辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

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考试时间：120分钟
分数：150分
试卷说明：本试卷共二部分:第一部分：选择题型（1－11题 58分）
第二部分：非选择题型（12－19题 92分）
第Ⅰ卷(选择题 共58分)
一、选择题：本题共8小题的，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. ，则是（ ）
第一或第二象限角第二或第四象限角
第一或第三象限角第二或第三象限角
对于任意非零向量，，，若，在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是( )
∥ ∥
⊥ ⊥
3.2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案。出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝，玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美。现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，，，若，，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
图1

4.已知向量，，若，则（ ）

5.函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ）

6.若，则（ ）
或 或
7.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ）

8.已知，，，则下列不等式成立的是（ ）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.四边形内接于圆，，，，下列结论正确的有（ ）
四边形为梯形 四边形 的面积为
圆的直径为 的三边长度满足
10.下列命题正确的是（ ）
向量在向量上的投影为，则.
已知，若与的夹角不为锐角，则t的取值范围为.
点在所在的平面内，且满足，则点是的垂心.
在平面直角坐标系中，，，而且三点不共线，则.
11.已知函数，则（ ）
在区间单调递增.
的图象关于直线 对称.
的值域为 .
关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为.第Ⅱ卷(选择题 共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中，，则
13.设是单位向量，且，则的范围为
14.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
在中，已知，，.
(1)求的大小；
(2)若，求函数在上的单调递增区间.
16.（15分）
已知向量，.
若∥，求.
若，函数 ；
（ⅰ）求的值域.
（ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标.
17.（15分）
如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方.经测量得知AD=6米，AE=6米，AP=2米，.记（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米．
（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据）
（2）求的最小值.
18.（17分）
在锐角中，内角的对边分别为，的面积为，且
， .
（1）求的面积最大值.
（2）求的取值范围.
19.（17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值.