甘肃省秦安县第二中学等校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份甘肃省秦安县第二中学等校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.i为虚数单位，若1+z=2+3i，则复数z的虚部为( )
A. 1B. 3C. iD. 3i
2.如图，在四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，BC=c，则DC=( )
A. a−b+c
B. b−(a+c)
C. a+b+c
D. b−a+c
3.已知某地A、B、C三个村的人口户数及就困情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是( )
A. 100，20B. 100，10C. 200，20D. 200，10
4.设a，b是非零向量，“a⋅b=|a||b|”是“a//b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知α为第二象限角，sinα+csα= 33，则sin2α=( )
A. −23B. 23C. −13D. 13
6.一艘船向正北方向航行，速度为每小时20nmile，在A处看灯塔S在船的北偏东30∘的方向上．行驶2小时后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东75∘的方向上．此时船与灯塔的距离为( )
A. 10 2nmile
B. 10 6nmile
C. 20 2nmile
D. 20 6nmile
7.已知平面内三点A(2,1)，B(6,4)，C(1,16)，则向量AB在BC的方向上的投影数量为( )
A. 165B. 335C. 1613D. 3313
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=7，b=4 3，c= 13，则△ABC的最小角为( )
A. π6B. π3C. π12D. π4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一组数据的方差和平均数为s2、x−，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的4倍，所得到的一组数据的方差和平均数是( )
A. 方差是s24B. 方差是16s2C. 平均数是4x−D. 平均数不变为x−
10.已知向量a=(1,−2)，b=(−1,m)，则( )
A. 若a与b垂直，则m=12B. 若a//b，则a⋅b的值为−5
C. 若m=2，则|a−b|=2 5D. 若m=−2，则a与b的夹角为60∘
11.下列公式正确的有( )
A. csαcsβ+sinαsinβ=cs(α+β)
B. cs2θ=2cs2θ−1
C. sin(π−α)=sinα
D. sin2α2=1−csα2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知csα=34，则cs2α=______.
13.△ABC中，AB=5，AC=7，B=120∘，则△ABC的面积为______.
14.已知sinα= 55,sin(α−β)=− 1010，α，β均为锐角，则β=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求实数m的值，使得复数z=m2+m−2+(m2−1)i分别是：
(1)实数；
(2)纯虚数.
16.(本小题15分)
已知a=(4,3)，b=(−1,2).
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a−λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
求证：tanθ2−1tanθ2=−2tanθ.
18.(本小题17分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，A=2π3.
(1)若B=C，a=2 3，求c；
(2)若△ABC的面积为2 3，c=2，求a.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2sin2ωx+2 3sinωxcsωx−1(ω>0)，且函数f(x)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1+z=2+3i，
则z=1+3i，其虚部为3.
故选：B.
根据已知条件，先求出z，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：如图，在四边形ABCD中，
∵AB=a，AD=b，BC=c，
∴b+DC=a+c，
∴DC=a+c−b，
故选：A.
如图，在四边形ABCD中，观察图形知b+DC=a+c，由此能得到DC=a+c−b.
本题考查向量的加减运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得，样本容量为：(350+450+200)×10%=100，
抽取C村贫困户的户数为：200×10%×50%=10.
故选：B.
利用分层抽样、扇形统计图和条形统计图直接求解．
本题考查频数的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件，必要条件的判断，向量的数量积，向量共线的定义，属于中档题．
分别讨论充分性和必要性，即可得到答案.
【解答】
解：(1)a⋅b=|a||b|cs，
∴a⋅b=|a||b|时，cs=1，
∴=0，
∴a//b，
∴“a⋅b=|a||b|”是“a//b”的充分条件；
(2)a//b时，a,b的夹角为0或π，
∴a⋅b=|a||b|，或−|a||b|，
即a//b得不到a⋅b=|a||b|，
∴“a⋅b=|a||b|”不是“a//b”的必要条件，
∴综上可得，“a⋅b=|a||b|”是“a//b”的充分不必要条件．
故选：A.
5.【答案】A
【解析】解：∵α为第二象限角，sinα+csα= 33，
∴两边平方可解得：1+sin2α=13，
∴sin2α=−23.
故选：A.
原式两边平方，由二倍角的正弦公式即可化简求值．
本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．
6.【答案】C
【解析】【分析】
利用条件求出△ABS中的已知量，利用正弦定理列式求解．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
【解答】
解：由条件有∠BAS=30∘，AB=40，∠SBA=180∘−75∘=105∘，∠BSA=180∘−105∘−30∘=45∘.
由正弦定理有ABsin∠BSA=BSsin∠BAS，代入数据得40sin45∘=BSsin30∘，解得BS=20 2.
故选：C.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量数量积的坐标运算，投影数量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
可求出AB=(4,3),BC=(−5,12)，然后即可求出AB⋅BC和|BC|的值，从而可得出AB在BC方向上的投影数量．
【解答】
解：AB=(4,3),BC=(−5,12)，
∴AB⋅BC=−20+36=16，|BC|=13，
∴AB在BC方向上的投影数量为：AB⋅BC|BC|=1613.
故选：C.
8.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∵a=7，b=4 3，c= 13，
∴由大边对大角可知，边c所对的角C最小，
由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=49+48−132×7×4= 32.
∵0故选：A.
由三角形中大边对大角可知，边c所对的角C最小，然后利用余弦定理的推论求得csC，则答案可求．
本题考查余弦定理的应用，考查了三角形中的边角关系，是基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：由平均数和方差的性质可知，新的数据的方差为42s2=16s2，平均数为4x−.
