湖南省张家界市慈利县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份湖南省张家界市慈利县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共10道小题，合计30分）
1. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二元一次方程组是指含有两个未知数，且未知数的次数都是1的一次整式方程组成的方程组，据此求解即可．
【详解】解：A、未知数的最高次不是1，不是二元一次方程组，不符合题意；
B、的次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意；
C、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意；
D、是二元一次方程组，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟知二元一次方程组的定义是解题的关键．
2. 下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式、合并同类项，同底数幂的乘法、积的乘方，即可解答．
【详解】解：A、（x-2y）2=x2-4xy+4y2，故错误；
B、x3+x3=2x3，故错误；
C、（-2x2）4=16x8，故错误；
D、正确；试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。故选：D．来这里 全站资源一元不到！【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方，解决本题的关键是熟记完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方．
3. 下列四组角中是内错角的是（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
【详解】解：与是内错角，本选项符合题意；
B、与是同旁内角，本选项不符合题意；
C、与是对顶角，本选项不符合题意；
D、与是同位角，本选项不符合题意．
故选：A．
4. 已知多项式与的乘积中不含项，则常数a的值是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0列式求解即可．
【详解】解：（x-a）（x2+2x-1）=x3+（2-a）x2-（2a+1）x+a，
∵不含x2项，
∴2-a=0，
解得a=2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键．
5. 下列各选项中因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
【详解】解：A.，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.，正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
6. 下列可以用完全平方公式因式分解的是（ ）
A. 4a2﹣4a﹣1B. 4a2＋2a＋1C. 1﹣4a＋4a2D. 2a2＋4a＋1
【答案】C
【解析】
【分析】对于前三项，根据完全平方公式的特点可知4a2和1是平方项，中间项是±4a，即可判断；最后一项2a2和1是平方项，不能因式分解判断即可．
【详解】解：A．4a2﹣4a﹣1不能用完全平方公式分解因式，故错误；
B．4a2+2a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误；
C．1﹣4a+4a2＝(1﹣2a)2，能用完全平方公式分解因式，故正确；
D．2a2+4a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式的形式是解题的关键．
7. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为( )A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可以列出相应方程组，从而可以解答本题．
【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1
(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x,
故选C.
【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组
8. 已知方程组的解满足，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由得：，根据已知，得出，进而即可求解．
【详解】解：
得：，
∵，
∴
∴
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次组的方法是解题的关键．
9. 我们知道下面的结论：若（a＞0，且a≠1），则m＝n．设，， ，下列关于m，n，p三者之间的关系正确的是（ ）
A. m-n＝pB. m+n＝pC. m+p＝nD. p+n＝m【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴m+n＝p，
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
10. 的计算结果的个位数字是（ ）
A. 8B. 6C. 2D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】先将2变形为，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
【详解】解：
，，，，，，，，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故与的个位数字相同即为1，
∴的个位数字为0，
∴的个位数字是0．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共8道小题，合计24分）
11. 多项式各项的公因式是______________．
【答案】xy【解析】
【分析】根据公因式的定义进行求解．
【详解】解：∵多项式每一项都含有字母，且字母的最低次数为1
∴该多项式的公因式为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答此题的关键．
12. 分解因式：______．
【答案】##
【解析】
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13. 和都是方程的解，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解、解二元一次方程组、求代数式的值，由题意得出，解二元一次方程组得出的值，代入计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：和都是方程的解，
，
解得：，
，
故答案为：．14. 如果单项式与是同类项，则___________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．根据同类项的定义求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所给代数式计算即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
15. 若是关于的完全平方式，则__________．
【答案】7或-1
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．
【详解】解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m-3）=±8，
解得：m=-1或7，
故答案为-1或7．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
16. 若，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式，再利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
故答案为：．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
17. 若，，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行计算，根据，代入数值进行计算即可，熟练掌握完全平方公式的变形是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
