辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2023-2024学年高一下学期4月联考数学试题（解析版）

这是一份辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2023-2024学年高一下学期4月联考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，5D．89等内容，欢迎下载使用。

数学考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册，必修第三册第七章第1~2节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向B．共线向量一定是相等向量
C．若向量，同向，且，则D．单位向量的模都相等
2．与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
3．函数的定义域为（ ）
A．B．R
C．D．
4．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下（单位：分）：
则这组数据的分位数为（ ）
A．91B．90C．89.5D．89
5．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．设函数若对，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）

A．B．C．D．
8．已知是函数的零点，则（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（ ）
A．集合的真子集有个B．
C．D．，
11．下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最大值为2
B．若且，则的最小值为
C．若，且，则的最小值为8
D．若，且，则的最大值为8
12．已知定义在上的函数满足以下条件：①，当时，；②对任意实数恒有，则（ ）
A．
B．恒成立
C．若对恒成立，则的取值范围为
D．不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设：，，则是 .
14．已知幂函数的图象经过原点，则的值是 .
15．已知，，则 .（用表示）
16．已知，当时，，则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知角的终边经过点．
(1)求，的值；
(2)求的值．
18．已知，，，设.
(1)求满足的实数，的值；
(2)若线段靠近点的三等分点为，求点的坐标.
19．已知函数．
(1)判断的奇偶性，并用定义证明；
(2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明．
20．为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，某市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度.为此该部门随机调查了500名游客，把这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值和评分的中位数；
(2)若游客的“认可系数”（认可系数）不低于0.85，餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改，根据所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，并说明理由.
21．设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与产量x（单位：百件）的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与产量x的函数关系式为
(1)求该商品的利润关于产量x的函数解析式；（利润＝销售收入－生产成本）
(2)为使该商品的利润最大化，应如何安排产量？
22．与进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，手中有张两两不同的牌，手上有张牌，其中张牌与手中的牌相同，剩下一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同.游戏规则为：
（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，先从手中抽取；
（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家.
假设每一次从对方手上抽到任一张牌的概率都相同.
(1)当时，求获胜的概率；
(2)当时，求获胜的概率.
1．D
【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.
【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；
对于C：向量不可以比较大小，故C错误；
对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.
故选：D
2．C
【分析】根据条件，利用终边相同的角的集合，即可求出结果.
【详解】因为，所以与角终边相同的角是，
故选：C.
3．D
【分析】依据对数函数定义域列出关于x的不等式，解之即可求得此函数的定义域.
【详解】由题意得，解之得或，
则函数的定义域为或.
故选：D
4．D
【分析】根据给定条件，利用30百分位数的定义直接求解.
【详解】依题意，，所以这组数据的分位数为从小到大排列的第5个数据89.
故选：D
5．A
【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.
【详解】因为，，，
所以．
故选：A
6．A
【分析】由分段函数在上单调递减可得关于的不等式组，进而可得的取值范围.
【详解】因为函数对，且，都有，
可得是上的减函数，
所以有解得.
故选：A.
7．C
【分析】对于ABD，可得到当时，，，，从而ABD错误，C满足要求.
【详解】对于A，由图1可得，当时，，
所以当时，，故错误；
对于B，由图1可得当时，，所以当时，，故错误；
对于C，由图1可得当时，，当时，，
所以当时，；当时，，选项C正确；
对于D，由图1可得当时，，则当时，，，
选项D错误.
故选：C.
8．B
【分析】对A：根据零点存在定理，即可判断零点范围；对B：，两边取对数，即可判断；对C：，结合的范围，即可得到，从而进行判断；对D：根据的范围，再结合指数函数单调性，即可判断.
【详解】均为单调增函数，故为单调增函数；
对A：因为，故，故A错误；
对B：因为，故，两边取对数可得，故B正确；
对C：，故，则，则，故C错误；
对D：因为，，故，则，，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题A选项是所有选项中最重要的一个，需要根据零点存在定理，取求解的范围；对其它选项的处理关键是要灵活应用所学知识.
9．ABD
【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律分别计算即可.
【详解】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD.

