北京市2024年中考数学模拟试卷2（含解析）

这是一份北京市2024年中考数学模拟试卷2（含解析），共27页。
A．13×103B．1.3×103C．1.3×104D．0.13×105
2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）如图，若∠2＝31°，则∠1的度数是（ ）
A．31°B．59°C．49°D．69°
4．（2分）已知x＞y，那么下列各式一定正确的个数是（ ）
①x+9＞y+9
②﹣3x＜﹣3y
③x2＜y2
④3x﹣5＜3y﹣5
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
6．（2分）正十二边形的外角和为（ ）
A．30°B．150°C．360°D．1800°
7．（2分）某气象台预报“本市明天下雨的概率为90%”，对此信息，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定会下雨
B．明天一定不会下雨
C．明天90%的时间在下雨
D．明天下雨的可能性比较大
8．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，连接AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6，则△AEC的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）如果分式1x−3有意义，那么x的取值范围是 ．
10．（2分）把多项式ax2﹣ay2分解因式的结果为 ．
11．（2分）已知分式5x与15x+23的值相等，则x的值为 ．
12．（2分）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y=1x（x＜0）的图象上，顶点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，顶点C在y轴负半轴上，AB∥y轴，AB，AC分别交x轴于点D，E．若DBOC=OCAD=23，则k＝ ．
13．（2分）在2000个数据中，用适当的方法抽取100个为样本进行统计，频数分布表中54.5～57.5这一组的频数为6，那么估计总体数据在54.5～57.5内的有 个．
14．（2分）如图，已知在△ABC中，D，E分别在AB，AC的反向延长线上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，EC＝14cm，则AC＝ ．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，BE、CE都是⊙O的切线，设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝43，求阴影部分的面积 m2．
16．（2分）如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第一的区县是 ，上一年度排在第7，8，9名的区县依次是 ．（写出一种符合条件的排序）
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：25−(12)−1+|2−3|−4cs30°．
18．（5分）解不等式组：x+3(x−1)＜2x−12＞x+1．
19．（5分）若a＝2b≠0，求4b2−4a2a2−ab的值．
20．（6分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC于点E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接AF，若tan∠ABC＝2，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
21．（6分）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书中记载了一个问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
22．（5分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，6）和点B（0，4）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若此一次函数图象与x轴交于点C，求△BOC的面积．
23．（5分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1）上述表格中：m＝ ，n＝ ；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是 （填序号）；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
24．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD．若∠BDC＝40°，求∠BCD的度数．
25．（5分）某出租车公司收费标准如图所示，如果小明有19元钱，那么他乘此出租车最远能到达多少千米处？
26．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+16的图象经过点（﹣2，40）和点（6，﹣8）．
（1）分别求a、b的值，并指出二次函数图象的顶点、对称轴．
（2）当﹣2≤x≤6时，试求二次函数y的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．
28．（7分）如图1，四边形ADBC内接于⊙O，E为BD延长线上一点，AD平分∠EDC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若△ABC为等边三角形，则∠EDA＝ 度；（直接写答案）
（3）如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E，且DB＝AE＝2，求⊙O的半径．
北京市2024年中考数学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）2020年中国田径协会金牌赛事福州马拉松于12月20日上午7：30在五一广场鸣枪起跑，设马拉松、半程马拉松两个项目，两万名跑者参与，其中全程马拉松7000人，半程马拉松13000人．数据13000用科学记数法表示为（ ）
A．13×103B．1.3×103C．1.3×104D．0.13×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：用科学记数法表示13000，应记作1.3×104．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（2分）如图，若∠2＝31°，则∠1的度数是（ ）
A．31°B．59°C．49°D．69°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平角的定义即可求解．
【解答】解：∵∠2＝31°，
∴∠1＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
故选：B．
【点评】本题考查了平角，关键是熟悉平角等于180°的知识点．
4．（2分）已知x＞y，那么下列各式一定正确的个数是（ ）
①x+9＞y+9
②﹣3x＜﹣3y
③x2＜y2
④3x﹣5＜3y﹣5
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质分别判断即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x+9＞y+9，
故①符合题意；
﹣3x＜﹣3y，
故②符合题意；
x2＞y2，
故③不符合题意；
3x＞3y，
∴3x﹣5＞3y﹣5，
故④不符合题意，
综上所述，正确的有①②，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5．（2分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
【解答】解：根据题意可得，a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟练应用根的判别式进行计算是解决本题的关键．
6．（2分）正十二边形的外角和为（ ）
A．30°B．150°C．360°D．1800°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；符号意识．
【答案】C
【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°．
