2024年安徽省合肥市新站区中考二模数学试题

这是一份2024年安徽省合肥市新站区中考二模数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 计算的结果为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法．熟练掌握有理数的加法是解题的关键．
根据有理数加法求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：C．
2. 第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗中央公园举办，该公园占地面积12.7平方公里，是世界最大城市中央公园．2023年中秋、国庆八天假期，接待总游客突破225万人，创造了历史记录．其中225万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：225万用科学记数法表示为．
故选：A．
3. 如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A. B. C. D. 试卷源自 每日来这里 全站资源一元不到！更新，汇集全国各地小初高最新试卷。【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体三视图，解题的关键是能够通过三视图判断符合条件的几何体．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此分析判断即可．
【详解】解：该几何体的三视图可知该几何体为一个五棱柱，
且五边形底面在左右两侧，前面平面面积小于后面平面面积，
所以，选项A符合题意．
故选：A．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先计算乘方，再计算乘法，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
5. 若直线（k是常数，）经过第一、二、三象限，则k的值可能为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质．根据题意得，即可得出答案．
【详解】解：∵直线经过第一、二、三象限，
∴，
观察四个选项，可知符合题意；
故选：D．
6. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图．已知矩形的宽为，对角线为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）m
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及等边三角形的性质和判定，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，，交于点，
∵ ，
∴是直径，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为，
∴改建后门洞的圆弧长是，
故选：B．7. 某花店连续一周销售玫瑰花的数量（单位：枝）分别为12，10，12，14，15，12，16．关于这组数据，明明得出如下结果，其中错误的是（ ）
A. 平均数是13B. 众数是12C. 中位数是14D. 方差是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差，根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
【详解】解：平均数，故A选项不符合题意；
该组数据中，12出现的次数最多，因此众数是12，故B选项不符合题意；
将该组数据从小到大排列为10，12，12，12，14，15，16，处在中间位置的数是12，因此中位数是12，故C选项符合题意；
方差，故D选项不符合题意；
故选C．
8. 如图，在中，，，垂直平分，交于点D，交于点F，连接、，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设，由题意可得，，由垂直平分，可知，进而可得是的中位线，得，可知，在中，，即解得 ，即可求解．
【详解】解：在中，，，设，则，，
∵垂直平分，则，
∴，则，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
在中，，即：
解得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，理解相关图形的性质是解决问题的关键．
9. 如图，在正方形中，，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的判定和性质，勾股定理等知识，在上取点关于的对称点，连接，交于点 ，证出，得到，四边形为正方形 ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】如图，在上取点关于对称点，连接，交于点

∴在与中
∴
∴
∴
三点共线
∴四边形为矩形
∴
同理
∴
∴为直角三角形
∴故选：D．
10. 抛物线的顶点为A，过A点作y轴的平行线交直线于点B，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线的对称轴为直线
B. 抛物线过定点
C. 若抛物线与直线在第一象限有交点，则
D. 线段的最小值为1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，一次函数图像上点的坐标特征，根据抛物线的性质对A进行判断；根据二次函数图像上点的坐标特征对B进行判断；根据抛物线的图象与一次函数的图象的交点为时，再进一步对C进行判断；建立关于的二次函数关系式对D进行判断．
【详解】A、抛物线的对称轴为：直线，故A选项不符合题意；
B、当时，，故B选项不符合题意；
C、如图，当过时，
∴，
∴，
∴抛物线与直线在第一象限有交点，则；故C符合题意；D、由题意得：，则，
，
