青神中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份青神中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．求的值为( )
A.12B.18C.24D.30
2．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则( )
A.B.2C.D.
3．已知函数，则的单调递增区间为( )
A.B.C.D.
4．已知的二项式系数和为256，其展开式中第4项的系数为( )
A.B.C.D.
5．2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就座，若要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有( )
A.8种B.12种C.16种D.24种
6．已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数的图象如图所示，设，，，则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
7．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有( )
A.180B.192C.300D.420
8．已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于的展开式，下列判断正确的是( )
A.展开式共有6项B.展开式的各二项式系数的和为64
C.展开式的第6项的系数为30D.展开式中二项式系数最大的项是第4项
10．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是( )
A.排成前后两排，前排3人，后排4人，共有种方法
B.全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法
C.全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法
D.全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有种方法
11．已知函数，则下列结论正确的是( )
A.函数存在三个不同的零点
B.函数既存在极大值又存在极小值
C.若时，，则t的最小值为2
D.若方程有两个实根，则
三、填空题
12．若函数，则_________.
13．展开式中的系数为________.(用数字作答)
14．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”.
(1)设，则在上的“新驻点”为______；
(2)如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是______.
四、解答题
15．(1)利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？
(2)从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
16．已知函数，.
(1)若，求a的值，并求出在处的切线方程；
(2)若，，求最小值的最大值.
17．已知.
(1)若，求中含项的系数；
(2)若，求的值.
18．已知函数(e为自然对数的底数).
(1)讨论的单调性；
(2)若，当时，恒成立，求实数m的取值范围.
19．关于x的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.
(1)证明：有唯一零点a，且；
(2)现在，我们任取开始，实施如下步骤：
在处作曲线的切线，交x轴于点；
在处作曲线的切线，交x轴于点；
……
在处作曲线的切线，交x轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.
(i)设，求的解析式(用表示)；
(ii)证明：当，总有
参考答案
1．答案：B
2．答案：D
3．答案：A
4．答案：A
5．答案：A
6．答案：D
7．答案：D
解析：如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有种；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，
若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有种情况；则一共有种情况.
故选：D.
8．答案：B
解析：函数，，，
令，显然函数在上单调递增，而不等式为，
因此，，
令函数，求导得，当时，，递增，
当时，，递减，因此，于是，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
9．答案：BD
10．答案：ACD
11．答案：BD
解析：定义域为R，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，，，，
在区间和内各存在一个零点；
当时，，，恒成立；
有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；
对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确.
故选：BD.
12．答案：
13．答案：90
14．答案：(1)
(2)
15．答案：(1)48
(2)1440
解析：(1)不选0时，先从1，5，7中选一个数放在个位，然后剩下的4个数中选2个排在十位和百位，则有个奇数；
选0时，先把0放在十位，然后从1，5，7中选一个数放在个位，再从剩下的3个数中选1个放百位，则有个奇数；
所以共有个奇数.
(2)从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，
一共可以组成个没有重复数字的五位数.
16．答案：(1),
(2)3
解析：(1)因为，所以，即，
所以，所以.
，
所以，则所求切线方程为，即.
(2)由题意得，，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
记()，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即最小值的最大值为3.
17．答案：(1)99
(2)
解析：(1)，
因为展开式中的第项，
所以展开式中含项分别为，
故中含的项为，
所以中含项的系数为99.
(2)，
令得①，
令得②，
两式相减①-②：，
所以.
18．答案：(1)当时，函数在上是增函数；当时，函数递减区间是，递增区间是
(2)
解析：(1)函数的定义域为R，求导得：，
若，则，即在上是增函数；
若，由得，由得，即函数在上递减，在上递增，
所以当时，函数在上是增函数；当时，函数递减区间是，递增区间是.
(2)当时，，，
令，依题意，当时，恒成立，即函数在上单调递增，
因此，，即恒成立，令,，
求导得：，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则，即，
所以实数m的取值范围为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)(i)
(ii)证明见解析
解析：(1)证明：，定义域为，
所以，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为,，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点a，且.
(2)(i)由(1)知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即
令得
所以，切线与x轴的交点，即，
所以，.
(ii)对任意的，由(i)知，曲线在处的切线方程为：
，故令，
令
所以，，
所以，当时，,单调递增，当时，,单调递减；
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由(i)知，，且当时，，
(若，则，故任意，显然矛盾)
因为是的零点，
所以
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有
又因为，
所以，对于任意，均有，
所以，,
所以.
综上，当，总有.