【解答】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C．
【点评】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是指出定理即可求出正十二边行的外角和度数．
7．（2分）某气象台预报“本市明天下雨的概率为90%”，对此信息，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定会下雨
B．明天一定不会下雨
C．明天90%的时间在下雨
D．明天下雨的可能性比较大
【考点】概率的意义．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据概率的意义，即可解答．
【解答】解：某气象台预报“本市明天下雨的概率为90%”，说明明天下雨的可能性比较大，
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
8．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，连接AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6，则△AEC的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【考点】全等三角形的性质．
【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由全等三角形的性质推出BE＝AE，由△ABC的周长比△AEC的周长大6，得到AB+BC+AC﹣（AC+CE+AE）＝AB＝6，由AC：AB：BC＝2：3：4，求出AC+BC＝（2+4）×（6÷3）＝12，即可得到△AEC的周长为AC+BC＝12．
【解答】解：∵△ADE≌△△BDE，
∴BE＝AE，
∵△ABC的周长比△AEC的周长大6，
∴AB+BC+AC﹣（AC+CE+AE）＝AB+BC+AC﹣（AC+CE+BE）＝AB+BC+AC—（AC+BC）＝AB＝6，
∵AC：AB：BC＝2：3：4，
∴AC+BC＝（2+4）×（6÷3）＝12，
∴△AEC的周长为＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝12．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角的性质得到AE＝BE，从而推出△ABC的周长与△AEC的周长差是AB．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）如果分式1x−3有意义，那么x的取值范围是 x≠3 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x≠3．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，列不等式求解即可．
【解答】解：∵分式1x−3有意义，
∴x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
10．（2分）把多项式ax2﹣ay2分解因式的结果为 a（x+y）（x﹣y） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a（x+y）（x﹣y）．
【分析】先提公因式，再用平方差公式．
【解答】解：ax2﹣ay2
＝a（x2﹣y2）
＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式和公式法是关键．
11．（2分）已知分式5x与15x+23的值相等，则x的值为 ﹣15 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣15．
【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论
【解答】解：根据题意得：5x=15x+23，
15＝45+2x，
15﹣45＝2x，
x＝﹣15，
检验：把x＝﹣15代入3x≠0，
∴x＝﹣15是此方程的解．
故答案为：﹣15．
【点评】本题考查解分式方程，掌握根据题意列方程及解分式方程的步骤，检验是解题的关键．
12．（2分）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y=1x（x＜0）的图象上，顶点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，顶点C在y轴负半轴上，AB∥y轴，AB，AC分别交x轴于点D，E．若DBOC=OCAD=23，则k＝ −94 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】−94．
【分析】设A（a，ka）（a＜0，k＜0），则B（a，1a），得出AD=ka，BD=−1a，根据DBOC=OCAD=23，得出AD=32OC，从而得出结论．
【解答】解：设A（a，ka）（a＜0，k＜0），则B（a，1a），
∴AD=ka，BD=−1a，
∵DBOC=23，
∴OC=32DB=−32a，
∵OCAD=23，
∴AD=32OC=−94a=ka，
∴k=−94，
故答案为：−94．
【点评】本题考查反比函数图象上点的坐标特征，关键是设出点A坐标．
13．（2分）在2000个数据中，用适当的方法抽取100个为样本进行统计，频数分布表中54.5～57.5这一组的频数为6，那么估计总体数据在54.5～57.5内的有 120 个．
【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；推理能力．
【答案】120．
【分析】根据频率、频数的关系可知．
【解答】解：用样本估计总体：在频数分布表中，54.5～57.5这一组的频率是0.12，
那么估计总体数据落在54.5～57.5这一组的频数为6，这一组的频率同样是0.06，
那么其大约有2000×0.06＝120个．
故答案为：120．
【点评】本题考查频率、频数的关系：频率=频数数据总和．
14．（2分）如图，已知在△ABC中，D，E分别在AB，AC的反向延长线上，DE∥BC，若AD：AB＝3：4，EC＝14cm，则AC＝ 8cm ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】8cm．
【分析】根据DE∥BC得出ACCE=47，最后把EC＝14代入计算即可．
【解答】解：∴ADAB=34，
∴ABBD=47，
∵DE∥BC，
∴ACCE=ABBD=47，
∵EC＝14cm，
∴AC＝8cm．
故答案为：8cm．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，得出ACCE=ABBD=47是解决本题的关键．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，BE、CE都是⊙O的切线，设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝43，求阴影部分的面积 163−16π3 m2．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】163−16π3．
【分析】设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣2，OB＝R，由勾股定理得出（R﹣2）2+（23）2＝R2，解得R＝4，由扇形的面积公式可得出答案．
【解答】解：连接OC，
∵OD⊥BC于点D，
∴BD＝CD=12BC＝23m，
设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，
在Rt△OBD中，
∵OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣2）2+（23）2＝R2，
解得R＝4m．
∴OD＝2m，OB＝4m，
∵sin∠OBD=ODOB=24=12，
∴∠OBD＝30°，
∴∠BOD＝60°，∠BOC＝120°．
在Rt△OBE中，BE＝OBtan∠BOE＝43m，
∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC
＝2×12×4×43−120π⋅42360
＝（163−16π3）（m2）．
故答案为：163−16π3．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．（2分）如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第一的区县是 C ，上一年度排在第7，8，9名的区县依次是 HIG或EIG ．（写出一种符合条件的排序）
