宜丰中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份宜丰中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．“,”是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．函数的一个单调递增区间是( )
A.B.C.D.
5．已知,,则与平行的单位向量为( )
A.B.或
C.或D.
6．的内角A,B,C的对边是a,b,c,若的面积为,则C的大小( )
A.B.C.D.
7．在中,,,若,,线段AD与BE交于点F,则( )
A.B.C.D.
8．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点O,G,P,Q分别为所在平面内一点,且有,,,,则点O,G,P,Q分别为的( )
A.垂心,重心,外心,内心B.垂心,重心,内心,外心
C.外心,重心,垂心,内心D.外心,垂心,重心,内心
二、多项选择题
9．已知,,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
10．是边长为1的等边三角形,已知向量,,则下列说法中正确的是( )
A.B.
C.D.若,则
11．已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.的最小正周期为
B.当时,的值域为
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点对称
12．已知函数,则( )
A.的定义域为B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称D.在区间上的最小值为
三、填空题
13．样本数据5,11,6,8,14,8,10,5的40%分位数为________.
14．设函数为奇函数,则________.
15．________.
16．已知在平面四边形中,,,,,四个内角满足,则四边形的面积为______________.
四、解答题
17．已知,求下列各式的值.
（1）;
（2）.
18．的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,.
（1）求b;
（2）求的面积.
19．某高校的入学面试中有4道题目,第1题2分,第2题3分,第3题4分,第4题4分,每道题目答对得满分,答错得0分,小明答对第1,2,3,4题的概率分别为,,,,且每道题目是否答对相互独立.
（1）求小明4道题目至少答错1道题的概率;
（2）若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功,求小明面试成功的概率.
20．已知向量,,函数,
（1）求不等式的解集;
（2）若的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,求的取值范围.
21．如图,在四边形ABCD中,,,,且,.
（1）求实数的值
（2）已知M,N是线段BC上的两个动点,且,求的最小值.
22．若锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围
参考答案
1．答案：C
解析：原式.
2．答案：D
解析：A中,,,则,
B中,,则,则.
故选:D.
3．答案：A
解析：,则,或,
故“”是的充分不必要条件.
故选:A.
4．答案：C
解析：根据的图象,如图,
函数的一个单调增区间是
故选C.
5．答案：C
解析：由题意可知,的面积为,所以,所以,所以,所以
6．答案：A
解析：
7．答案：B解析：如下图所示:
由,可得D,E分别为BC,AC的中点,由中线性质可得,又,所以,
因此.故选:B
8．答案：A
解析：由,得
即,
则,
所以,则,同理可得,即O是三边上高的交点,则O为的垂心;由,得,设AB的中点为M,则,即G,M,C三点共线,所以G在的中线CM上,同理可得G在的其余两边的中线上,即G是三边中线的交点,故G为的重心;由,得,即,又M是AB的中点,所以P在AB的垂直平分线上,同理可得,P在BC,AC的垂直平分线上,即P是三边垂直平分线的交点,故P是的外心;延长CQ交AB于点N,因为Q,C,N三点共线,则设,
且,代入,得,即①,
又因为与共线,与,不共线,则只能当且时,①成立,即,则,由正弦定理得:,又,则,即,又,所以,则CN是的角平分线,即点Q在的角平分线上,同理可得,Q在,的垂直平分线上,
即Q是内角平分线的交点,故Q是的内心;故选:A.
9．答案：ABC
解析：
10．答案：AC
解析：A.,
,A正确,
B.,B错误,
C.,
,C正确,
D.,C正确,
设,
,,D错误
故选:AC.
11．答案：ACD
解析：由图可知,,函数的最小正周期,故A正确;由,,知,因为,所以,所以,,即,,又,所以,所以,对于B,当时,,所以,所以的值域为,故B错误;对于C,将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,故C正确;对于D,将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,因为当时,,所以得到的函数图象关于点对称,故D正确.故选:ACD.
12．答案：CD
解析：对于A,由题意当时,,此时无意义,故A错误;对于B,,故B错误;对于C,因为,
所以,故C正确;
对于D,不妨设,若,则,而,所以,设,,由复合函数单调性可知y关于t单调递减,所以当且仅当,,综上所述在区间上的最小值为,故D正确.故选:CD.
13．答案：8
解析：把这组数据按从小到大的顺序排列为5,5,6,8,8,10,11,14计算,
所以这组数据的40%分位是第4个数,为8.故答案为:8.
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：
.故答案为:.
16．答案：
解析：由题意,,且,则.
在中,,
在中,,
故且,解得,
则
,
故答案为：D.
17．答案：（1）5
（2）
解析：（1）.
（2）.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,,解得(舍),,.
（2）.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）小明同学4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对,
所以小明同学4道题目至少答错1道题的概率为.
（2）由题意得,要使得面试分数不低于8分,若只答对2题,则应是第3题和第4题;若只答对三题或全部答对,面试得分均不低于8分.
设事件A,B,C,D分别为小明答对第1,2,3,4题,
则小明面试成功的概率
.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由向量,,得,
由,得,则,,解得,,
所以不等式的解集是.
（2）在中,由,得,由,得,
则,即,由余弦定理得,
得,
解得,当且仅当时取等号,又,即,
所以的取值范围是.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,所以,所以,所以,又,所以,即.
（2）以BC为x轴正方向,过B作BC垂线为y轴,建立坐标系,如图所示,因为,所以,则,设,则,因为M,N是线段BC上的两个动点,所以,解得,所以,,所以,所以当时,有最小值
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，所以，
因为，所以.
(2)因为外接圆的半径为，所以，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，即.
令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，
在上单调递增，且，，，
所以，即，
所以，即的取值范围为.