18. 如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3；图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为21；若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积是 _____．
【答案】45
【解析】
分析】由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解．
【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为，
图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，，
图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，，
图3阴影部分的面积可以表示为
＝3+42
，
故答案为：45．
【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．
三、解答题（19、20题每小题6分，21、22题每小题8分，23、24题每小题9分，25、26题每小题10分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘以多项式的运算法则展开，最后合并同类项即可
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=．
【答案】4ab，﹣4．
【解析】
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式进行展开，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2
=a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2
=4ab，
当a=﹣2，b=时，原式=﹣4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握乘法公式以及整式混合运算的运算顺序及运算法则是解本题的关键．
21. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可得到答案；
（2）先提取公因式，再利用完全平方差公式进行分解即可得到答案．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：．
【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式进行分解是解题的关键．
22. 解下列二元一次方程组：（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组是解本题的关键；
（1）把方程组整理为，再利用减法消元即可；
（2）把方程组整理，再利用加法消元即可；
【小问1详解】
解：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入，
∴，
∴方程组的解为：；【小问2详解】
，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
∴，
∴方程组的解为：．
23. 如图，直线、相交于点O，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）70° （2）18°
【解析】
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算．
（1）对顶角得到，角平分线得到，即可；
（2）根据平角的定义，结合，求出的度数，进而求出的度数，对顶角相等，即可得到的度数．
正确的识图，理清角度之间的关系，是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵直线、相交于点O，，
∴，
∵平分，∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴．
24. 如图1在一个长为，宽为的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长是___________．
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1：___________
方法2：___________
由此得出的等量关系式是：___________
（3）根据（2）的结论，解决如下问题：已知，求的值
（4）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）
（2）；；
（3）
（4）14
【解析】
【分析】（1）根据图2，即可得到阴影部分的正方形边长；
（2）根据（1），可知阴影部分的正方形边长为，再根据正方形的面积公式，即可得出图2中阴影部分的面积，另一种表示方法为首先算出大正方形的面积，然后再减去四个小长方形的面积，即可得到阴影部分面积，然后列出等式即可；
（3）把代入（2）所得的式子中，计算即可求解；
（4）首先设，根据题意可知：，再根据和完全平方公式，得出的值，然后利用三角形的面积公式，即可得出阴影部分面积．
【小问1详解】
解：根据图2所示，大正方形的边长为，阴影部分的正方形边长为，
故阴影部分的正方形边长为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：图2中阴影部分面积为：，
∵大正方形的面积为：，
又∵四个小长方形的面积为：，
故阴影部分面积还可以表示为：．
∴；
故答案为：；；；
【小问3详解】
解：∵，且，
∴；
【小问4详解】
解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键．
25. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元，3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元
（2）共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆；方案二：购进A型车4辆；方案三：购进A型车2辆
（3）购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润为91000元．
【解析】
【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元；
小问2详解】
解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，依题意，得：，
解得：．
∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆；方案二：购进A型车4辆；方案三：购进A型车2辆．
【小问3详解】
解：方案一获得利润：（元）；
方案二获得利润：（元）；
方案三获得利润：（元）．
∵，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润为91000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润．
26. 数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：_________．
（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）（m+1）（m-5）；（2）a=2，b=-3，最小值为5；（3）a=4，b=3，最小值为20
【解析】【分析】（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，再运用平方差公式进行分解因式；
（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28转化为（a-b-1）2+（b-3）2+18，然后利用非负数的性质进一步得最小值．
【详解】解：（1）m2-4m-5
=（m2-4m+4）-9
=（m-2）2-32
=（m-2+3）（m-2-3）
=（m+1）（m-5），
故答案为：（m+1）（m-5）；
（2）a2+b2-4a+6b+18
=（a2-4a+4）+（b2+6b+9）+5
=（a-2）2+（b+3）2+5，
∴当a=2，b=-3时，a2+b2-4a+6b+28有最小值为5；
（3）a2-2ab+2b2-2a-4b+30
=a2+（-2ab-2a）+（b2+2b+1）+（b2-6b+9）+20
=a2-2a（b+1）+（b+1）2+（b-3）2+20
=（a-b-1）2+（b-3）2+20，
当a=4，b=3时，原式取最小值20．
∴当a=4，b=3时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28有最小值20．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．