.
3．( )
A.B.C.D.
4．在中，，，，则( )
A.4B.C.3D.
5．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到的图象，则( )
A.B.
C.D.
6．若，，则( )
A.4B.C.5D.
7．已知函数，，，的一段图象过点，如图所示，则函数( )
A.B.
C.D.
8．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点G，H，O分别为的重心，垂心，外心，D为的中点，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在边长为1的正方形中，E，F分别为，的中点，则( )
A.B.C.D.
10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A.若，则为等腰三角形
B.
C.若，则是锐角三角形
D.若，，则的面积为
11．已知函数在区间上有且仅有3个零点，则( )
A.在区间上有且仅有4条对称轴
B.的最小正周期可能是
C.的取值范围是
D.在区间上单调递增
三、填空题
12．已知向量，，则____________.
13．在边长为2的菱形中，M，N分别为，的中点，，则__________.
14．已知，，当时，，则______.
四、解答题
15．已知O为坐标原点，，，.
（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；
（2）若点M满足，求的最小值.
16．已知向量与的夹角为，，.
（1）求的值；
（2）若，求在上的投影向量的坐标.
17．已知向量，，，，的夹角为.
（1）求；
（2）若存在实数t，使得与的夹角为锐角，求t的取值范围.
18．如图，在梯形中，，，，点E，F，G，H分别为线段，上的三等分点，点P是线段上的一点.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.
19．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，求面积的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A：模为0的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；
对于C：向量不可以比较大小，故C错误；
对于D：单位向量的模为1，都相等，故D正确.
故选：D
2．答案：A
解析：解：，
，
故选：A
3．答案：A
解析：.
故选：A
4．答案：C
解析：因为，，所以，
由正弦定理得，解得.
故选：C
5．答案：B
解析：将函数的图象向左平移个单位，
可得的图象；
再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得．
故选：B．
6．答案：D
解析：因为，
所以
即，
因为，所以，
所以，则，
所以，
所以.
故选：D
7．答案：D
解析：由图知，，则.
由图知，在取得最大值，且图象经过，故，
所以，，故，，
又因为，所以，
函数又经过，故，得.
所以函数的表达式为.
故选：D.
8．答案：B
解析：因为O为的外心，D为的中点，所以,
因为H为的垂心，所以,
所以,
易得，，，
所以，所以.
因为G为的重心，所以.
所以,
所以.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A，，
所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：对于A，因为在中，，，
所以当时，，故为等腰三角形，故A正确；
对于B，由正弦定理，得，，，
所以，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
又因为C是中的一个内角，所以，
所以是钝角三角形，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：CD
解析：对C：由函数，令，，则，，
函数在区间上有且仅有个零点，即有且仅有个整数k符合，
由，得，则，
即，，故C正确；
对于A：，，.
当时，区间上有且仅有3条对称轴；
当时，在区间上有且仅有4条对称轴，故A错误；
对于B：周期，由，则，，
又，所以的最小正周期不可能是，故B错误；
对于D：，，
又，，所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：CD.
12．答案：
解析：结合题意可得：.
因为，，
所以，
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：记与交于点O，，
由题知，①，
在中，由余弦定理有②，
联立 ① ② 解得，
所以，
因为，所以，.
所以，，
以O为原点，，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
所以，
所以.
故答案为：
14．答案：-1
解析：由，，可得，
所以函数周期，
所以，
故答案为：-1
15．答案：（1）；（2）
解析：（1）因为，，，
所以，，
又A，B，C三点共线，所以，
所以，解得（2）因为，，
所以，，
所以，
所以
，
所以当时
16．答案：（1）；（2）.
解析：（1）因为向量与的夹角为，，，
所以，
所以
（2）由投影向量公式可得：
.
17．答案：（1）；（2）
解析：（1），
因为，所以；
（2）设与的夹角为，
则且，故，且与不同向共线，
，，
故，
且，
解得且，
故t的取值范围是.
18．答案：（1）16；（2）；（3）
解析：（1）设，，，，
，
，即.
（2），，
.
（3）连接，B，N，D三点共线，，，，
，N为的中点，
.
设，则.
设.
在中，，
，
，，解得，
，
19．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为，
所以，
即.
令，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）结合（1）问，因为
所以，即，
所以，，即，.
因为在锐角中，，所以.
因为，所以.
在中，由正弦定理可得，即，
在中易得，
，
因为为锐角三角形，且，且易得，
所以，得，所以，
易得，即，
所以.
故面积取值范围为.