河南省郑州市郑州经济技术开发区第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份河南省郑州市郑州经济技术开发区第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共26页。
A．笛卡尔心形线B．阿基米德螺旋线
C．科克曲线D．赵爽弦图
2．（3分）已知x＜y，则下列不等式成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2y
C．﹣2x+3＞﹣2y+3D．﹣2x＜﹣2y
3．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x2+2x+4＝（x+1）2+3
4．（3分）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．1.5cmB．2cmC．2.5cmD．3cm
6．（3分）今年2月，某种口罩单价，上涨3元，同样花费120元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买来这里 全站资源一元不到！试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。2个，设涨价后每个口罩x元，可列出的正确的方程是（ ）
A．＝2B．＝2
C．＝3D．＝3
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10B．12C．9D．6
8．（3分）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞8B．m≥8C．m＜8D．m≤8
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．12B．6C．D．
10．（3分）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（ ）
①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（共5小题）
11．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为 ．
12．（3分）如图，∠C＝90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得△A'B'C'，若BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为 ．
13．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线都经过点A（3，1），当时，x的取值范围是 ．
14．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠DCE的度数是 °．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，将线段DC绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），点C的对应点为点F，连接BF，BD．当△BDF为直角三角形时，BF的长为 ．
三.解答题（共7小题）
16．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．
17．（7分）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在“格点”处．
（1）在给定方格纸中，点B与点B'对应，请画出平移后的△A'B'C'；
（2）线段AA'与线段CC'的关系是 ；
（3）求平移过程中，线段BC扫过的面积．
18．（7分）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图

说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°， ．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）
19．（8分）仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．
则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，
∴n+2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝ ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝ ；
（3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．测量数据
角的度数
∠A＝30°
∠B＝45°
∠C＝105°
边的长度
BC＝40.0米
AC＝56.4米
20．（8分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求线段DE的长．
22．（10分）综合与实践﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α＝ 时，△AMC是等腰三角形；（2）深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
（3）再探究：
在旋转过程中，当旋转角α＝30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
（4）拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题）
1．（3分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线B．阿基米德螺旋线
C．科克曲线D．赵爽弦图
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）已知x＜y，则下列不等式成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2y
C．﹣2x+3＞﹣2y+3D．﹣2x＜﹣2y
【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去2，不等式仍成立，即x﹣2＜y﹣2，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2x＜2y，原变形错误，故本选不项符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2x＞﹣2y，在不等式﹣2x＞﹣2y的两边同时加上3，不等式仍成立，即﹣2x+3＞﹣2y+3，原变形正确，故本选项符合题意；D、在不等式x＜y的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2x＞﹣2y，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2xB．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x2+2x+4＝（x+1）2+3
【解答】解：A．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，
3﹣m＜0且m﹣1＞0，
解得m＞3，m＞1，
