重庆市第十一中学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题

这是一份重庆市第十一中学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．的值是( )
A．B．C． D．
4．已知：，：，是假命题，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
6．函数在上的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数为定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列式子不正确的是 （ ）
A．B．C．D．
11．下列各结论中正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．函数的最小值为2
C．命题“，”的否定是“，”
D．若函数有负值，则实数a的取值范围是或
12．已知函数，方程有四个实数根，且满足，下列说法正确的是（ ）
A．
B．的取值范围为
C．t的取值范围为
D．的最大值为4
三、填空题
13．化简： .
14．函数的单调递减区间为
15．已知，且，则 .
16．已知函数，若在区间上的图象有且仅有2个最高点，则下面四个结论：
①在上的图象有且仅有1个最低点；
②在上至少有3个零点，至多4个零点；
③在上单调递增；
④的取值范围为；
其中正确的所有序号是 ．
四、解答题
17．计算：（1）.
（2）.
18．已知是定义在上的奇函数，，当时的解析式为.
(1)写出在上的解析式；
(2)求在上的最值.
19．已知函数.
(1)若，求在区间上的值域；
(2)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.
20．已知函数.
(1)在给出的坐标系中作出的图象；
(2)根据图象，写出的单调区间；
(3)试讨论方程的根的情况.
21．已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数在区间上的值域
22．已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)若，使成立，求a的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】分别求出集合A，B的区间，根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意，，
，
所以.
故选：B
2．D
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为命题p：，是全称量词命题，
所以命题p的否定为，，
故选：D．
3．B
【分析】根据诱导公式化简，即可求得结果.
【详解】
故选:B.
4．A
【详解】分析：通过一元二次不等式恒成立的条件，判别式不大于零，求出参数的范围，之后根据其为假命题，求其补集得到命题为真命题是对应的参数的范围，之后利用集合的包含关系判断即可.
详解：如果不等式恒成立，
则，解得，
因为其是假命题，则有，
又因为是的真子集，故是的充分不必要条件，故选A.
点睛：该题所考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要根据一元二次不等式解集的形式，对其判别式的符号进行判断，求得结果，下一步的任务就是需要判断两个命题对应的参数的取值所构成的集合间的包含关系求得结果.
5．D
【分析】利用分段函数求函数值.
【详解】因为，
所以，
故选:D.
6．A
【分析】分析函数的定义域，奇偶性以及特殊值，运用排除法即可判断.
【详解】函数的定义域为R， ，
，所以为偶函数，所以C，D错误，
又，所以B错误；
故选：A．
7．A
【分析】由已知可得， 由得，
由是定义在上单调递增函数，可得关于的不等式组，解不等式组可得答案.
【详解】函数为定义在上的奇函数，所以关于对称，
所以，
由得，
又函数在上单调递增，所以在上单调递增，
所以是定义在上单调递增函数，
所以，解得.
故选：A.
8．A
【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值，列出不等式，计算即可.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
9．ACD
【解析】解一元二次不等式求出集合，求二次函数的值域求集合，再根据集合的基本运算逐一判断即可.
【详解】，
，
所以，故A正确；
又或，，所以不成立，故B错误；
，故C正确；
根据集合与，可知，故D正确.
故选：ACD
10．AB
【分析】根据构造幂函数以及指数函数，根据幂指函数的单调性即可逐一比较.
【详解】由于函数为单调递增函数，所以，故A错误，
由于而，所以,故B错误，
由于幂函数在单调递增，所以，故C正确，
由于，故D正确，
故选：AB
11．AD
【解析】根据不等式的性质，基本不等式是成立条件，含有一个量词的命题的否定，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：因为，可得同号，且，所以，故A正确；
对于B：由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，无解，故B错误；
对于C：命题“，”的否定是“，”，故C错误；
对于D：为开口向上的抛物线，有负值说明判别式，所以，解得或，故D正确.
故选：AD
12．BC
【分析】或，作出函数f(x)图像，数形结合即可求解.
【详解】或，
作出的图象，
当时，，有一个实根；
当时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题意；
当时，只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与的交点坐标为.
要使原方程有四个实根，等价于有三个实根，等价于y＝f(x)与y＝t图像有三个交点，故，，所以，故A错误，C正确；
又因为，所以的取值范围为），B正确；
因为，所以，故D错误．
故选：BC.
13．
【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果.
【详解】
.
故答案为：
14．或（1，3)
【分析】求出定义域，在定义域内结合对数函数和二次函数的单调性可得．
【详解】由得，是增函数，
在上递增，在上递减，
所以的求减区间是（也可以是）．
故答案为：（也可以是）．
15．
【分析】先利用平方关系式求得，再根据平方式化简给定的三角函数式可得原式即为，从而可求三角函数式的值.
【详解】由知是第三象限角，
故，
又原式
，
故答案为：.
【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系式，一般地，的三个三角函数值，知道其中一个，必定可求其余的两个，这是方程的思想的体现，注意角的终边对三角函数值符号的影响.
16．③④
【分析】对于①②：作出符合题意的图像，利用图像否定结论；
对于④：根据在区间上的图象有且仅有2个最高点，列不等式，解得的范围；
对于③：利用复合函数的单调性法则进行判断.
【详解】对于①：作出的图像如图所示：

