河北省石家庄市第四十四中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份河北省石家庄市第四十四中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义进行判断．
【详解】A、含有一个未知数，不符合题意；
B、未知数的最高次数为2，不符合题意；
C、符合题意；
D、未知数的最高次数为2，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：①首先是整式方程，②方程中共含有两个未知数，③所有含有未知数的项的次数都是1．
2. 型口罩能过滤空气中的粒径约为的非油性颗粒，用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
3. 如图，直线相交于点，，垂足为点，若，则的度数是（ ）试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。来这里 全站资源一元不到！
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角相等得出，最后根据进行求解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查角的和差，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键．
4. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
【详解】将代入得
∴
故选C．
5. 如图，下列能判定的条件有（ ）
①；②；③；④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴；故①符合题意；
∵，
∴，不能判定；故②不符合题意；
∵，
∴；故③符合题意；
∵，
∴；故④符合题意；
故选：C．
6. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )
A. 垂直的定义B. 两点之间线段最短
C. 垂线段最短D. 两点确定一条直线
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂线段最短的性质解答．
【详解】老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短在实际生活中的应用，是基础题．
7. 下列运算中，正确的是 （ ）
A. B.
C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘除法，完全平方公式和平方差公式，掌握相关的公式和法则是解题的关键．
根据幂的乘除法的法则和完全平方公式、平方差公式计算后判定即可．
【详解】A． ，错误，该选项不符合题意；
B． ，错误，该选项不符合题意；
C． ，错误，该选项不符合题意；
D． ，正确，该选项符合题意；
故选：D．
8. 将直尺和直角三角板按如图方式摆放（∠ACB为直角），已知∠1=30°，则∠2的大小是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 65°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．∵∠1+∠3=90°，
∠1=30°，∴∠3=60°． ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2=∠3=60°．
考点：平行线的性质
9. 已知，用含的代数式表示可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了用代数式表示式，解二元一次方程，等式的性质，将未知数当作已知数，然后表示出来另一个未知数，掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：，
移项得：，
将的系数化为1得：，
故选：D．
10. 已知，，，那么a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的性质，零指数幂与负整数指数幂运算法则分别求出a，b，c，进而求解．
【详解】∵，，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
11. 在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高是解题的关键．根据三角形的高可进行求解．
【详解】解：过点B作线段所在直线的垂线段时，只有第一个图是正确的，其余三个都是错误的作法；
故选C．12. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
13. 若是一个完全平方式，则的值为（ ）
A. ±4B. ±2C. 4D. －4
【答案】A
【解析】
【分析】根据完全平方公式的定义即可求解.
【详解】∵==(x±4)2
∴2m=±8，得m=±4
故选A.
【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的结构特征.
14. 定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为( )
A. 72m2n﹣45mn2B. 72m2n+45mn2C 24m2n﹣15mn2D. 24m2n+15mn2
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据题意得：原式=9mn×（8m+5n）=72m2n+45mn2．
故选B．
15. 如图，BD是的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若AEF的面积为3．则的面积是（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】是CE中点，AEF的面积为3，
∴S△ACE=2S△AEF=6，
∵点E为BD的中点，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形面积相等．
16. 关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．
法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：，
得，
解得，
将代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．
二、填空题（18、19题每空3分，20题每空2分，共10分）
17. 如果展开式中不含项，则__________．
【答案】【解析】
【详解】=，
∵展开式中不含项，
∴，
∴.
故答案为.
18. 若，则________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据同底数幂的性质列出a2x+y=axaxay，再代入数值计算即可．
【详解】解：a2x+y=axaxay=2×2×3=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了同底数幂的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的性质与运算．
19. 如图，，，交于点E．

（1）如图1，若于点D，，则的度数为 _____°；
（2）如图2，与的平分线交于点P，若，求的_____°．
【答案】 ①. 25 ②. 55
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可得，推得，根据三角形的内角和定理求出，即可得结论；
（2）根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，求得，根据三角形的内角和定理即可求得．【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：25．
（2）∵与的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：55．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质，掌握平行线的性质、三角形的内角和定理及角平分线的性质是解决本题的关键．
三、解答题（共58分）
20. 计算下列各题：
（1）
（2）简便计算：（3）
（4）已知关于，的二元一次方程组
①解该方程组；
②若上述方程组的解是关于的二元一次方程的一组解，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）①，②
【解析】
小问1详解】
【小问2详解】
【小问3详解】
【小问4详解】
①
得，，
解得：，
把代入①得，
∴方程组的解为：
②把代入方程，得，
解得：，
，
当时，原式．
21. 请将下列证明过程补充完整：如图，已知， ，，求证：．
证明∶ ∵，（已知）
∴（ ① ）
② （同位角相等，两直线平行）
∴（ ③ ）
（已知）
④ （等量代换）（ ⑤ ）
∴（ ⑥ ）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
根据平行线的判定和性质，结合推理求解即可．
【详解】证明∶ ∵，（已知）
∴（垂直的定义）
（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：垂直的定义，，两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
22. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B，C点平移后的对应点分别是E，F．
（1）画出平移后的；
（2）连接，则这两条线段之间的关系是______；
（3）的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）平行
（3）
【解析】
【分析】（1）由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移4个格，向上平移1个格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可；
（2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行即得出；
（3）用正方形的面积减去3个三角形的面积即可解答．
【小问1详解】
如图，即为所作；
【小问2详解】
如图，由平移的性质即可得出．
故答案为：平行；
【小问3详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质，在网格中求三角形的面积．利用数形结合的思想是解题关键．
23. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，．
（1）请你将68表示为两个连续偶数的平方差形式；
（2）试证明“神秘数”能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）两个连续奇数的平方差不是“神秘数”，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把68写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【小问1详解】
解：68=182-162；
【小问2详解】
解：“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2-（2k）2
=（2k+2+2k）（2k+2-2k）
=2（4k+2）
=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
【小问3详解】
解：设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）2-（2k-1）2=8k，
而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
24. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆
（2）租14辆45座客车较合算
【解析】
【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）结论求出所需费用比较即可．甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300
【小问1详解】
解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
【小问2详解】
∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键．
25. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
（2）请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 .
（3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张.
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知,，求和的值.②已知，求.
【答案】（1），
（2）
（3）1，3，2 （4）①，；②
【解析】
【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键.
（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可；
（2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案；
（3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案；
（4）①利用和计算即可；
②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可.
【小问1详解】
方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：，
方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即，
故答案为：，；
【小问2详解】
∵（1）中两种方法计算的面积是相等的，
∴，
故答案为：
【小问3详解】
拼图如下：
观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张.
故答案为：1，3，2；
【小问4详解】
①根据（2）题可得，
∵,，
∴
∴，
；
②设，，
∵，
∴，
又∵，
∵
∴，
∴，
由，得
∴，
即，
整理，得，即
∴.