故选：A．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．1.5cmB．2cmC．2.5cmD．3cm
【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝＝2cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：B．
6．（3分）今年2月，某种口罩单价，上涨3元，同样花费120元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买2个，设涨价后每个口罩x元，可列出的正确的方程是（ ）
A．＝2B．＝2
C．＝3D．＝3
【解答】解：设涨价后每个口罩x元，可列出方程为：
＝2．
故选：B．
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10B．12C．9D．6
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD＝3，
∴DF＝CD＝3，
∵点E为AB的中点，AB＝12，
∴BE＝6，
∴△DBE的面积＝BE•DF＝×6×3＝9，
故选：C．
8．（3分）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞8B．m≥8C．m＜8D．m≤8
【解答】解：因为不等式组无解，
即x＜8与x＞m无公共解集，
利用数轴可知m≥8．
故选：B．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．12B．6C．D．
【解答】解：连接B'B，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC＝A'C，AB＝A'B'，∠A＝∠CA'B'＝60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∴∠AA'C＝60°，
∴∠B'A'B＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠ACA'＝∠BCB'＝60°，BC＝B'C，∠CB'A'＝∠CBA＝90°﹣60°＝30°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠CB'B＝60°，
∵∠CB'A'＝30°，
∴∠A'B'B＝30°，
∴∠B'BA'＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，
∴AB＝12，
∴A'B＝AB﹣AA'＝AB﹣AC＝6，
∴B'B＝6，
故选：D．
10．（3分）等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是（ ）
①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是等边△ABC的内心和外心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，①正确；
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××62＝3，③错误；
作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝6+3＝9，④正确．
故选：B．
二.填空题（共5小题）
11．（3分）如果分式的值为0，那么x的值为 2 ．
【解答】解：由题意得：x2﹣4＝0，且x+2≠0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
12．（3分）如图，∠C＝90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得△A'B'C'，若BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为 16cm ．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝5（cm），
∵AA′＝BB′＝5cm，
∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），
∴阴影部分的周长＝AC+CB′+A′B′+AA′＝4+2+5+5＝16（cm）．
故答案为：16cm．
13．（3分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线都经过点A（3，1），当时，x的取值范围是 0≤x＜3 ．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），
由图象可知，当kx+b＞x≥0时，x的取值范围是0≤x＜3，
故答案为：0≤x＜3．
14．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠DCE的度数是 50 °．
【解答】解：设∠O＝x°，
∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO＝x°，
∴∠DEC＝∠DCE＝∠O+∠CDO＝2x°，
∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝x°+2x°＝3x°＝75°，
∴x°＝25°，
∴∠DCE＝2x°＝50°，
故答案为：50．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，将线段DC绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），点C的对应点为点F，连接BF，BD．当△BDF为直角三角形时，BF的长为 2或 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴，
∵AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，
∴MN⊥AB，EA＝EB＝AB＝2，DB＝DA，
在Rt△AMD中，MN⊥AB，∠A＝30°，
∴DE＝＝，，
∴，，
∵DF由线段DC绕点D顺时针旋转得到，
∴，
在Rt△BDF中，，，
当BF为直角边时，，
当BF为斜边时，，
故答案为：2或．
三.解答题（共7小题）
16．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．
【解答】解：原式＝1﹣÷
＝1﹣•
＝1﹣
＝
＝﹣，当a＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣．
17．（7分）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在“格点”处．
（1）在给定方格纸中，点B与点B'对应，请画出平移后的△A'B'C'；
（2）线段AA'与线段CC'的关系是 平行且相等 ；
（3）求平移过程中，线段BC扫过的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）由平移可知：线段AA'与线段CC'的关系是平行且相等；
（3）由图可知：线段BC扫过的部分为平行四边形BCC′B′，
∴面积为5×3＝15．
18．（7分）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°， BC＝40.0米（答案不唯一） ．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）