时，有最小值1，故D选项不符合题意，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 要使有意义，则x的取值范围为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵要使有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．
13. 在平面直角坐标系中，一副三角板如图所示摆放，反比例函数，的图象分别经过点A，点B，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查待定系数法，设，得到，过点作于点，得到点B坐标，代入解析式即可求出．
【详解】设
则
过点作于点
，
的图象点B，
故答案为：．
14. 如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是______；（2）的周长是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据等面积法得出即可求解；延长交于点，过点作，即可得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作，
∵平分，则到的距离相等，
设到的距离为，到的距离为，
∴，
∴；
故答案为：．
∵平分，
∴，，
又∵
∴
∴，∵
设
∴
∴
∴
∴
∴
由（1）可得
设，则，，则
∵，，
∴
∵
∴
∵，
∴，
又
∴
∴
∴
解得：
∴的周长是
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解一元二次方程．【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，采用合适的方法是解题的关键，本题采用配方法即可求出．
【详解】解：
，
16. 在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）作出关于直线l成轴对称的；
（2）在边上确定一点D，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点即可；
（2）取格点M，N，可得，进而得到．
【小问1详解】
解：即为所求；【小问2详解】
解：点D即为所求
【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质和轴对称的性质是解题的关键．
四、（本大题共计2小题，每小题8分，共计16分）
17. 合肥近几年城市发展迅速，交通便利，2024年计划再筑公路533公里，深入推进“1155”大交通计划．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
【观察思考】观察右侧结构简式的分子式回答下列问题：
【规律发现】（1）图（4）的分子中含______个C原子；
（2）图（n）的分子中含______个C原子；
【规律运用】
（3）若图（m）和图的分子中共含有242个C原子，求m的值．
【答案】（1）28（2）（3）19
【解析】
【分析】本题考查了根据题意列代数式和一元一次方程的应用等知识．
（1）根据题意可以得到图（1）的分子中含C原子个数为个，图（2）的分子中含C原子个数为个，图（3）的分子中含C原子个数为个，图（4）的分子中含C原子个数为个，问题得解；
（2）根据（1）的计算即可得到图（n）的分子中含C原子个数为个；
（3）由（2）得，图（m）的分子中含有个C原子，图的分子中含有个C原子，据此列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）图（1）的分子中含C原子个数为个，
图（2）的分子中含C原子个数为个，
图（3）的分子中含C原子个数为个，
图（4）的分子中含C原子个数为个；
故答案为：28；
（2）图（n）的分子中含C原子个数为个；
故答案为：；
（3）由（2）得，图（m）的分子中含有个C原子，图的分子中含有个C原子，由题意得，
解得，
答：m的值是19．
18. 已知：如图，在中，为直径，为弦，切于点B，，垂足为点F，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由切线的性质得到，结合等腰三角形的性质以及垂径定理得到，再根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
（2）先在中运用勾股定理求得 ，利用垂径定理得到，设，则，在利用勾股定理求得值即可得出结论．
【小问1详解】
证明：切于点，
，
，
．
，
，
．
，过圆心，
，，
，
，
；
【小问2详解】
解：的半径为，．
为直径，
，
．
，
．
设，则，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图是某路段路灯的示意图，灯杆长，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为，从D，E两处测得路灯A的仰角分别为和，求灯柱的长度（参考数据：，，）．
【答案】灯柱的长度为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形——仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力，过点A作，垂足为F，过点B作，垂足为G，则，在中求出的值，在中求出的值，由即可得出灯柱的长度．
【详解】解：如图，过点A作，垂足为F，过点B作，垂足为G，
故四边形是矩形
在中，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，
，
在中，
，
，
，
经检验是此方程的根
即：灯柱的长度为．
20. 如图，A、B是反比例函数图象上的两点，A、B两点的横坐标分别为1，2，线段的延长线交x轴于点C．若的面积为6．
（1）求k的值及直线的函数表达式；
（2）写出的函数值大于的函数值时x的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）作轴于D，轴于E，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，则，，，由轴于D，轴于E，得到，则，得到，然后根据三角形面积公式计算k的值，进而得到，，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；
