重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从A处到达他所在的班级B处(所有楼道间是连通的)，则最短路程不同的走法为( )
A.5B.10C.15D.20
2．展开式中含项的系数为( )
A.30B.24C.20D.15
3．若函数在时取得极值,则( )
A.2B.3C.4D.5
4．已知是等差数列的前n项和,且满足,则( )
A.65B.55C.45D.35
5．在展开式中,含的项的系数是( )
A.220B.-220C.100D.–100
6．设,分别是定义在R上的奇函数和偶函数,,为其导函数,当时,且,则使不等式成立的x的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知,若且,则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．已知函数,,若两曲线,有公共点,且在该点处它们的切线相同,则当时,b的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数
B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C.由1,2,3组成两位数的不同方法数
D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数
10．已知X的分布列为,则下列说法正确的有( )
A.B.
C.D.
11．已知数列满足,,则下列说法正确的是( )
A.B.为递增数列
C.D.
三、填空题
12．函数的图象在处的切线方程为_________________.
13．曲线在点处的切线方程为_______________.
14．已知k为常数,函数,若关于x的方程有且只有2个不同的解,则实数k的取值范围是_________________.
四、解答题
15．已知等差数列的公差,且,,的前n项和为.
(1)求的通项公式;
(2)若,,成等比数列,求m的值.
16．已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若函数在区间上单调递增,求实数a的取值范围.
17．从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,每次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列;
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练,且第1次由甲将球传出,记n次传球后球在甲手中的概率为,.
①直接写出,,的值;
②求与的关系式（）,并求.
18．将保护区分为面积大小相近的多个区域,用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号,统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（,2,…,15）,得到数组.已知,,.
(1)求样本（,2…,15）的相关系数;
(2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）.研究人员统计大量数据后发现：对于任意的,寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同,均等于0.1,这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
（ⅰ）求（）的表达式;
（ⅱ）推导该植物寿命期望的值.
附：相关系数.
19．组合数有许多丰富有趣的性质,例如,二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质,请帮他完成下面的探究.
(1)计算：,并与比较,你有什么发现？写出一般性结论并证明;
(2)证明：
(3)利用上述（1）（2）两小问的结论,证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：从A到B共需走6步，其中横步(向右)有两步，竖直向上的有4步，
故最短路程的不同走法数为，
故选C.
2．答案：D
解析：,令,解得,
所以含项的系数为.
故选：D.
3．答案：D
解析：
4．答案：D
解析：设数列的公差为d,
则,,
,,
故选：D.
5．答案：D
解析：由题意知,含的项有两部分,,
所以含的项的系数是.
故选：D.
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：A
解析：
9．答案：AB
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：,所以切线的斜率,切点为,所以切线方程为,即.
13．答案：
解析：,,
则曲线在点处的切线方程为,即,
故答案为：.
14．答案：
解析：因为关于x的方程有且只有2个不同的解,所以的图像与直线有两个不同的交点,又及的图像如图所示：
当时,因 的图像与直线 有两个不同的交点,
故直线与,相切,与,有一个交点,设切点为,
从而 , 解得,.当 时,因 的图像与直线有两个不同的交点,故直线 与 ,有两个公共点,所以方程,有两个不同的解,即,有两个不同的解,即 ,
所以, 故,
综上,.
故填：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）等差数列中,由,得,又,而,即,
解得,则,于是
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知,则,,,
由,,成等比数列,得,即,
整理得,而,解得,
所以.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）函数的定义域为,
又,
又,二次函数,开口向上,对称轴为,当时,
所以关于x的方程异号的两个实数根,解得或（舍）,
所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增.
（2）依题意可得当时,恒成立,
所以在上恒成立,
即在上恒成立,则.
令,,
由,知在上单调递增,
从而.
经检验知,当时,函数不是常函数,
所以a的取值范围是.
17．答案：（1）X的可能取值为2和3,
则,
所以随机变量X的分布列为：
（2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练,且第1次由甲将球传出,次传球后球在甲手中的概率为,,
则有,,.
②记表示事件“经过n次传球后,球在甲手中”,
所以
即,,
所以,且.
所以数列表示以为首项,为公比的等比数列,
所以,所以
即n次传球后球在甲手中的概率是.
18．答案：（1）0.8
（2）（ⅰ）（ⅱ）10
解析：（1）由,,,
得相关系数.
（2）（ⅰ）依题意,,又,
则,当时,把换成,则,
两式相减,得,即,
又,于是对任意都成立,从而是首项为0.1,公比为0.9的等比数列,
所以;
（ⅱ）由定义知,,
而,
显然,
于是,
两式相减得
,
因此,
当足够大时,,,则,可认为.
所以该植物寿命期望的值是10.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）,,
规律：,证明如下：
的展开式中,的系数为,
同时,的展开式中的系数为,
所以.
（2）证明：的展开式中的系数为,
又,的展开式中的系数为
,
所以.
（3）证明：由（1）可知,
由（2）可知,
两式相减可得,
即.
X
0
1
2
P
a
X
2
3
P