故选：BC.
利用平均数和方差的性质求解．
本题主要考查了平均数和方差的性质，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，若a与b垂直，则a⋅b=−1−2m=0，所以m=−12，故A错误；
对于B，若a//b，则1×m=−1×(−2)，解得m=2，所以b=(−1,2)，
所以a⋅b=−1−4=−5，故B正确；
对于C，若m=2，则b=(−1,2)，所以a−b=(1,−2)−(−1,2)=(2,−4)，
则|a−b|= 4+16=2 5，故C正确；
对于D，若m=−2，则cs⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=−1+4 5× 5=35>12，
又因为⟨a,b⟩∈[0,π]，所以a与b的夹角小于60∘，故D错误．
故选：BC.
由a⋅b=0判断A；由平面向量共线的坐标表示求出m，再由数量积的坐标表示计算即可判断B；由向量模的坐标表示判断C；由夹角公式判断D.
本题考查平面向量平行与垂直的坐标表示，数量积与夹角的坐标运算，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由差角余弦公式有csαcsβ+sinαsinβ=cs(α−β)，所以A选项错误；
由倍角余弦公式有cs2θ=2cs2θ−1，B选项正确；
由诱导公式有sin(π−α)=sinα，C选项正确；
由倍角余弦公式有sin2α2=1−csα2，D选项正确．
故选：BCD.
根据两角差的余弦公式、二倍角公式、诱导公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了两角差的余弦公式、二倍角公式、诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
12.【答案】18
【解析】解：∵csα=34，
∴cs2α=2cs2α−1=2×(34)2−1=18.
故答案为：18.
由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
13.【答案】15 34
【解析】解：在△ABC中，AB=5，AC=7，B=120∘，由余弦定理可得：72=52+a2−2×5acs120∘，化为：a2+5a−24=0，
解得：a=3.
∴S△ABC=12×3×5×sin120 ∘=15 34.
故答案为：15 34.
利用余弦定理可得a，再利用三角形面积计算公式即可得出．
本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】π4
【解析】解：因为α为锐角，sinα= 55，
所以csα=2 55，
因为−π2<α−β<π2，sin(α−β)=− 1010，
所以cs(α−β)=3 1010，
所以sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−sin(α−β)csα= 55×3 1010−(− 1010)×2 55= 22，
所以β=π4.
故答案为：π4.
由已知结合同角平方关系及和差角公式先求出sinβ，进而可求β.
本题主要考查了同角平方关系，和差角公式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由题知，复数z=m2+m−2+(m2−1)i为实数当且仅当m2−1=0，即m=1或m=−1，
所以当m=1或m=−1时，复数z=m2+m−2+(m2−1)i为实数．
(2)复数z=m2+m−2+(m2−1)i为纯虚数当且仅当m2+m−2=0m2−1≠0，即(m+2)(m−1)=0(m+1)(m−1)≠0，
唯一满足此条件的m的值是m=−2，
所以当m=−2时，复数z=m2+m−2+(m2−1)i为纯虚数．
【解析】(1)根据复数为实数时m2−1=0解决即可；
(2)根据纯虚数的定义，即可求解；
本题主要考查实数、纯虚数的定义，属于基础题．
16.【答案】解：(1)a⋅b=−4+6=2，|a|= 42+32=5，|b|= (−1)2+22= 5.
∴cs=a⋅b|a||b|=25 5=2 525.
(2)a−λb=(4+λ,3−2λ)，2a+b=(7,8)，
又(a−λb)⊥(2a+b)，∴(a−λb)⋅(2a+b)=7(4+λ)+8(3−2λ)=0，
解得λ=529.
【解析】(1)利用cs=a⋅b|a||b|即可得出．
(2)(a−λb)⊥(2a+b)，可得(a−λb)⋅(2a+b)=0，解得λ.
本题考查了向量数量积运算法则、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】证明：∵tanθ2−1tanθ2=sinθ2csθ2−csθ2sinθ2=sin2θ2−cs2θ2sinθ2csθ2=−csθ12sinθ=−2tanθ，
∴tanθ2−1tanθ2=−2tanθ成立．
【解析】由条件利用三角函数的恒等变换化简所给式子的左边，可得它等于等式的右边，从而证得等式．
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为A=2π3，B=C，所以B=C=π6，
由正弦定理asinA=csinC，可得c=2；
(2)因为△ABC的面积为2 3，
所以12bcsinA=2 3，因为A=2π3，c=2，
所以 32b=2 3，解得b=4，
由余弦定理可得a2=16+4−2×4×2cs2π3=28，即a=2 7.
【解析】(1)先求出角C，结合正弦定理可得答案；(2)先利用面积求出b，结合余弦定理可得答案
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
19.【答案】解 (1)f(x)=2sin2ωx+2 3sinωxcsωx−1=1−cs2ωx+ 3sin2ωx−1=2sin(2ωx−π6).
由函数f(x)的最小正周期T=2π2ω=π，
所以ω=1，f(x)=2sin(2x−π6)，
令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z，k∈Z；
(2)g(x)=f(x+π4)=2sin(2x+π3)，
根据正弦函数的性质可知，g(x)的最大值为2，
此时sin(2x+π3)=1，即2x+π3=2kπ+π2,k∈Z，k∈Z，
解得x=kπ+π12,k∈Z，k∈Z，
所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+π12,k∈Z}.
【解析】(1)先利用二倍角公式，二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；
(2)先求出g(x)的解析式，然后结合正弦函数的最值取得条件可求．
本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．