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题；推理能力；应用意识．
【答案】C，HIG或EIG．
【分析】结合图表及选项对年度GDP的上升及下降情况进行分析，选出正确答案．
【解答】解：∵A的名次上升了，且最多上升了两位，同时C的名次下降了，且最多下降2位，
又∵B的名次没有变化，
∴上一年度排在前三位分别是C、B、A；
又∵E的名次下降，且前四名已经确定，
∵上一年度F排在第5名；
同理：上一年度G排在第9名；
E排在第6名，则H排在第7名；I排在第8名；
或E排在第7名，则H排在第6名；I排在第8名；
所以上一年度排在第7，8，9名的区县依次是HIG或EIG．
故答案为：C，HIG或EIG．
【点评】此题考查了推理与论证，难度稍大，能够正确理解图表中的升与降是解答问题的关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：25−(12)−1+|2−3|−4cs30°．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5﹣33．
【分析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：25−(12)−1+|2−3|−4cs30°
＝5﹣2+（2−3）﹣4×32
＝5﹣2+2−3−23
＝5﹣33．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（5分）解不等式组：x+3(x−1)＜2x−12＞x+1．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜﹣3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+3（x﹣1）＜2，得：x＜54，
解不等式x−12＞x﹣1，得：x＜﹣3，
则不等式组的解集为x＜﹣3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）若a＝2b≠0，求4b2−4a2a2−ab的值．
【考点】分式的值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据约分法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：原式=4(b+a)(b−a)a(a−b)=−4(a+b)a，
当a＝2b时，原式=−4(2b+b)2b=−6．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的约分法则是解题的关键．
20．（6分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC于点E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接AF，若tan∠ABC＝2，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
【考点】矩形的判定与性质；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）13．
【分析】（1）先证四边形AEFD是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数定义求出AE＝2，再由矩形的性质得FD＝AE＝2，∠ADF＝90°，然后由勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，且AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，BE＝1，
∵tan∠ABC=AEBE=2，
∴AE＝2BE＝2，
∵四边形AEFD为矩形，
∴FD＝AE＝2，∠ADF＝90°，
∵AD＝3，
∴AF=AD2+DF2=32+22=13．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21．（6分）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书中记载了一个问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】20天．
【分析】设快马x天可以追上慢马，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时两马跑的路程相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
根据题意得：240x＝150（x+12），
解得：x＝20．
答：快马20天可以追上慢马．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．（5分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，6）和点B（0，4）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若此一次函数图象与x轴交于点C，求△BOC的面积．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝2x+4；
（2）4．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据直线解析式求得C的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）根据题意得k+b=6b=4，
解得k=2b=4，
所以一次函数的表达式为：y＝2x+4；
（2）令y＝0，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵B（0，4）．
∴OB＝4，OC＝2，
∴S△BOC=12OC⋅OB=12×2×4=4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．（5分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1）上述表格中：m＝ 3.75 ，n＝ 2.0 ；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是 ② （填序号）；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）3.75；2.0；
（2）②；
（3）这片树叶更可能是荔枝树叶．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据题目给出的数据判断即可；
（3）根据树叶的长宽比判断即可．
【解答】解：（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8，故m=3.7+3.82=3.75；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故n＝2.0；
故答案为：3.75；2.0；
（2）∵0.0424＜0.0669，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0，
∴B同学说法合理．
故答案为：②；
（3）∵11÷5.6≈1.96，
∴这片树叶更可能是荔枝树叶．
【点评】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
24．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD．若∠BDC＝40°，求∠BCD的度数．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】100°．
【分析】先由同弧所对的圆周角相等得∠BAC＝∠BDC＝40°，再由角平分线的定义得∠BAC＝∠DAC＝40°，据此可得出∠BAD＝80°，然后根据圆内接四边形的对角互补可得出∠BCD的度数．
【解答】解：∵∠BDC＝40°，
∴∠BAC＝∠BDC＝40°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝80°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣80°＝100°
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，理解同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