【解答】解：若选择的条件是：BC＝40.0米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝40米，测量示意图

说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据
角的度数
∠A＝30°
∠B＝45°
∠C＝105°
边的长度
BC＝40.0米
AC＝56.4米
∴BD＝BC•cs45°＝40×＝20（米），
CD＝BC•sin45°＝40×＝20（米），
在Rt△ADC中，∠A＝30°，
∴AD＝CD＝20（米），
∴AB＝AD+BD＝20+20≈77（米），
∴线段AB的长约为77米；
若选择的条件是：AC＝56.4米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝56.4米，
∴CD＝AC＝28.2（米），
AD＝CD＝28.2（米），
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝＝28.2（米），
∴AB＝AD+BD＝28.2+28.2≈77（米），
∴线段AB的长约为77米．
19．（8分）仔细阅读下面例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为px+n，得x2+5x+m＝（x+2）（px+n），
对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是x2+5x+m＝（x+2）（x+n）．
则x2+5x+m＝x2+（n+2）x+2n，
∴n+2＝5，m＝2n，
解得n＝3，m＝6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．依照以上方法解答下面问题：
（1）若二次三项式x2﹣7x+12可分解为（x﹣3）（x+a），则a＝ ﹣4 ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣6可分解为（2x+3）（x﹣2），则b＝ ﹣1 ；
（3）已知代数式2x3+x2+kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+a）＝x2﹣3x+ax﹣3a
＝x2+（a﹣3）x﹣3a
＝x2﹣7x+12．
∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，
解得：a＝﹣4．
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2+3x﹣4x﹣6
＝2x2﹣x﹣6
＝2x2+bx﹣6．
∴b＝﹣1．
（3）设另一个因式为（ax2+bx+c），得2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（ax2+bx+c）．
对比左右两边三次项系数可得：a＝1．
于是2x3+x2+kx﹣3＝（2x﹣1）（x2+bx+c）．
则2x3+x2+kx﹣3＝2x3﹣x2+2bx2﹣bx+2cx﹣c＝2x3+（2b﹣1）x2+（2c﹣b）x﹣c．
∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．
解得：c＝3，b＝1，k＝5．
故另一个因式为x2+x+3，k的值为5．
20．（8分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），
根据题意得：＝﹣4，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合实际意义，
0.8x＝16（元），
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，
则w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900，
∴w与a的函数关系式为w＝6a+900；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
∴a≤（100﹣a），
解得a≤，
∵w＝6a+900，6＞0，a是正整数，
∴当a＝33时，w最大，最大值为1098，
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求线段DE的长．
【解答】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝4﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴22+（4﹣x）2＝12+x2，
解得：x＝，
则DE＝．
22．（10分）综合与实践﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α＝ 60°或15° 时，△AMC是等腰三角形；
（2）深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
（3）再探究：
在旋转过程中，当旋转角α＝30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
（4）拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）当AM＝CM，即∠CAM＝∠C＝30°时，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC＝90°，
∴α＝90°﹣30°＝60°，
当AM＝CM，即∠CAM＝∠CMA时，△AMC是等腰三角形，
∵∠C＝30°，
∴∠CAM＝∠AMC＝75°，
∵∠BAC＝90°，
∴α＝15°，
综上所述，当旋转角α＝60°或15°时，△AMC是等腰三角形，
故答案为：60°或15°；
（2）由题意可知，AB＝AF，∠B＝∠F，∠E＝∠C，AE＝AC，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），
∴∠BAM＝∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM＝AN，
∵AE＝AC，
∴EM＝CN，
∵∠E＝∠C，∠MPE＝∠NPC，∴△MPE≌△NPC（AAS），
∴PE＝PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE＝AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
（3）∵α＝30°，∠B＝60°，
∴∠AMB＝90°，
∴△ABM是直角三角形，
∵AB＝2，
∴BM＝AB•sin30°＝1，AM＝AB•cs30°＝，
∴S△ABM＝AM•MB＝1×＝，
∵AE＝AC＝AB•tan60°＝2，AM＝，
∴EM＝，
∵∠BAE＝α＝∠E＝30°，∠EMP＝90°，
∴△AMB≌△EPM（ASA），
由（2）可知△ABM≌△AFN，
∴S△AFN＝S△EFM＝S△ABM＝，
∵S△AEF＝AF•AE＝×2×2＝2，
∴△ABC与△AFE重叠的面积＝S△AEF﹣S△AFN﹣S△EPM＝2﹣2×＝；
（4）如答题图1所示：当∠CNP＝90°时．
∵∠CNP＝90°，∴∠ANF＝90°．
又∵∠AFN＝60°，
∴∠FAN＝180°﹣60°﹣90°＝30°．
∴∠α＝30°．
如答题图2所示：当∠CPN＝90°时．
∵∠C＝30°，∠CPN＝90°，
∴∠CNP＝60°．
∴∠ANF＝60°．
又∵∠F＝60°，
∴∠FAN＝60°．
∴∠α＝60°．
综上所述，∠α＝30°或60°．