黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
一、单选题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共40分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度D．零向量就是实数0
2．如图，在矩形中，（ ）
A．B．C．D．
3．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
4．在中，点为边的中点，记，则（ ）
A．B．C．D．
5．棱长为的正四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，则的值为（ ）
A．B．5C．D．
7．直线m与平面平行，且直线，则直线m和直线a的位置关系不可能为（ ）
A．平行B．异面C．相交D．没有公共点
8．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
二、多选题（每小题有多个选项符合题意，全选对每小题5分，选对不全的每题3分，有选错的每题0分，共15分）
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径为2B．球的体积为C．球的体积为D．球的半径为1
11．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．以上皆不可能
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知且则 .
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是 （填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）．
14．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为 ．
四、解答题（每题10分，每小问5分 ，共30分）
15．如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为，底面的半径长为.
（1）求纸篓的容积；
（2）现有制作这种纸篓的塑料制品，请问最多可以做这种纸篓多少个？（假设塑料制品没有浪费）.
16．如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．
（1）求AC的长；
（2）若CD＝5，求AD的长．
17．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
1．C
【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.
【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
2．B
【分析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得.
【详解】在矩形中，.
故选：B
3．A
【分析】根据棱柱的定义分析判断即可.
【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，
所以棱柱有（1）（3）（5）.
故选：A.
4．C
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.
【详解】由题意可知，.
故选：C
5．A
【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.
【详解】棱长为的正四面体的表面积为.
故选：A.
6．D
【分析】根据向量数量积公式求出答案.
【详解】由题意得的夹角为，
.
故选：D
7．C
【分析】分析得到直线m和直线a的位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，得到答案.
【详解】直线m与平面平行，且直线，则直线m和直线a的位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，
但不可能相交，因为若直线m和直线a相交，则或与相交，均与已知条件矛盾.
故选：C
8．B
【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.
【详解】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
9．AC
【分析】根据向量数量积、平行、垂直、模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，A选项正确.
，所以B选项错误.
，
所以，所以C选项正确.
，所以D选项错误.
故选：AC
10．AC
【分析】根据已知条件求得球的半径，从而求得球的体积.
【详解】设球的半径为，则，
所以球的体积为，
所以AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC
11．ABC
【解析】利用空间中两直线的位置关系求解.
【详解】解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；
两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；
一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确；
故选：ABC.
12．
【详解】试题分析：
考点：1.向量的坐标运算；2.向量的模
13．直角三角形
【分析】利用正弦定理或余弦定理化简即可.
【详解】方法一：
所以的形状是直角三角形.
方法二：
又
又
即
所以的形状是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
14．
【分析】根据直角圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积与侧面积公式求解.
【详解】设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，
圆锥高，母线长，
圆锥的侧面积为，解得，
所以圆锥的体积为.
故答案为：.
15．（1）；（2）353个.
【分析】（1）应用圆柱体体积公式 即可；
（2）计算出一个纸篓要用的塑料，即侧面积加底面积即可，再用塑料制品的面积除以一个纸篓要用的材料，即可得到可以做多少个纸篓.
【详解】解：（1）纸篓的容积为，
（2）一个纸篓要用的塑料的面积为.
由，故最多可以做353个这样的纸篓.
16．（1）3，（2）7
【分析】（1）在△ABC中直接利用正弦定理求解即可；
（2）先求出，然后在中利用余弦定理求解即可
【详解】解：（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，,
则，
（2）因为∠ACB＝60°，所以,
在中，由余弦定理得，
【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）转换顶点并结合椎体的体积公式即可证明.
【详解】（1）∵直三棱柱中，为的中点，
所以，且，
因为，分别，的中点，
∴，，
，，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
故平面.
（2）因为直三棱柱，则平面平面，
因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离，
又因为底面，则点到底面的距离即为长，
又因为N，P分别为AC，BC的中点，且，
则.