当图像如图2所示，符合题意，但是在上的图象有2个最低点.故①错误；
对于②：

当图像如图3所示，符合题意，但是在上有5个零点.故②错误；
对于④：令，因为，所以，则.
要使在区间上的图象有且仅有2个最高点，
只需，解得：.故④正确；
对于③：当时，.
因为，所以，即落在内，所以在上单调递增. 故③正确；
故答案为：③④
17．（1）；（2）
【解析】（1）利用公式化简，求值；（2）根据分数指数幂的运算公式化简.
【详解】（1）原式


；
（2）原式
18．(1)
(2)最大值为0，最小值为
【分析】（1）先求得参数，再依据奇函数性质即可求得在上的解析式；
（2）转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，
由，得，由，解得，
则当时，函数解析式为
设，则，，
即当时，
（2）当时，
，
所以当，即时，的最大值为0，
当，即时，的最小值为.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）由题设令，根据二次函数性质研究的值域即可；
（2）将问题化为在上有零点，结合二次函数性质并讨论参数a求范围.
【详解】（1）由题设，又，
令，则开口向上且对称轴为，
由，，，
所以，即在区间上的值域为.
（2）由在上有解，令，则，
所以在上有零点，则，即或，
而开口向上，对称轴为，
当，对称轴，则，可得，此时无解；
当，即对称轴，
若，对称轴，此时只需，可得或，此时；
若，对称轴，此时只需，可得或，此时无解；
若，对称轴，此时只需，可得，此时无解；
综上，.
（应用参变分离法，研究右侧对应区间的值域范围亦可）
20．(1)作图见解析
(2)减区间为，增区间为.
(3)答案见解析
【分析】（1）去绝对值符号，利用函数图象变换分段画出函数图象；
（2）根据函数的图象，直接求出函数的单调区间；
（3）根据函数的图象，分类讨论确定函数的图象与的图象交点个数，即可讨论方程根的情况.
【详解】（1）函数，作出函数的图象如图所示：
（2）根据（1）中的函数图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）根据图象可知，
当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有两个交点，
此时方程有两个不同的根.
当时，函数的图象与函数（为实数）的图象没有交点，
此时方程没有根.
当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有一个交点，
此时方程有一个不同的根.
21．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）函数在区间上的值域为
【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简函数，由周期公式以及正弦函数的对称轴求解即可；
（Ⅱ）由正弦函数的单调性求得函数函数在区间的单调性，比较的大小，即可得出值域.
【详解】（Ⅰ）
则对称轴方程为
（Ⅱ）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以 当时，取最大值 1
又，当时，取最小值
所以 函数在区间上的值域为
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式，正弦函数的性质，求正弦型函数的值域，属于中档题.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据参数的值求解出函数的解析式，再根据复合函数的性质求解值域即可；
（2）先将函数看成关于的一次函数，运用不等式恒成立问题的处理方法将问题转化为只含一个变量的函数问题，再运用存在性问题的处理方法求解参数的取值范围．
【详解】（1）解：，时，，
令，，，
可写出关于的二次函数，
根据二次函数的性质可得，
所以当，时，函数的值域为．
（2）解：，可看成关于的一次函数，且函数单调递减，
,不等式成立，成立，
又,，成立，,使得不等式成立，
令,，又，，问题转化为函数最大值不小于4．
①，,时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
当且仅当时等号成立，故恒成立，又，，所以，
此时函数的最大值为，，解得；
②，,时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，此时函数的最大值为，
，解得，
综上，的取值范围为．