25．（5分）某出租车公司收费标准如图所示，如果小明有19元钱，那么他乘此出租车最远能到达多少千米处？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象中的数据，可以求得当x＞3时的函数解析式，然后将y＝19代入函数解析式，求出相应的x的值，即可解答本题．
【解答】解：当x＞3时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
3k+b=58k+b=12，
解得，k=75b=45，
即当x＞3时，y与x的函数关系式为y=75x+45，
当y＝19时，19=75x+45，
解得，x＝13
即小明乘此出租车最远能到达13千米处．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
26．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+16的图象经过点（﹣2，40）和点（6，﹣8）．
（1）分别求a、b的值，并指出二次函数图象的顶点、对称轴．
（2）当﹣2≤x≤6时，试求二次函数y的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）a＝1，b＝﹣10，二次函数图象的顶点坐标为：（5，﹣9），对称轴为x＝5；
（2）﹣9≤y≤40．
【分析】（1）待定系数法可求得a、b的值，配方成二次函数顶点式可得顶点坐标、对称轴；
（2）由（1）知y＝（x﹣5）2﹣9且﹣2≤x≤6，利用二次函数性质可得y的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，将点（﹣2，40）和点（6，﹣8）代入y＝ax2+bx+16，
得：4a−2b+16=4036a+6b+16=−8，
解得：a=1b=−10，
∴二次函数解析式为：y＝x2﹣10x+16＝（x﹣5）2﹣9，
该二次函数图象的顶点坐标为：（5，﹣9），对称轴为x＝5；
（2）由（1）知当x＝5时，y取得最小值﹣9，
在﹣2≤x≤6中，当x＝﹣2时，y取得最大值40，
∴当﹣2≤x≤6时y的取值范围是﹣9≤y≤40．
【点评】本题考查了二次函数的性质，配方成顶点式是根本，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．
27．（7分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【答案】（1）见解答．
（2）∠AEF＝90°，证明见解答．
【分析】（1）由旋转的性质得DM＝DE，∠MDE＝2α，利用三角形外角的性质求出∠DEC＝α＝∠C，可得DE＝DC，等量代换得到DM＝DC即可；
（2）延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B＝∠ACH，设DM＝DE＝m，CD＝n，求出BF＝2m＝CH，证明△ABF≌ACH（SAS），得到AF＝AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2α，
∵∠C＝α，
∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝α，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴DM＝DC，即D是MC的中点；
（2）∠AEF＝90°，
证明：如图，延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，
∵DF＝DC，
∴DE是△FCH的中位线，
∴DE∥CH，CH＝2DE，
由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2α，
∴∠FCH＝2α，
∵∠B＝∠C＝α，
∴∠ACH＝α，△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠ACH，AB＝AC
设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m+n，
.DF＝CD＝n，
∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM＝m+n，
∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，
∴CH＝BF，
在△ABF和△ACH中，
AB=AC∠B=∠ACHBF=CH，
∴△ABF≌△ACH（SAS），
∴AF＝AH，
∵FE＝EH，
∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
28．（7分）如图1，四边形ADBC内接于⊙O，E为BD延长线上一点，AD平分∠EDC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若△ABC为等边三角形，则∠EDA＝ 60 度；（直接写答案）
（3）如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E，且DB＝AE＝2，求⊙O的半径．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）60；
（3）5．
【分析】（1）根据角平分线的定义∠EDA＝∠ADC，再根据圆内接四边形的任一外角等于它的内对角以及圆周角定理证得∠ABC＝∠ACB，进而利用等腰三角形的判定可得结论；
（2）根据等边三角形的性质和圆内接四边形的任一外角等于它的内对角得到∠EDA＝∠ACB即可求解；
（3）先根据等弦对等弧和垂径定理的推论得到AH⊥BC，BH＝CH，再证明四边形AEBH是矩形，得到BH＝AE，进而求得BC＝4，在Rt△DBC中利用勾股定理求得CD=25可求解．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠EDC，
∴∠EDA＝∠ADC，
∵四边形ADBC是圆⊙O内接四边形，
∴∠EDA＝∠ACB，又∠ADC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
又∵四边形ADBC是圆⊙O内接四边形，
∴∠EDA＝∠ACB＝60°，
故答案为：60；
（3）解：在图2中，连接AO延长交BC于H，交⊙O于 K，
∵AB＝AC，
∴AB=AC，则BK=CK，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
∵CD为直径，
∴∠DBC＝90°，又AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠AHB＝90°，
∴四边形AEBH是矩形，
∴BH＝AE，
∵DB＝AE＝2，
∴BH＝2，则BC＝2BH＝4，
在Rt△DBC中，CD=BD2+BC2=22+42=25，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理的推论、圆内接四边形的性质、等弦对等弧、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义、勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识的联系与运用是解答的关键．名次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
区县
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
变化情况
↑
一
↓
一
↑
↓
↑
↓
↓
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.3
1.9
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.74
m
4.0
0.0424
荔枝树叶的长宽比
1.91
2.0
n
0.0669
名次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
区县
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
变化情况
↑
一
↓
一
↑
↓
↑
↓
↓
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.3
1.9
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.74
m
4.0
0.0424
荔枝树叶的长宽比
1.91
2.0
n
0.0669