（2）根据图象及反比例函数与一次函数的交点即可得出结果．
【小问1详解】
解：作轴于D，轴于E，如图，
∵A、B两点的横坐标分别为1、2，
∴，，
∴，，，，
∴，， ∵轴于D，轴于E，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
∴．
，
令直线的函数表达式为
，
直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由（1）知：反比例函数与一次函数的交点，，
或时，的函数值大于的函数值．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定和性质，一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，我区教育相关部门要求家访要达到全覆盖．某校七年级1班班主任计划对班级每位学生进行家访，家访的形式有到家家访、电话家访、信息家访、到校家访，以下是该班级家访的条形统计图和扇形统计图．
（1）扇形统计图中到家家访的圆心角为______；
（2）补全条形统计图；
（3）若选择“到家家访”的四位学生分别为A、B、C、D，班主任决定本周从这4人中随机选取两人进行到家家访，用列表法或画树状图法求本周恰好选中A、B两人的概率．
【答案】（1）135 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由到校的人数除以所占百分比求出抽取的总人数，即可解决问题；
（2）作差法求出人数，补全条形统计图即可；
（3）列出表格，共有12种等可能的结果，正好抽到A、B两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，正确求出概率是解题的关键．
【小问1详解】
这次抽取的学生人数为：
扇形统计图中D部分所对应的扇形圆心角度数为：
故答案为：．
小问2详解】
补全条形统计图如下：【小问3详解】
列表如下：
本周恰好选中A、B两人的概率：．
七、（本题满分12分）
22. 近年来，我国民用无人机市场呈现出蓬勃发展的态势．据统计，年中国民用无人机市场规模达到了惊人的亿元，同比增长，年跃升至亿元，年有望达到亿元，市场前景广阔．某科技公司跟风设计了一款成本为元/件的儿童款“迷你无人机”，并投放网上某平台进行试销．经过调查，得到如下数据：（x、y均为整数）
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数表达式．
（2）当销售单价定为多少元时，该公司试销此儿童款“迷你无人机”每周获得的利润最大？最大利润是多少？（利润销售总价成本总价）
（3）该网络平台近期出台相关规定，商家每卖一件产品，平台将视情况收取a销售单价x（元/件）
…
每周销售量y（件）
…
元的平台管理费（），根据新规施行后销售情况的反馈，该儿童款“迷你无人机”的售价超过元/件时，每周获得的利润将会减少，试确定a的取值范围为多少？
【答案】（1）
（2）当元/件时，可获得最大利润，且最大利润为元
（3）
【解析】
【分析】（1）描点连线画图象即可；由图设解析式为，待定系数法求解即可；
（2）设该公司销售无人机每周获得w元利润，依题意得，（，x为整数），根据二次函数的性质求解作答即可；
（3）依题意得，，则对称轴为直线，由题意知，，求解作答即可．
【小问1详解】
解：描点连线画图象如下；
由图可知：x、y对应值的点在一条直线上，
y与x成一次函数关系，
设解析式为，
把、代入得，
解得，
∴；【小问2详解】
解：设该公司销售无人机每周获得w元利润，
依题意得，（，x为整数）
∵，
当元/件时，可获得最大利润，且最大利润为元．
【小问3详解】
解：依题意得，，
对称轴为直线，
售价超过元/件时，每周获得利润会减少且x为整数，
∴，
解得，，
又，
a的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象，二次函数的应用，二次函数的最值，二次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象，二次函数的应用，二次函数的最值，二次函数的图象与性质是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在矩形中，，．点F是线段上的一点，且，作的角平分线交于点E，点M是射线上一动点，连接，作的垂直平分线交线段于点N，交射线于点P，
【问题探究】
移动点M，当线段经过点E时，
（1）求证：；
（2）填空：的值为______．
【拓展延伸】（3）当点M在射线上运动时，的值是否发生变化，为什么？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不会变化，理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明，则，由，可得；
（2）如图1，连接，过作的延长线于，于，由角平分线的性质可得，由垂直平分线的性质可得，，证明，则，，由，，可得，则，由勾股定理得，，由（1）可知，，则，设，则，由勾股定理得，，即，可求，根据，计算求解即可；
（3）同理（2）求解作答即可．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图1，连接，过作延长线于，于，
∵是的角平分线，，，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
故答案为：；
（3）解，不变，理由如下；
如图2，连接，过作的延长线于，于，
同理（2）可得，，
∴，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴的值不会发生变化．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，三角形内角和定理，正切等知识．熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，三角形内角和定理，正切是解题的关键．