10．BCD
【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个判断A，依题意可得，即可判断B，根据，判断C，由判断D.
【详解】对于A：因为含有个元素，则集合的真子集有个，故A正确；
对于B：因为且，所以，则，故B错误；
对于C：因为，
显然，，所以不是的子集，故C错误；
对于D：依题意，
所以，显然，故D错误.
故选：BCD
11．BCD
【分析】A：先化负为正，然后利用基本不等式求解出最大值并判断；B：由条件可得，然后将原式变形为，利用基本不等式求解出最小值并判断；C：将原式变形为，可得关于的表示，再利用基本不等式结合配凑法求解出最小值并判断；D：采用换元法令，由此构建关于的一元二次不等式，可求的最大值并判断.
【详解】对于A，因为，则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，故A错误；
对于B，因为且，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，由，得，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时取得最小值8，故C正确；
对于D，因为为正实数，则，
令，则，解得，所以，
即，即，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为8，故D正确；
故选：BCD.
12．ABD
【分析】A选项，赋值，求出；B选项，令，得到；C选项，设，换元后参变分离，得到，结合基本不等式求出最值，得到答案；D选项，不等式变形为，利用单调性定义得到在上单调递增，赋值法得到，利用单调性解不等式，得到，构造函数，由单调性解不等式，求出解集.
【详解】由，
得到，
对于A，令可得，
又，故，故A正确；
对于B，令，可得，
又，故，
当0时，，则，
所以恒成立，B正确；
对于，中，令得
，
故变形为，
设，则，
原不等式等价于在恒成立，
即，
其中，
当且仅当时取等号，，故C错误；
对于，由于，
，
.下面证明的单调性：任取，且，
则
，所以函数在上单调递增，
因为，所以，
，
，
令在上单调递增，
且，
所以原不等式的解集为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，使用基本不等式进行求解.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
13．，
【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】命题：，，则是，.
故答案为：，
14．3
【分析】根据幂函数的定义结合图象经过原点求解参数即可.
【详解】由题意可得，即，解得或.
当时，幂函数的图象过原点；
当时，幂函数的定义域为，图象不过原点，不满足题意.
故的值是3.
故答案为：3
15．
【分析】根据指数与对数的关系得到，再根据对数的运算性质计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以
.
故答案为：
16．
【分析】根据函数性质可得函数周期，利用周期化简后得解.
【详解】由，可得，
所以函数周期，
所以，
故答案为：
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根据三角函数定义即可得；
（2）结合诱导公式即可得.
【详解】（1）由，故角的终边经过点，
所以，
；
（2）.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算与表示，求得，结合，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，得到，设，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）因为，且，
所以，
所以，
因为，可得，解得.
（2）因为线段的三等分点为（点靠近点）
所以，
设即
所以，，解得:，
即点的坐标为，
19．(1)是偶函数，证明见解析
(2)在区间在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
（2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解.
【详解】（1）函数是偶函数.
证明如下：
由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且，即，
所以是定义域上的偶函数.
（2）函数在区间在上单调递减.
证明如下：
设，
则
．
因为，可得，
所以，即，
所以在区间上单调递减函数.
20．(1)；
(2)需要进一步整改，理由见解析
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求得，再利用频率分布直方图中位数的求法即可得解；
（2）利用频率分布直方图平均数的求法求得游客的“认可系数”，从而得以判断.
【详解】（1）由图可知：，解得，
因为内的频率为，
的频率为，
所以中位数位于区间内，设中位数为，
则，解得，
所以评分的中位数为.
（2）由图可知，认可程度平均分为：
，
则游客的“认可系数”为，
所以餐饮服务工作需要进一步整改.
21．(1)
(2)为使该商品的利润最大化，产量为百件.
【分析】（1）利用求出利润函数即可；
（2）先求出在上的最大值，由一次函数单调性求上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量.
【详解】（1）由题意，利润，
所以.
（2）由（1）知，当时，，
在上单调递增，所以，
当时，在上单调递减，
所以.
综上，为使该商品的利润最大化，产量为百件.
22．(1)
(2)
【分析】（1）（2）A获胜分为2种情况，利用概率的加法公式求解即可.
【详解】（1）记初始手上张牌时， 胜的概率为，当时，即当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为，
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，
所以，解得.
（2）当时，即当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为，
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，
所以，解得.